193_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Dessa maneira, os vetores u + v e αu também são combinações lineares 
de B , pois, para todo α ∈ ℝ:
u + v = (α1 + β1) u1 + (α2 + β2) u2 + ⋯ (αn + βn) un
αu = (αα1) u1 + (αα2) u2 + ⋯ + (ααn) un.
Isso quer dizer que ger(B) é fechado em relação às operações de E.
 � Usando a teoria do cálculo, sejam I = [0,1] ⊂ ℝ intervalo fechado, C0 (I) o conjunto 
formado por todas as funções reais contínuas definidas em I, e B o conjunto de 
todas as funções reais definidas em I, da forma:
un (x) = sen (nπx)
onde n = 1, …, + ∞.
Assim, podemos afirmar que o gerado de B é um subespaço de C0 (I) no qual, para 
todo u ∈ ger (B), existem α1, α2, … ∈ ℝ, tal que:
u(x) = α1 sen (nπx) + α2 sen (nπx) + …;
u(0) = u(1) = 0.
Podemos entender esse conjunto como sendo o das cordas tensionadas e vibrantes 
entre os pontos fixos (0,0) e (1,0), onde cada ui representa uma frequência de u.
Veja, a seguir, a Figura 1.
Figura 1. O gráfico à esquerda mostra, em verde, u1 (x) = sem(πx), em vermelho, u2 (x) = 
sem(2πx) e, em azul, u3 (x) = sem(3πx). O gráfico à direita mostra u(x) = u1 – u2 – u3
1
2
1
4
1
4
 .
7Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas
Um conjunto como espaço vetorial
Pelo que foi definido anteriormente, um conjunto E dotado de uma operação 
de soma e uma operação de multiplicação por um número real é um espaço 
vetorial, se E satisfaz as condições (i) e (ii) de fechamento das operações e as 
condições de (a) até (f) das propriedades necessárias às operações.
Podemos reescrever essa definição como um algoritmo, a fim de verificar 
se um determinado conjunto E com duas operações é espaço vetorial.
1. Identificar o conjunto E de elementos que serão os vetores.
2. Identificar as operações de soma e multiplicação por escalar.
3. Verificar as condições (i) e (ii), isto é, se as operações de soma e mul-
tiplicação por escalar são fechadas em E.
4. Verificar as propriedades (a) até (f).
Considere o conjunto F das matrizes 2 × 2 da forma u =
a11 a12
a21 a22
, onde aij ∈ ℝ para 
todo i,j = 1,2.
Dados u = , v = e α є ℝ
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
, definimos a soma e a multiplicação 
por escalar em F como:
u + v =
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
αu =
αa11 αa12
αa21 αa22
Assim, verificamos as seguintes condições.
i. u + v é uma matriz 2 × 2, e cada entrada de u + v é um número real, logo u + v ∈ F.
ii. αu é uma matriz 2 × 2, e cada entrada de αu é um número real, logo αu ∈ F.
A seguir, verificamos se essas operações satisfazem os axiomas.
Dados u = , v = , w = є E e α, β є ℝ
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
c11 c12
c21 c22
.
Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas8
a) u + v = = = v + u;
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
b11 + a11 b12 + a12
b21 + a21 b22 + a22
b) (u + v) + w = + =
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
c11 c12
c21 c22
a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12
a21 + b21 + C21 a22 + b22 + c22
=
a11 a12
a21 a22
+ = u + (v + w)
b11 + c11 b12 + c12
b21 + c21 b22 + c22
e (αβ)u = = = α(βu);
(αβ)a11 (αβ)a12
(αβ)a21 (αβ)a22
α(βa11) α(βa12)
α(βa21) α(βa22)
c) Tomando 0 = 0 0
0 0 , então, para todo v ∈ E:
 
0 + v = + = = v;0 0
0 0
b11 b12
b21 b22
b11 b12
b21 b22
d) Para cada u ∈ E tomando –u = (–1)u = 
–a11 –a12
–a21 –a22
, temos:
u + (–u) = + = ; 
a11 a12
a21 a22
–a11 –a12
–a21 –a22
0 0
0 0
e) (α + β)u = (α + β) = 
a11 a12
a21 a22
(α + β)a11 (α + β)a12
(α + β)a21 (α + β)a22
= = αu + βu
αa11 + βa11 αa12 + βa12
αa21 + βa21 αa22 + βa22
 e
α(u + v) = = + = αu + αv;
α(a11 + b11) α(a12 + b12)
α(a21 + b21) α(a22 + b22)
αa11 αa12
αa21 αa22
αb11 αb12
αb21 αb22
f) Para todo u ∈ E, temos que:
1 · u = u .
1a11 1a12
1a21 1a22
Portanto, F é espaço vetorial.
Vamos alterar o exemplo acima para mostrar algumas sutilezas do algoritmo.
9Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas