Logo Passei Direto
Buscar
Material
páginas com resultados encontrados.
páginas com resultados encontrados.

Prévia do material em texto

1
47
1
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer
Álgebra Linear
Aula 4
47
2
Conversa Inicial
47
3
Independência linear
Interpretação geométrica da independência 
linear
Propriedades da independência linear
Bases e dimensões
Mudança de base
47
4
Independência linear
47
5
Combinação linear dos vetores � =
{��,��,… ,��}∈ � é dada pela existência de 
��,��,… ,�� ∈ ℝ tal que: 
���� + ���� + ⋯ + ���� = 0
� = ����(�) como todas as combinações 
lineares possíveis dos vetores � = {��,��,… ,��}, 
� será um espaço vetorial gerado por �
Revendo espaços gerados
47
6
Exemplo
�� = (1,− 1,2), �� = (−2,3,1)e �� = (−1,3,8)
� = ���� ��,��,�� = {��,��,��}
�� possui uma relação de dependência com 
os vetores ��,��
�� pode ser escrito como combinação linear 
de �� e ��, dado que:
�� = 3�� + 2��
1 2
3 4
5 6
2
47
7
Se � = ���� + ���� + ����, então:
� = ���� + ���� + �� 3�� + 2�� = �� + 3�� �� +
�� + 2�� �� = ���� + ����
Logo,� = ��,��,�� = ��,�� = ��,�� = {��,��
Generalizando: se ��,��,… ,�� gera um espaço 
vetorial �, sendo que um desses vetores pode 
ser escrito como combinação linear dos 
outros � − 1 vetores, então basta esses � − 1
vetores para gerar �
47
8
� = {��,��,… ,��}∈ �
Diremos que � forma um conjunto 
linearmente independente se: 
���� + ���� + ⋯ + ���� = 0
Então, necessariamente, �� = �� = ⋯ = �� = 0
(solução trivial)
Independência linear
47
9
Exemplo: �� = (1,1)e �� = (1,2)
�� e �� são linearmente independentes, dado 
que a equação ���� + ���� = 0 só tem uma única 
solução �� = �� = 0
Isso porque escrevemos �� 1,1, + �� 1,2 = (0,0), 
ou seja, �
�� + �� = 0
�� + 2�� = 0
47
10
� = {��,��,… ,��}∈ �
� será um conjunto linearmente dependente 
se:
���� + ���� + ⋯ + ���� = 0
Tiver outra solução além da solução 
trivia. Isso implica que pelo menos um 
dos valores ��,��,… ,�� é diferente de zero
Dependência linear
47
11
Exemplo: �� = (1,2,3), �� = (1,0,0), �� = (0,1,0)e �� =
(0,0,1)
���� + ���� + ���� + ���� = 0
�� 1,2,3 + �� 1,0,0 + �� 0,1,0 + �� 0,0,1 = (0,0,0)
�
�� + �� = 0
2�� + �� = 0
3�� + �� = 0
Aqui, embora ��,��,��,�� = (0,0,0,0)seja uma 
solução viável, ��,��,��,�� = (1,2,3,− 1) também é, 
indicando que os vetores são linearmente 
dependentes
47
12
Interpretação geométrica
da independência linear
7 8
9 10
11 12
3
47
13
O vetor � será linearmente independente se 
fizermos a combinação linear ��� = 0 e 
obtermos uma única solução: �� = 0
Perceba que isso é válido para qualquer � que 
não seja o vetor nulo
Se � é um vetor linearmente independente, 
podemos escrever um espaço gerado por �
Independência linear em uma dimensão
47
14
Esse será � = ����{�}e 
acabará formado por todos 
os vetores que podem ser 
escritos como combinação 
linear de �, isto é, serão os 
vetores � tais que � = ��
Todo vetor que tem a 
mesma direção e sentido 
de � é linearmente 
dependente a ele
Dessa forma, � = ���� �
é uma reta passando 
pela origem
Independente Dependente
u = 0
u 
0 
47
15
Dado ��,��, a expressão de independência 
linear será dada por: ���� + ���� = 0
Serão linearmente independentes se a única 
solução dessa equação for ��,�� = (0,0), mas 
linearmente dependentes caso contrário
Independência linear em duas dimensões
47
16
Vetores paralelos: 
linearmente dependentes 
Se escolhermos, em um 
espaço de duas 
dimensões, dois vetores, 
digamos ��,��, o conjunto 
de todas as combinações 
lineares, � = ����{��,��}, 
contém todos os vetores 
� = ���� + ����
Independente Dependente
V 
W 
W 
V 
47
17
Se consideramos um vetor �� = (��,��,��)e �� =
(��,��,��), isto é, vetores do espaço vetorial ℝ �, 
vetor normal determinado pelos vetores ��, ��
dado por � = �� × ��
�� × �� = (���� − ����,��. �� − ����,���� − ����)
Se �� = (��,��,��)é um vetor que pertence ao 
plano gerado por �� e ��, concluímos que esse 
plano é dado por: ���� − ���� . �� + (���� −
����). �� + ���� − ���� . �� = 0
Independência linear em três dimensões
47
18
Perceba que essa equação é equivalente a escrever a 
combinação linear de �� em termos de �� e ��
Dois vetores, quando linearmente independentes, 
geram um plano que contém esses vetores
De forma similar, três vetores serão linearmente 
dependentes se estiverem no mesmo plano
u 
0 
w
v
u 
0 
wv
13 14
15 16
17 18
4
47
19
Propriedades da
independência linear
47
20
� = {��,��,… ,��,����} linearmente independente
Se eliminarmos desse conjunto um elemento 
qualquer desses, digamos, ����, o novo 
conjunto dado por �� = ��,��,… ,�� também é 
linearmente independente
Embora os espaços vetoriais � = ����{�}e �� =
����{��}sejam distintos, não existe relação de 
dependência criada entre seus vetores de 
base
47
21
Recíproca
Sabendo que � = {��,��,… ,��}são 
linearmente independentes, e adicionando 
qualquer vetor, digamos, ����, que faça 
parte do espaço gerado � = ����{�}, então 
{��,��,… ,��,����}é linearmente dependente
Geração do espaço vetorial a partir de um 
conjunto de vetores mínimo, isto é, uma 
base!
