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**Resposta:** a) \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
**Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \): 
\[ 
\int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C. 
\] 
 
### 61. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2} \). 
a) 0 
b) 1 
c) \( \frac{9}{2} \) 
d) Não existe 
**Resposta:** c) \( \frac{9}{2} \) 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-3\sin(3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} 
\frac{-9\cos(3x)}{2} = \frac{9}{2}. 
\] 
 
### 62. Calcule a integral \( \int (x^2 + 1) e^x \, dx \). 
a) \( (x^2 + 1)e^x - 2xe^x + C \) 
b) \( (x^2 + 1)e^x + 2xe^x + C \) 
c) \( (x^2 + 1)e^x + 2xe^x + C \) 
d) \( (x^2 + 1)e^x - 2xe^x + C \) 
**Resposta:** a) \( (x^2 + 1)e^x - 2xe^x + C \) 
**Explicação:** Usando a regra do produto e integração por partes, obtemos: 
\[ 
\int (x^2 + 1)e^x \, dx = (x^2 + 1)e^x - 2xe^x + C. 
\] 
 
### 63. Encontre a solução da equação diferencial \( y' = 5y + 4 \). 
a) \( y = Ce^{5x} + \frac{4}{5} \) 
b) \( y = Ce^{-5x} + \frac{4}{5} \) 
c) \( y = Ce^{5x} + 4 \) 
d) \( y = Ce^{-5x} + 4 \) 
**Resposta:** a) \( y = Ce^{5x} + \frac{4}{5} \) 
**Explicação:** A equação é linear e pode ser resolvida usando o fator integrante. A 
solução geral é: 
\[ 
y = Ce^{5x} + \frac{4}{5}. 
\] 
 
### 64. Calcule a integral \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
a) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
b) \( x^3 - x^2 + C \) 
c) \( x^3 - 2x + C \) 
d) \( x^3 - 2x^2 + C \) 
**Resposta:** a) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C. 
\] 
 
### 65. Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 4} \). 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) \( \frac{3}{2} \) 
**Resposta:** c) 2 
**Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \): 
\[ 
\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = 2. 
\] 
 
### 66. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
b) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
c) \( \frac{1}{2} \ln(x) + C \) 
d) \( \frac{1}{x \ln(x)} + C \) 
**Resposta:** a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), temos \( du = \frac{1}{x} dx \). Assim, 
a integral se torna: 
\[ 
\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C. 
\] 
 
### 67. Encontre a solução da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = 0 \). 
a) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-x} \) 
b) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \) 
c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
d) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
**Resposta:** b) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \) 
**Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 2r + 1 = 0 \), com raiz dupla \( r = -1 \). 
Portanto, a solução geral é: 
\[ 
y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}. 
\] 
 
### 68. Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{2} \, dx \). 
a) \( \frac{1}{5} \) 
b) \( \frac{2}{5} \) 
c) \( \frac{3}{5} \) 
d) \( \frac{4}{5} \) 
**Resposta:** b) \( \frac{2}{5} \) 
**Explicação:** Usando a substituição \( x^3 = t \), obtemos: