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Prof. Guilherme Augusto Pianezzer
Álgebra Linear
Aula 4
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Conversa Inicial
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Independência linear
Interpretação geométrica da independência
linear
Propriedades da independência linear
Bases e dimensões
Mudança de base
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Independência linear
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Combinação linear dos vetores � =
{��,��,… ,��}∈ � é dada pela existência de
��,��,… ,�� ∈ ℝ tal que:
���� + ���� + ⋯ + ���� = 0
� = ����(�) como todas as combinações
lineares possíveis dos vetores � = {��,��,… ,��},
� será um espaço vetorial gerado por �
Revendo espaços gerados
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Exemplo
�� = (1,− 1,2), �� = (−2,3,1)e �� = (−1,3,8)
� = ���� ��,��,�� = {��,��,��}
�� possui uma relação de dependência com
os vetores ��,��
�� pode ser escrito como combinação linear
de �� e ��, dado que:
�� = 3�� + 2��
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2
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Se � = ���� + ���� + ����, então:
� = ���� + ���� + �� 3�� + 2�� = �� + 3�� �� +
�� + 2�� �� = ���� + ����
Logo,� = ��,��,�� = ��,�� = ��,�� = {��,��
Generalizando: se ��,��,… ,�� gera um espaço
vetorial �, sendo que um desses vetores pode
ser escrito como combinação linear dos
outros � − 1 vetores, então basta esses � − 1
vetores para gerar �
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� = {��,��,… ,��}∈ �
Diremos que � forma um conjunto
linearmente independente se:
���� + ���� + ⋯ + ���� = 0
Então, necessariamente, �� = �� = ⋯ = �� = 0
(solução trivial)
Independência linear
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Exemplo: �� = (1,1)e �� = (1,2)
�� e �� são linearmente independentes, dado
que a equação ���� + ���� = 0 só tem uma única
solução �� = �� = 0
Isso porque escrevemos �� 1,1, + �� 1,2 = (0,0),
ou seja, �
�� + �� = 0
�� + 2�� = 0
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� = {��,��,… ,��}∈ �
� será um conjunto linearmente dependente
se:
���� + ���� + ⋯ + ���� = 0
Tiver outra solução além da solução
trivia. Isso implica que pelo menos um
dos valores ��,��,… ,�� é diferente de zero
Dependência linear
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Exemplo: �� = (1,2,3), �� = (1,0,0), �� = (0,1,0)e �� =
(0,0,1)
���� + ���� + ���� + ���� = 0
�� 1,2,3 + �� 1,0,0 + �� 0,1,0 + �� 0,0,1 = (0,0,0)
�
�� + �� = 0
2�� + �� = 0
3�� + �� = 0
Aqui, embora ��,��,��,�� = (0,0,0,0)seja uma
solução viável, ��,��,��,�� = (1,2,3,− 1) também é,
indicando que os vetores são linearmente
dependentes
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Interpretação geométrica
da independência linear
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11 12
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O vetor � será linearmente independente se
fizermos a combinação linear ��� = 0 e
obtermos uma única solução: �� = 0
Perceba que isso é válido para qualquer � que
não seja o vetor nulo
Se � é um vetor linearmente independente,
podemos escrever um espaço gerado por �
Independência linear em uma dimensão
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Esse será � = ����{�}e
acabará formado por todos
os vetores que podem ser
escritos como combinação
linear de �, isto é, serão os
vetores � tais que � = ��
Todo vetor que tem a
mesma direção e sentido
de � é linearmente
dependente a ele
Dessa forma, � = ���� �
é uma reta passando
pela origem
Independente Dependente
u = 0
u
0
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Dado ��,��, a expressão de independência
linear será dada por: ���� + ���� = 0
Serão linearmente independentes se a única
solução dessa equação for ��,�� = (0,0), mas
linearmente dependentes caso contrário
Independência linear em duas dimensões
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Vetores paralelos:
linearmente dependentes
Se escolhermos, em um
espaço de duas
dimensões, dois vetores,
digamos ��,��, o conjunto
de todas as combinações
lineares, � = ����{��,��},
contém todos os vetores
� = ���� + ����
Independente Dependente
V
W
W
V
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Se consideramos um vetor �� = (��,��,��)e �� =
(��,��,��), isto é, vetores do espaço vetorial ℝ �,
vetor normal determinado pelos vetores ��, ��
dado por � = �� × ��
�� × �� = (���� − ����,��. �� − ����,���� − ����)
Se �� = (��,��,��)é um vetor que pertence ao
plano gerado por �� e ��, concluímos que esse
plano é dado por: ���� − ���� . �� + (���� −
����). �� + ���� − ���� . �� = 0
Independência linear em três dimensões
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Perceba que essa equação é equivalente a escrever a
combinação linear de �� em termos de �� e ��
Dois vetores, quando linearmente independentes,
geram um plano que contém esses vetores
De forma similar, três vetores serão linearmente
dependentes se estiverem no mesmo plano
u
0
w
v
u
0
wv
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Propriedades da
independência linear
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� = {��,��,… ,��,����} linearmente independente
Se eliminarmos desse conjunto um elemento
qualquer desses, digamos, ����, o novo
conjunto dado por �� = ��,��,… ,�� também é
linearmente independente
Embora os espaços vetoriais � = ����{�}e �� =
����{��}sejam distintos, não existe relação de
dependência criada entre seus vetores de
base
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Recíproca
Sabendo que � = {��,��,… ,��}são
linearmente independentes, e adicionando
qualquer vetor, digamos, ����, que faça
parte do espaço gerado � = ����{�}, então
{��,��,… ,��,����}é linearmente dependente
Geração do espaço vetorial a partir de um
conjunto de vetores mínimo, isto é, uma
base!
