94_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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admite apenas a solução trivial α1 = α2 = ... = αn = 0. Caso contrário, se houver 
solução além dessa, dizemos que B é um conjunto linearmente dependente.
No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais, 
considere o conjunto B = {u1, u2, u3}, tal que:
u1 = x2 + 2x – 1
u2 = 3x2 + x
u3 = –5x + 3
Esse conjunto é linearmente dependente, pois:
α1u1 + α2u2 + α3u3 = 0
admite a solução não trivial α1 = 3, α2 = –1, α3 = 1, de modo que:
3u1 – 1u2 + 1u3 = 0
Um caso particular da definição é o caso onde B contém dois vetores. Nesse 
caso, B = {u1, u2} é linearmente dependente se, e somente se:
α1u1 + α2u2 = 0
admite solução não trivial, tal que α1, α2 ≠ 0. Assim, a igualdade é equi-
valente a:
E podemos concluir que um conjunto de dois vetores é linearmente depen-
dente se, e somente se, u1 e u2 são vetores múltiplos.
Espaços vetoriais: dependência e independência linear2
No espaço vetorial M3×2(ℝ) das matrizes 3 × 2 de coeficientes reais, considere os 
conjuntos:
1. B1 = u1 = , u2 =
 2 1
–3 2
–1 0
 1 2
–1 1
 3 2
2. B2 = v1 = , v2 =
–2 –4
 2 –2
–6 –4
 3 6
–3 3
 9 6
Observe o seguinte:
 � B1 é linearmente independente, pois não existe λ ∈ ℝ, tal que u1 = λu2. Para isso, 
basta verificar que a igualdade u1 = λu2 é equivalente ao sistema a seguir, o qual 
não tem solução:
2 = 1λ
1 = 2λ
–3 = –1λ
2 = 1λ
–1 = 3λ
0 = 2λ
 � B2 é linearmente dependente, pois existe λ ∈ ℝ, tal que v1 = λv2. Para isso, verificamos 
que a igualdade v1 = λv2 é equivalente ao sistema:
–2 = 3λ
–4 = 6λ
2 = –3λ
–2 = 3λ
–6 = 9λ
–4 = 6λ
que tem solução λ = –2/3. Isto é:
1 ∙ + (–2/3) ∙ = 
 3 6
–3 3
 9 6
–2 –4
 2 –2
–6 –4
0 0
0 0
0 0
3Espaços vetoriais: dependência e independência linear
A última igualdade do exemplo anterior sinaliza um detalhe muito sutil da 
definição de conjuntos linearmente independentes. Nas condições da definição, 
dizer que B é linearmente independente significa que a única combinação 
linear que resulta no vetor nulo é a combinação:
α1u1 + α2u2 + ... + αnun = 0
onde α1 = α2 = ... = αn = 0. Estamos destacando essa sutiliza pelo exemplo 
a seguir.
No espaço vetorial C 0 (ℝ) das funções reais contínuas em ℝ, considere os conjuntos:
1. B1 = {u1 = cos2(x), u2 = 1 – sen2(x)}
2. B2 = {v1 – sen(x), v2 = cos(x)}
E observe o seguinte:
 � B1 é linearmente dependente, pois existe λ ∈ ℝ, tal que u1 = λu2. Para isso, temos que 
nos lembrar da relação fundamental trigonométrica que afirma, para todo x ∈ ℝ:
cos2(x) + sen2(x) = 1
Portanto:
cos2(x) = 1 · (1 – sen2 (x))
Essa igualdade vale para todo x ∈ ℝ.
 � B2 é linearmente independente, pois não existe λ ∈ ℝ, tal que v1 = λv2; essa última 
igualdade ocorre porque v1 = λv2 significa que:
sen(x) = λcos(x)
Ou, de forma equivalente:
sen(x)
cos(x) = tg(x) = λ
onde a função tg(x) não é constante. Isto é, não existe λ, tal que v1(x) = λv2(x) para 
todo x ∈ ℝ.
Espaços vetoriais: dependência e independência linear4