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\] 
 
### 20. Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x) \, dx \). 
a) \( \frac{1}{4} \) 
b) \( \frac{1}{3} \) 
c) \( \frac{7}{12} \) 
d) \( \frac{1}{2} \) 
**Resposta:** c) \( \frac{7}{12} \) 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int_0^1 (x^3 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}. 
\] 
 
### 21. Encontre a solução da equação diferencial \( y' = 3y + 2 \). 
a) \( y = Ce^{3x} - \frac{2}{3} \) 
b) \( y = Ce^{-3x} + \frac{2}{3} \) 
c) \( y = Ce^{3x} + \frac{2}{3} \) 
d) \( y = Ce^{-3x} - \frac{2}{3} \) 
**Resposta:** a) \( y = Ce^{3x} - \frac{2}{3} \) 
**Explicação:** A equação é linear e pode ser resolvida usando o fator integrante. A 
solução geral é: 
\[ 
y = Ce^{3x} - \frac{2}{3}. 
\] 
 
### 22. Calcule a integral \( \int \cos^2(x) \, dx \). 
a) \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
b) \( \frac{1}{2} x + C \) 
c) \( \sin(x) + C \) 
d) \( \frac{1}{3} x^3 + C \) 
**Resposta:** a) \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
**Explicação:** Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \): 
\[ 
\int \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C. 
\] 
 
### 23. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
a) 0 
b) 1 
c) \( \frac{1}{2} \) 
d) Não existe 
**Resposta:** b) 1 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1. 
\] 
 
### 24. Calcule a integral \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \). 
a) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
b) \( e^{x^3} + C \) 
c) \( \frac{1}{2} e^{x^3} + C \) 
d) \( \frac{1}{3} x^3 e^{x^3} + C \) 
**Resposta:** a) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 \, dx \). Assim, a 
integral se torna: 
\[ 
\int e^u \frac{du}{3} = \frac{1}{3} e^{x^3} + C. 
\] 
 
### 25. Encontre a solução da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \). 
a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} \) 
d) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \) 
**Resposta:** a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
**Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 2r + 1 = 0 \), com raiz dupla \( r = 1 \). 
Portanto, a solução geral é: 
\[ 
y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}. 
\] 
 
### 26. Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx \). 
a) \( \frac{3}{8} \) 
b) \( \frac{2}{3} \) 
c) \( \frac{1}{4} \) 
d) \( \frac{1}{2} \) 
**Resposta:** a) \( \frac{3}{8} \) 
**Explicação:** Usando a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \): 
\[ 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 
\sin(x) \cos^2(x) \, dx. 
\] 
A primeira integral é \( 1 \) e a segunda é \( \frac{1}{3} \), resultando em \( \frac{3}{8} \). 
 
### 27. Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2}{3x^3 + 4} \). 
a) 0 
b) 1 
c) \( \frac{5}{3} \) 
d) \( \frac{2}{3} \) 
**Resposta:** c) \( \frac{5}{3} \) 
**Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \): 
\[ 
\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{3 + \frac{4}{x^3}} = \frac{5}{3}. 
\]