5BW desafios 5BW

Prévia do material em texto

d) \( -\tan(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\cot(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \csc^2(x) \) é \( -\cot(x) + C \). 
 
66. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^3(x) \)?** 
 a) \( 3\tan^2(x) \sec^2(x) \) 
 b) \( 3\tan^2(x) \) 
 c) \( 3\tan^2(x) \tan(x) \) 
 d) \( \sec^2(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 3\tan^2(x) \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
67. **Qual é a integral de \( \int \sec^3(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \sec(x) \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \sec^2(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \sec^2(x) \tan(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \sec(x) \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^3(x) \) é uma integral conhecida. 
 
68. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)?** 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \tan(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \tan(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
69. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + x + 1) \)?** 
 a) \( \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + x + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + x + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
70. **Qual é a integral de \( \int x^4 e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} x^4 e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição. 
 
71. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 \sin(x) \)?** 
 a) \( 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \) 
 b) \( 3x^2 \sin(x) - x^3 \cos(x) \) 
 c) \( 3x^2 \cos(x) + x^3 \sin(x) \) 
 d) \( 3x^2 \sin(x) + 3x^2 \cos(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto. 
 
72. **Qual é a integral de \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \)?** 
 a) \( e^{x} \sin(x) + C \) 
 b) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 c) \( e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 d) \( e^{x} \sin(x) - e^{x} \cos(x) + C \) 
 **Resposta:** b) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes. 
 
73. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 b) \( \frac{2x}{1 + x^2} \) 
 c) \( \frac{2}{1 + x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{1 + x^4} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
74. **Qual é a integral de \( \int \sin^4(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 b) \( \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} x - \frac{1}{8} \sin(2x) + C \) 
 d) \( \frac{3}{8} x - \frac{1}{8} \sin(2x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^4(x) = \left( \sin^2(x) \right)^2 \) e 
integramos. 
 
75. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2 + 1} \)?** 
 a) \( 2x e^{x^2 + 1} \) 
 b) \( e^{x^2 + 1} \) 
 c) \( 2x e^{x^2} \) 
 d) \( 2 e^{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( 2x e^{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
76. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^4} \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{3x^3} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{4x^4} + C \) 
 c) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 d) \( -\frac{1}{3x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{3x^3} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( x^{-n} \) é \( \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C \).