teorema 1SY

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**Resposta: d) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)** 
 **Explicação:** O seno de \(45^\circ\) (ou \(\frac{\pi}{4}\) radianos) é conhecido: 
 \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 
 
7. **Dado que \(\cos A = \frac{1}{3}\), qual é \(\sin^2 A\)?** 
 a) \(\frac{8}{9}\) 
 b) \(\frac{4}{9}\) 
 c) \(\frac{5}{9}\) 
 d) \(\frac{1}{9}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{8}{9}\)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade fundamental: 
 \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \Rightarrow \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 
1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\). 
 
8. **O que \(\tan A\) representa em um triângulo?** 
 a) A relação entre o cateto adjacente e o oposto. 
 b) A relação entre o cateto oposto e a hipotenusa. 
 c) A relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente. 
 d) A relação entre a hipotenusa e o cateto oposto. 
 **Resposta: c) A relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente.** 
 **Explicação:** A tangente é definida como o cateto oposto dividido pelo cateto 
adjacente. 
 
9. **Qual é o valor de \(\sin 90^\circ\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) Não definido 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Por definição, \(\sin 90^\circ = 1\). 
 
10. **Se \(\cos x = \frac{3}{5}\), qual é o valor de \(\sin x\)?** 
 a) \(\frac{4}{5}\) 
 b) \(\frac{3}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{5}\) 
 d) \(\frac{2}{5}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{4}{5}\)** 
 **Explicação:** Usamos \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): 
 \(\sin^2 x + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \Rightarrow \sin^2 x + \frac{9}{25} = 1 \Rightarrow 
\sin^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin x = \frac{4}{5}\). 
 
11. **Qual é o comprimento do cateto oposto se em um triângulo retângulo \(A\) tem 
\(\sin A = \frac{1}{2}\) e a hipotenusa mede 10?** 
 a) 2 
 b) 5 
 c) 10 
 d) 7 
 **Resposta: b) 5** 
 **Explicação:** Usando a definição de seno: \(\sin A = 
\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\text{oposto}}{10} 
\Rightarrow \text{oposto} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\). 
 
12. **Qual é o valor de \(\cos 30^\circ\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 
 c) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 
 d) \(\frac{3}{4}\) 
 **Resposta: b) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)** 
 **Explicação:** O cosseno de \(30^\circ\) é conhecido: 
 \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 
 
13. **Qual é o resultado de \(\sin(2x)\) em termos de \(\sin x\) e \(\cos x\)?** 
 a) \(\sin^2 x + \cos^2 x\) 
 b) \(2 \sin x \cos x\) 
 c) \(\sin x + \cos x\) 
 d) \(\sin^2 x - \cos^2 x\) 
 **Resposta: b) \(2 \sin x \cos x\)** 
 **Explicação:** A fórmula do ângulo duplo dá \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\). 
 
14. **Dado que \(\sin x = k\), qual é o valor de \(\cos^2 x\)?** 
 a) \(1 - k^2\) 
 b) \(k^2\) 
 c) \(2k\) 
 d) \(k\) 
 **Resposta: a) \(1 - k^2\)** 
 **Explicação:** A relação fundamental \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) implica: 
 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - k^2\). 
 
15. **Se \(\cot A = 3\), qual é o valor de \(\tan A\)?** 
 a) \(\frac{3}{1}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) 3 
 d) 1 
 **Resposta: b) \(\frac{1}{3}\)** 
 **Explicação:** \(\cot A\) é o recíproco da tangente: 
 \(\cot A = \frac{1}{\tan A} \Rightarrow \tan A = \frac{1}{3}\). 
 
16. **Qual é o valor de \(\sin(180^\circ - x)\)?** 
 a) \(-\sin x\) 
 b) \(\sin x\) 
 c) \(0\) 
 d) \(-\cos x\) 
 **Resposta: b) \(\sin x\)** 
 **Explicação:** A identidade \(\sin(180^\circ - x) = \sin x\).