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�� = 1,− 1,0,1 ,�� = 3,− 1,4,3 ,�� = 2,− 1,2,2 ,�� =
0,1,4,− 2 ,�� = 1,0,3,0
Relação da Independência linear com
matrizes
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Equação de independência linear
�� 1,− 1,0,1 + �� 3,− 1,4,3 + �� 2,− 1,2,2 + �� 0,1,4,− 2 +
�� 1,0,3,0 = 0
�� + 3�� + 2�� + �� = 0
− �� − �� − �� + �� = 0
4�� + 2�� + 4�� + 3�� = 0
�� + 3�� + 2�� − 2�� = 0
� =
1 3 2 0 1
− 1 − 1 − 1 1 0
0 4 2 4 3
1 3 2 − 2 0
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Se a matriz é singular e tem det � = 0, então o
sistema poderá ser impossível ou possível,
mas indeterminado (com infinitas soluções)
��,��,��,��,�� = (0,0,0,0,0)é a solução trivial,
sabemos que o sistema não é impossível,
mas, sendo possível, possui infinitas soluções
Logo, se considerarmos ��,��,… ,�� ∈ ℝ � a
matriz � = ��,��,… ,�� sendo singular, isso nos
fará concluir que ��,��,… ,�� são linearmente
dependentes
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�� = 1 + �, �� = � + �� e �� = 1 + ��
São linearmente independentes?
Conjunto ��: ��
� + �� + �
Exemplo
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Combinação linear
�� 1 + � + �� � + �� + �� 1 + �� = 0 + 0� + 0��
�
�� + �� = 0
�� + �� = 0
�� + �� = 0
� =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
Como det � = 2, concluímos que � é não singular
e esse sistema é possível e determinado
Sua única solução é a solução trivial dada por
��,��,�� = (0,0,0), indicando que os vetores são
linearmente independentes
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Bases e dimensões
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“Versores de base”: � = (1,0)e � = (0,1)
� = �,� : base canônica, gera ℝ �, indicando que
qualquer vetor de ℝ � é obtido pela combinação linear
de � e �
� = �� + ��, em que (�,�) são as coordenadas de � em
relação a � e �
Essa é a mesma equação da combinação linear, ���� +
���� = �
Por exemplo, o vetor 2,4 = 2 1,0 + 4 0,1 é a única
forma de escrever o vetor (2,4)como combinação
linear de � e �
Base de um espaço vetorial
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Vetores �� = (1,1)e �� = (1,− 1)
Sendo outra base para o ℝ �, gera qualquer
elemento do plano cartesiano
Por exemplo, 2,4 = 3 1,1 − (1,− 1)é a única
combinação linear desses vetores
Aqui, (3,− 1)são as coordenadas do vetor (2,4)
em relação à base ��,��
As coordenadas mudam em relação à base
escolhida
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�� = 1,1 ,�� = 1,− 1 ,�� = (1,0)
Como �� pertence ao espaço vetorial gerado
por �� e ��, isto é, ao plano cartesiano,
sabemos que �� é linearmente dependente à
�� e ��
� = {��,��,��}gera o plano cartesiano, mas não
é base desse espaço vetorial
Podemos gerar qualquer vetor do plano
cartesiano como combinação linear desses
três vetores, mas essa representação não é
única
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6
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Por exemplo:
2,4 = 3 1,1 − 1,− 1 + 0 1,0
2,4 = 0 1,1 − 4 1,− 1 + 6 1,0
2,4 = 4 1,1 + 0 1,− 1 − 2(1,0)
Perceba, portanto, que, para se ter unicidade
na escrita das coordenadas dos vetores, o
conjunto que escolhemos como gerador do
espaço vetorial deve ser linearmente
independente
Esse conjunto é a base do espaço vetorial
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Assim, os vetores ��,��,… ,�� formam uma basepara o espaço vetorial � se, e somente se,
��,��,. . ,�� são linearmente independentes e
ainda geram �
Quando � = {��,��,… ,��} forma uma base para o
espaço vetorial �, todo vetor � ∈ � é escrito
como � = ���� + ���� + ⋯ + ����, em que
(��,��,… ,��)são as coordenadas de � em
relação à base �
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Qualquer espaço vetorial finito que seja
gerado por vetores não nulos possuirá uma
base
Se escolhermos uma base � = {��,��,… ,��}∈ �
que seja desse espaço vetorial, não podemos