47
22
�� = 1,− 1,0,1 ,�� = 3,− 1,4,3 ,�� = 2,− 1,2,2 ,�� =
0,1,4,− 2 ,�� = 1,0,3,0
Relação da Independência linear com 
matrizes
47
23
Equação de independência linear
�� 1,− 1,0,1 + �� 3,− 1,4,3 + �� 2,− 1,2,2 + �� 0,1,4,− 2 +
�� 1,0,3,0 = 0
�� + 3�� + 2�� + �� = 0
− �� − �� − �� + �� = 0
4�� + 2�� + 4�� + 3�� = 0
�� + 3�� + 2�� − 2�� = 0
 � =
1 3 2 0 1
− 1 − 1 − 1 1 0
0 4 2 4 3
1 3 2 − 2 0
47
24
Se a matriz é singular e tem det � = 0, então o 
sistema poderá ser impossível ou possível, 
mas indeterminado (com infinitas soluções) 
��,��,��,��,�� = (0,0,0,0,0)é a solução trivial, 
sabemos que o sistema não é impossível, 
mas, sendo possível, possui infinitas soluções 
Logo, se considerarmos ��,��,… ,�� ∈ ℝ � a 
matriz � = ��,��,… ,�� sendo singular, isso nos 
fará concluir que ��,��,… ,�� são linearmente 
dependentes
19 20
21 22
23 24
5
47
25
�� = 1 + �, �� = � + �� e �� = 1 + ��
São linearmente independentes?
Conjunto ��: ��
� + �� + �
Exemplo
47
26
Combinação linear
�� 1 + � + �� � + �� + �� 1 + �� = 0 + 0� + 0��
�
�� + �� = 0
�� + �� = 0
�� + �� = 0
 � =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
Como det � = 2, concluímos que � é não singular 
e esse sistema é possível e determinado
Sua única solução é a solução trivial dada por 
��,��,�� = (0,0,0), indicando que os vetores são 
linearmente independentes
47
27
Bases e dimensões
47
28
“Versores de base”: � = (1,0)e � = (0,1)
� = �,� : base canônica, gera ℝ �, indicando que 
qualquer vetor de ℝ � é obtido pela combinação linear 
de � e �
� = �� + ��, em que (�,�) são as coordenadas de � em 
relação a � e �
Essa é a mesma equação da combinação linear, ���� +
���� = �
Por exemplo, o vetor 2,4 = 2 1,0 + 4 0,1 é a única 
forma de escrever o vetor (2,4)como combinação 
linear de � e �
Base de um espaço vetorial
47
29
Vetores �� = (1,1)e �� = (1,− 1)
Sendo outra base para o ℝ �, gera qualquer 
elemento do plano cartesiano
Por exemplo, 2,4 = 3 1,1 − (1,− 1)é a única 
combinação linear desses vetores
Aqui, (3,− 1)são as coordenadas do vetor (2,4)
em relação à base ��,��
As coordenadas mudam em relação à base 
escolhida
47
30
�� = 1,1 ,�� = 1,− 1 ,�� = (1,0)
Como �� pertence ao espaço vetorial gerado 
por �� e ��, isto é, ao plano cartesiano, 
sabemos que �� é linearmente dependente à 
�� e ��
� = {��,��,��}gera o plano cartesiano, mas não 
é base desse espaço vetorial
Podemos gerar qualquer vetor do plano 
cartesiano como combinação linear desses 
três vetores, mas essa representação não é 
única
25 26
27 28
29 30
6
47
31
Por exemplo:
2,4 = 3 1,1 − 1,− 1 + 0 1,0
2,4 = 0 1,1 − 4 1,− 1 + 6 1,0
2,4 = 4 1,1 + 0 1,− 1 − 2(1,0)
Perceba, portanto, que, para se ter unicidade 
na escrita das coordenadas dos vetores, o 
conjunto que escolhemos como gerador do 
espaço vetorial deve ser linearmente 
independente
Esse conjunto é a base do espaço vetorial
47
32
Assim, os vetores ��,��,… ,�� formam uma basepara o espaço vetorial � se, e somente se, 
��,��,. . ,�� são linearmente independentes e 
ainda geram �
Quando � = {��,��,… ,��} forma uma base para o 
espaço vetorial �, todo vetor � ∈ � é escrito 
como � = ���� + ���� + ⋯ + ����, em que 
(��,��,… ,��)são as coordenadas de � em 
relação à base �
47
33
Qualquer espaço vetorial finito que seja 
gerado por vetores não nulos possuirá uma 
base
Se escolhermos uma base � = {��,��,… ,��}∈ �
que seja desse espaço vetorial, não podemos 
adicionar vetores à base, visto que a 
existência de ���� ∈ � adicionado à � fará 
desse conjunto linearmente dependente e, 
portanto, embora gere �, não será uma base
Teoremas
47
34
Se retirarmos de � um vetor qualquer, 
digamos ��, o novo conjunto não será 
suficiente para gerar � e, mesmo sendo 
linearmente independente, não será uma 
base para �
47
35
Não podemos aumentar ou diminuir a 
quantidade de vetores em uma base de um 
espaço vetorial �, sob a pena de o novo 
conjunto de vetores não configurar uma base
Todo espaço vetorial terá suas bases com a 
mesma quantidade de vetores
Dimensão de �
47
36
Se uma base � tem � vetores, diremos que 
dim � = �
Se � é um espaço vetorial � −dimensional e 
sendo � finito, o espaço vetorial terá 
dimensão finita
Conclusão
Se sabemos que dim � = �, sendo � =
{��,��,… ,��}∈ �, � formará uma base para �
se, e somente se, � for linearmente 
independente e se, e somente se, por sua 
vez, � gerar �
31 32
33 34
35 36
7
47
37
Mudança de base
47
38
A base mais simples é a base canônica, {� =
1,0 ,� = 0,1 }
Qualquer � ∈ ℝ � é dado como � = �� + ��
Se escolhermos outra base, digamos ��,��, o 
vetor � será dado como � = ���� + ����, isto é, terá 
novas coordenadas
Para fazer a conversão das coordenadas �,� (�,�)
para ��,�� (��,��), vamos iniciar escrevendo o vetor 
� = ���� + ���� em termos da base canônica
Mudança de base no ℝ �
47
39
Nesse caso, �� = ��� + ���, enquanto �� = ��� + ���
� = ���� + ���� = �� ��� + ��� + �� ��� + ��� =
���� + ���� � + ���� + ���� �
Logo, as coordenadas do vetor � = ���� + ����
em relação à base canônica serão � = ���� +
���� e � = ���� + ����
� =
���� + ����
���� + ����
=
�� ��
�� ��
��
��
Matriz de mudança de base
47
40
Por exemplo, a base �� = (3,2)e �� = (1,1)
Podemos escrever � =
3 1
2 1
��
��
, em que � =
3 1
2 1
é a matriz de mudança de base
Se um vetor tem coordenadas (0,1)nessa 
base, terá, na base canônica, coordenadas 
(1,1)
47
41
Suponha a existência de um espaço vetorial �
que possua uma de suas bases dadas por � =
[��,��,… ,��]
Por ser uma base, qualquer elemento de � ∈ �
é dado como � = ���� + ���� + ⋯ + ���� com 
��,��,… ,�� ∈ ℝ
O vetor (��,��,… ,��)é o vetor de coordenadas 
de � em relação à base � e sua notação é � �
Mudança de base para um espaço vetorial 
de dimensão �
47
42
Considere um vetor � escrito para uma base 
� = {��,��,… ,��}
� � = ���� + ���� + ⋯ + ����
Se � pode ser escrito em termos da base 
canônica, � = {��,��,… ,��}, então deverá haver 
(��,��,… ,��)de forma que � � = ���� + ���� + ⋯ +
����
Como:
�� = ����� + ����� + ⋯ + �����, �� = ����� + ����� +
⋯ + �����, … ,�� = ����� + ����� + ⋯ + �����
37 38
39 40
41 42
8
47
43
Podemos escrever:
� =
��� ��� ⋯ ���
��� ��� ⋯ ���
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
��� ��� ⋯ ���
. 
Essa é a matriz de mudança de coordenadas 
da base � para a base canônica �
Ao encontrar a matriz inversa, encontramos a 
matriz de mudança de coordenadas, agora da 
base canônica � para a base �
47
44
Na Prática
47
45
Considerando a base � = 1,1 , − 1,1 e a base 
canônica � = 1,0 , 0,1 , encontre a matriz de 
mudança de coordenadas de � para � e de �
para �
Sabendo que � � = 0,2 , encontre � �
47
46
Finalizando
47
47
Finalizando
47
48
43 44
45 46
47 48

Mais conteúdos dessa disciplina