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\[ 
dx = \frac{1}{3} t^{-2/3} dt. 
\] 
A integral se torna: 
\[ 
\int_0^1 (1 - t)^{2} \frac{1}{3} t^{-2/3} dt = \frac{2}{5}. 
\] 
 
### 69. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x} \). 
a) 0 
b) 1 
c) 5 
d) Não existe 
**Resposta:** c) 5 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5}{1 + 5x} = 5. 
\] 
 
### 70. Calcule a integral \( \int (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
a) \( \frac{1}{4} x^4 - x^3 + 2x + C \) 
b) \( \frac{1}{3} x^3 - x^2 + 2x + C \) 
c) \( \frac{1}{4} x^4 - 3x^3 + 2x + C \) 
d) \( \frac{1}{3} x^3 - 3x^2 + 2x + C \) 
**Resposta:** a) \( \frac{1}{4} x^4 - x^3 + 2x + C \) 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = \frac{1}{4} x^4 - x^3 + 2x + C. 
\] 
 
### 71. Encontre a solução da equação diferencial \( y' = 3y + 1 \). 
a) \( y = Ce^{3x} + \frac{1}{3} \) 
b) \( y = Ce^{-3x} + \frac{1}{3} \) 
c) \( y = Ce^{3x} + 1 \) 
d) \( y = Ce^{-3x} + 1 \) 
**Resposta:** a) \( y = Ce^{3x} + \frac{1}{3} \) 
**Explicação:** A equação é linear e pode ser resolvida usando o fator integrante. A 
solução geral é: 
\[ 
y = Ce^{3x} + \frac{1}{3}. 
\] 
 
### 72. Calcule a integral \( \int (3x - 4) \, dx \). 
a) \( \frac{3}{2} x^2 - 4x + C \) 
b) \( \frac{3}{2} x^2 - 4 + C \) 
c) \( \frac{3}{2} x^2 - 4x + 1 + C \) 
d) \( \frac{3}{2} x^2 - 4x + 2 + C \) 
**Resposta:** a) \( \frac{3}{2} x^2 - 4x + C \) 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (3x - 4) \, dx = \frac{3}{2} x^2 - 4x + C. 
\] 
 
### 73. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
a) 0 
b) 1 
c) 4 
d) Não existe 
**Resposta:** c) 4 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 \cos(4x)}{1} = 4 \cdot \cos(0) = 4. 
\] 
 
### 74. Calcule a integral \( \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx \). 
a) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C \) 
b) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x + x + C \) 
c) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + C \) 
d) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x + 1 + C \) 
**Resposta:** a) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C \) 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C. 
\] 
 
### 75. Encontre a solução da equação diferencial \( y' + y = 2 \). 
a) \( y = Ce^{-x} + 2 \) 
b) \( y = Ce^{x} + 2 \) 
c) \( y = Ce^{-x} + 1 \) 
d) \( y = Ce^{x} + 1 \) 
**Resposta:** a) \( y = Ce^{-x} + 2 \) 
**Explicação:** A equação é linear e pode ser resolvida usando o fator integrante. A 
solução geral é: 
\[ 
y = Ce^{-x} + 2. 
\] 
 
### 76. Calcule a integral \( \int (1 - x^2)^{1/2} \, dx \). 
a) \( \frac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C \) 
b) \( \frac{1}{2} (1 - x^2)^{3/2} + C \) 
c) \( \frac{1}{4} (1 - x^2)^{3/2} + C \) 
d) \( \frac{1}{5} (1 - x^2)^{3/2} + C \) 
**Resposta:** b) \( \frac{1}{2} (1 - x^2)^{3/2} + C \)