adicionar vetores à base, visto que a
existência de ���� ∈ � adicionado à � fará
desse conjunto linearmente dependente e,
portanto, embora gere �, não será uma base
Teoremas
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Se retirarmos de � um vetor qualquer,
digamos ��, o novo conjunto não será
suficiente para gerar � e, mesmo sendo
linearmente independente, não será uma
base para �
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Não podemos aumentar ou diminuir a
quantidade de vetores em uma base de um
espaço vetorial �, sob a pena de o novo
conjunto de vetores não configurar uma base
Todo espaço vetorial terá suas bases com a
mesma quantidade de vetores
Dimensão de �
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Se uma base � tem � vetores, diremos que
dim � = �
Se � é um espaço vetorial � −dimensional e
sendo � finito, o espaço vetorial terá
dimensão finita
Conclusão
Se sabemos que dim � = �, sendo � =
{��,��,… ,��}∈ �, � formará uma base para �
se, e somente se, � for linearmente
independente e se, e somente se, por sua
vez, � gerar �
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7
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Mudança de base
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A base mais simples é a base canônica, {� =
1,0 ,� = 0,1 }
Qualquer � ∈ ℝ � é dado como � = �� + ��
Se escolhermos outra base, digamos ��,��, o
vetor � será dado como � = ���� + ����, isto é, terá
novas coordenadas
Para fazer a conversão das coordenadas �,� (�,�)
para ��,�� (��,��), vamos iniciar escrevendo o vetor
� = ���� + ���� em termos da base canônica
Mudança de base no ℝ �
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Nesse caso, �� = ��� + ���, enquanto �� = ��� + ���
� = ���� + ���� = �� ��� + ��� + �� ��� + ��� =
���� + ���� � + ���� + ���� �
Logo, as coordenadas do vetor � = ���� + ����
em relação à base canônica serão � = ���� +
���� e � = ���� + ����
� =
���� + ����
���� + ����
=
�� ��
�� ��
��
��
Matriz de mudança de base
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Por exemplo, a base �� = (3,2)e �� = (1,1)
Podemos escrever � =
3 1
2 1
��
��
, em que � =
3 1
2 1
é a matriz de mudança de base
Se um vetor tem coordenadas (0,1)nessa
base, terá, na base canônica, coordenadas
(1,1)
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Suponha a existência de um espaço vetorial �
que possua uma de suas bases dadas por � =
[��,��,… ,��]
Por ser uma base, qualquer elemento de � ∈ �
é dado como � = ���� + ���� + ⋯ + ���� com
��,��,… ,�� ∈ ℝ
O vetor (��,��,… ,��)é o vetor de coordenadas
de � em relação à base � e sua notação é � �
Mudança de base para um espaço vetorial
de dimensão �
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Considere um vetor � escrito para uma base
� = {��,��,… ,��}
� � = ���� + ���� + ⋯ + ����
Se � pode ser escrito em termos da base
canônica, � = {��,��,… ,��}, então deverá haver
(��,��,… ,��)de forma que � � = ���� + ���� + ⋯ +
����
Como:
�� = ����� + ����� + ⋯ + �����, �� = ����� + ����� +
⋯ + �����, … ,�� = ����� + ����� + ⋯ + �����
37 38
39 40
41 42
8
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43
Podemos escrever:
� =
��� ��� ⋯ ���
��� ��� ⋯ ���
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
��� ��� ⋯ ���
.
Essa é a matriz de mudança de coordenadas
da base � para a base canônica �
Ao encontrar a matriz inversa, encontramos a
matriz de mudança de coordenadas, agora da
base canônica � para a base �
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Na Prática
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Considerando a base � = 1,1 , − 1,1 e a base
canônica � = 1,0 , 0,1 , encontre a matriz de
mudança de coordenadas de � para � e de �
para �
Sabendo que � � = 0,2 , encontre � �
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Finalizando
47
47
Finalizando
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43 44
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47 48