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ÁLGEBRA LINEAR
Marcelo Maximiliano Danesi
Espaços vetoriais: base
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer os conceitos de base e dimensão de espaços vetoriais 
gerais.
 � Avaliar se um conjunto é base de um espaço vetorial dado.
 � Encontrar uma base para um espaço vetorial dado.
Introdução
Neste capítulo, você definirá o conceito geral de base e dimensão de 
espaços vetoriais, verá exemplos de conjuntos e suas bases e como 
podemos usar o conceito de dimensão junto com as transformações 
lineares a fim de melhor perceber os subespaços associados a ela. Além 
disso, saberá como construir a base de espaço vetorial usando as técnicas 
desenvolvidas em ℝn.
A definição de base e dimensão num espaço vetorial qualquer permite 
uma aproximação do ℝn, por meio das coordenadas de um vetor, e for-
nece as ferramentas que faltavam para entendermos as transformações 
lineares, mediante aplicação do teorema do núcleo e da imagem.
Base e dimensão de espaços vetoriais
Dentro da noção geral de espaço vetorial, uma base de um espaço vetorial 
E é um conjunto B ⊂ E, linearmente independente e gerador de E. Isto é, se 
v ∈ E e B é uma base de E, então podemos escrever, de forma única, v como 
uma combinação linear de elementos em B. A saber, existem v1, …, vn ∈ B e 
α1, ⋯, αn ∈ ℝ tal que:
v = α1 ⋅ v1 + ⋯ + αn ⋅ vn.
Adicionalmente, se B = {v1, … , vn}, então os números α1, … , αn são cha-
mados de coordenadas do vetor v na base B, e escrevemos (v)B = (α1, … , αn).
Em P3, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes 
reais, considere o conjunto formado pelos vetores:
v1 = x3 + 2x – 4
v2 = x2 + 3x – 2
v3 = x3 + 2x2 + 3x – 3
v4 = 4x3 – x2 + 2x + 7
a) B = {v1, v2, v3, v4} é um conjunto linearmente independente?
b) Como podemos escrever o vetor v = 11x3 – 3x2 + 7x + 4 como uma combinação 
linear dessa base? Isto é, quais são as coordenadas de v na base B?
Solução: 
a) B é um conjunto linearmente independente porque a combinação linear α1 ⋅ v1 
+ α2 ⋅ v2 + α3 ⋅ v3 + α4 ⋅ v4 = 0 admite apenas a solução trivial α1 = α2 = α3 = α4 = 0. 
Verificamos isso por meio da substituição dos vetores na igualdade α1 ⋅ (x3 + 2x – 4) 
+ α2 ⋅ (x2 + 3x – 2) + α3 ⋅ (x3 + 2x2 + 3x – 3) + α4⋅(4x3 – x2 + 2 + 7) = 0, distribuindo e 
arranjando os termos de acordo com as potências de x: 
(α1 + α3 + 4α4) x
3 + (α2 + 2α3 – α4 ) x
2 + (2α1 + 3α2 + 3α3 + 2α4 )x + 
(– 4α1 – 2α2 – 3α3 + 7α4) = 0.
Dessa forma, podemos afirmar que, em cada coeficiente: 
α1 + α3 + 4α4 = 0
α2 + 2α3 + α4 = 0
2α1 + 3α2 + 3α3 + 2α4 = 0
–4α1 – 2α2 – 3α3 + 7α4 = 0
o que é equivalente à equação matricial: 
 1 0 1 4
 0 1 2 –1
 2 3 3 2
–4 –2 –3 7
α1
α2
α3
α4
. =
0
0
0
0
que admite apenas a solução trivial. Podemos calcular isso por meio do método 
de Gauss.
Espaços vetoriais: base2