ensino da aula 27A

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a) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 b) \( 2 + \sqrt{3}i \) 
 c) \( 2 + 2i \) 
 d) \( 2 + 0i \) 
 Resposta: b) \( 2 + \sqrt{3}i \) 
 Explicação: Usamos a fórmula \( z = re^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta) \). Aqui, \( r 
= 2 \) e \( \theta = \frac{\pi}{3} \). Assim, \( z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2(0.5 
+ i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 + \sqrt{3}i \). 
 
11. Qual é o produto dos números complexos \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 2 - i \)? 
 a) \( 3 + i \) 
 b) \( 2 + 3i \) 
 c) \( 4 - i \) 
 d) \( 3 - i \) 
 Resposta: d) \( 3 - i \) 
 Explicação: O produto \( z_1 z_2 = (1 + i)(2 - i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-i) + i \cdot 2 + i \cdot (-
i) = 2 - i + 2i + 1 = 3 + i \). 
 
12. Se \( z = 3 - 4i \), qual é \( |z|^2 \)? 
 a) 25 
 b) 16 
 c) 7 
 d) 12 
 Resposta: a) 25 
 Explicação: O quadrado do módulo é dado por \( |z|^2 = a^2 + b^2 \). Aqui, \( a = 3 \) e \( b 
= -4 \), então \( |z|^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 \). 
 
13. Qual é o valor de \( z^4 \) se \( z = 1 + i \)? 
 a) 4 
 b) 0 
 c) 4i 
 d) 2 + 2i 
 Resposta: a) 4 
 Explicação: Calculamos \( z^2 = 2i \) e então \( z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = -4 \). 
 
14. Se \( z = 2 + 2i \), qual é o valor de \( z^{-1} \)? 
 a) \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \) 
 b) \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \) 
 c) \( 2 - 2i \) 
 d) \( 2 + 2i \) 
 Resposta: a) \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \) 
 Explicação: O inverso de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( z^{-1} = 
\frac{\overline{z}}{|z|^2} \). Aqui, \( \overline{z} = 2 - 2i \) e \( |z|^2 = 8 \), então \( z^{-1} = 
\frac{2 - 2i}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i \). 
 
15. Qual é a equação que representa o círculo com centro em \( (1, 2) \) e raio \( 3 \)? 
 a) \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \) 
 b) \( (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \) 
 c) \( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3 \) 
 d) \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3 \) 
 Resposta: a) \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \) 
 Explicação: A equação do círculo é dada por \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), onde \( (h, k) \) 
é o centro e \( r \) é o raio. Assim, \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2 = 9 \). 
 
16. Se \( z = 1 + \sqrt{3}i \), qual é o argumento \( \theta \) de \( z \)? 
 a) \( \frac{\pi}{3} \) 
 b) \( \frac{\pi}{6} \) 
 c) \( \frac{2\pi}{3} \) 
 d) \( 0 \) 
 Resposta: a) \( \frac{\pi}{3} \) 
 Explicação: O argumento é dado por \( \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right) = \tan^{-1} 
\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \). 
 
17. Qual é o valor de \( z^3 \) se \( z = 1 + i \)? 
 a) 2 
 b) 0 
 c) \( -2 + 2i \) 
 d) \( 2 + 2i \) 
 Resposta: c) \( -2 + 2i \) 
 Explicação: Calculamos \( z^2 = 2i \) e então \( z^3 = z \cdot z^2 = (1 + i)(2i) = 2i + 2i^2 = 2i 
- 2 = -2 + 2i \). 
 
18. Se \( z = 4 + 4i \), qual é \( z^2 \)? 
 a) \( 32 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 8 + 32i \) 
 d) \( 0 + 32i \) 
 Resposta: a) \( 32 \) 
 Explicação: Usamos a fórmula \( z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 \). Assim, \( z^2 = (4 
+ 4i)^2 = 16 + 32i - 16 = 32i \). 
 
19. Qual é a forma retangular do número complexo \( z = 2 \text{cis}(\frac{\pi}{4}) \)? 
 a) \( 2 + 2i \) 
 b) \( 2\sqrt{2} + 0 \) 
 c) \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) 
 d) \( 1 + i \) 
 Resposta: c) \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) 
 Explicação: Usamos a fórmula \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \). Assim, \( z = 2(\cos 
\frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + 
\sqrt{2}i \). 
 
20. Se \( z = 3 + 4i \), qual é o valor de \( z + \overline{z} \)? 
 a) 7 
 b) 12 
 c) 0 
 d) 8