gx algorimo

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**Resposta:** A) \( 1 \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (4x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{4}{3}x^3 - x^2 + x. 
\] 
Calculando de 0 a 1: 
\[ 
F(1) - F(0) = \left( \frac{4}{3} - 1 + 1 \right) = \frac{4}{3}. 
\] 
 
**Questão 42:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
A) \( 3 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( 0 \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( 3 \) 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3. 
\] 
 
**Questão 43:** Encontre a derivada da função \( f(x) = x^2 \ln(x) \). 
A) \( 2x \ln(x) + x \) 
B) \( 2x \ln(x) - x \) 
C) \( 2x \ln(x) \) 
D) \( x^2 \frac{1}{x} \) 
**Resposta:** A) \( 2x \ln(x) + x \) 
**Explicação:** Usando a regra do produto: 
\[ 
f'(x) = 2x \ln(x) + x. 
\] 
 
**Questão 44:** Calcule a integral \( \int (5x^4 - 6x^2 + 2) \, dx \). 
A) \( x^5 - 2x^3 + 2x + C \) 
B) \( 5x^5 - 2x^3 + 2x + C \) 
C) \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{6}{3}x^3 + 2x + C \) 
D) \( 5x^5 - 3x^3 + 2 + C \) 
**Resposta:** A) \( x^5 - 2x^3 + 2x + C \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (5x^4 - 6x^2 + 2) \, dx = x^5 - 2x^3 + 2x + C. 
\] 
 
**Questão 45:** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 4x^2 + 4) \, dx \). 
A) \( 1 \) 
B) \( 0 \) 
C) \( -1 \) 
D) \( \frac{1}{3} \) 
**Resposta:** A) \( 1 \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (x^4 - 4x^2 + 4) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + 4x. 
\] 
Calculando de 0 a 1: 
\[ 
F(1) - F(0) = \left( \frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 4 \right) = \frac{1}{5} - \frac{20}{15} + \frac{60}{15} 
= \frac{1 + 40}{15} = \frac{41}{15}. 
\] 
 
**Questão 46:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
A) \( 5 \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( 5 \) 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 5 \cdot 1 = 5. 
\] 
 
**Questão 47:** Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \)? 
A) \( -\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2} \) 
B) \( \frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2} \) 
C) \( \frac{1}{(x^3 + 1)^2} \) 
D) \( -\frac{1}{(x^3 + 1)^2} \) 
**Resposta:** A) \( -\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2} \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
\[ 
f'(x) = -\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}. 
\] 
 
**Questão 48:** Calcule a integral \( \int (7x^6 - 2x^4 + 3) \, dx \). 
A) \( \frac{7}{7}x^7 - \frac{2}{5}x^5 + 3x + C \) 
B) \( x^7 - \frac{2}{5}x^5 + 3x + C \) 
C) \( 7x^7 - \frac{2}{5}x^5 + 3 + C \) 
D) \( 7x^7 - \frac{2}{5}x^5 + 3x + C \) 
**Resposta:** D) \( 7x^7 - \frac{2}{5}x^5 + 3x + C \) 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (7x^6 - 2x^4 + 3) \, dx = \frac{7}{7}x^7 - \frac{2}{5}x^5 + 3x + C. 
\] 
 
**Questão 49:** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \).