Lista_vetores_retas_planos (2)

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GAAL – Lista de exerćıcios –
Vetores, Retas e Planos
Exerćıcio 1. Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios
de seus lados são
M = (5, 0,−2), N = (3, 1,−3) e P = (4, 2, 1).
Exerćıcio 2. Sendo A = (2,−5, 3) e B = (7, 3,−1) vértices consecutivos de um
paralelogramo ABCD e M = (4,−3, 3) o ponto de interseção das diagonais, determine
os vértices C e D.
Exerćıcio 3. Em um plano cartesiano considere os pontos A = (4, 6) e B = (6, 5).
Determine um ponto C sobre o eixo x e determine um ponto D no eixo y de modo que
ABCD seja um paralelogramo contido no primeiro quadrante.
Exerćıcio 4. Determine as coordenadas do ponto P que está no eixo x e que é
equidistante dos pontos A = (3,−1, 4) e B = (1,−2,−3).
Exerćıcio 5.
(a) Dados dois vetores V e W , sabemos que a soma V + W pode ser obtida pela
regra do paralelogramo. O vetor V +W é um vetor que está na direção da reta
bissetriz do ângulo formado por V e W? Em outras palavras, a diagonal V +W
do paralelogramo divide os ângulos deste paralelogramo em dois ângulos iguais?
(b) Qual é a condição sobre V e W para que a resposta do item (a) seja afirmativa?
(c) No plano cartesiano considere os vetores V = (3, 4) e W = (12, 5). Determine um
vetor que está na direção da reta bissetriz do ângulo formado por V e W .
Exerćıcio 6. O vetor V é ortogonal aos vetores U = (1, 2, 0) e W = (2, 0, 1) e forma
ângulo agudo com o vetor j⃗ = (0, 1, 0). Determine V sabendo que ∥ V ∥=
√
21.
Exerćıcio 7. Dados os pontos A = (m, 1, 0), B = (m − 1, 2m, 2) e C = (1, 3,−1),
detemine m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Em seguida calcule a
área deste triângulo.
Exerćıcio 8. Em um plano cartesiano, sejam A = (0, 0) e B = (2, 1). Determine o
ponto C deste plano de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A e tenha ângulo
de 30o no vértice B.
Exerćıcio 9. Dado um vetor não nulo V e dado um vetor W podemos definir o vetor
projV (W ), projeção ortogonal de W na direção de V .
Observe que o vetor projV (W ) é um múltiplo escalar de V . Isto é, existe um número
real α tal que projV (W ) = αV . Determine este número real α observando que o vetor
W − projV (W ) é ortogonal a V . Demonstre que
projV (W ) =
⟨W,V ⟩
⟨V, V ⟩
V .
Exerćıcio 10. Considere o triângulo de vértices A = (1, 0, 1), B = (7, 3, 4) e
C = (3,−1, 4). Seja H o pé da altura do triângulo ABC relativa a base AB, isto
é, seja H o ponto da reta AB de modo que as retas AB e HC são perpendiculares. Use
o exerćıcio anterior para determinar as coordenadas do ponto H.
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Exerćıcio 11. Determine a equação do plano em cada situação descrita.
(a) O plano passa pelo ponto A = (2, 0,−2) e é paralelo aos vetores u = (1,−1, 1) e
v = (2, 3, 0).
(b) O plano passa pelos pontos A = (−3, 1,−2) e B = (−1, 2, 1) e é paralelo ao vetor
v = (2, 0,−3).
(c) O plano contém os pontos A = (1,−2, 2) e B = (−3, 1,−2) e é perpendicular ao
plano 2x+ y − z = −8.
Exerćıcio 12. Considere a reta r de equação paramétrica
(x, y, z) = (−2, 7, 3) + t(−2, 3, 1).
(a) Determine o ponto H de r que está mais próximo da origem O = (0, 0, 0).
(b) Determine a equação do plano π que contém a reta r e que passa pela origem.
Exerćıcio 13. Considere a reta r de equação paramétrica
(x, y, z) = (5, 0,−5) + t(−2, 1, 4).
(a) Mostre que a reta r e o eixo z são retas reversas.
(b) Calcule a distância entre a reta r e o eixo z calculando um ponto A sobre o eixo
z e um ponto B sobre a reta r de modo que a reta
←→
AB é a perpendicular comum
ao eixo z e a reta r.
(c) Determine a equação do plano que contém a reta r e que é paralelo ao eixo z.
Exerćıcio 14. Dados os pontos A = (0, 2, 1) e B = (2, 1,−1), determine um ponto C
sobre o eixo y de modo que o triângulo ABC tenha área igual a
3
2
.
Exerćıcio 15. Considere o plano π de equação geral x+2y− 4z = 2 e considere a reta
r de equação paramétrica (x, y, z) = (3, 2,−1) + t(1,−1, 2).
(a) Mostre que o plano π e a reta r são concorrentes, calculando explicitamente o
ponto P = π ∩ r.
(b) Determine a equação paramétrica da reta s contida em π e que é perpendicular a
reta r.
Exerćıcio 16. Considere as retas r e s de respectivas equações paramétricas
r : (x, y, z) = (3, 1, 2) + t(−1, 4, 5)
s : (x, y, z) = (3, 5, 1) + s(−1, 1, 3)
(a) Mostre r e s são retas reversas.
(b) Determine a equação do plano π que contém a reta r e que é paralelo a reta s.
Exerćıcio 17. Considere as retas m e n de equações paramétricas
m : (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(−2, 1, 3)
n : (x, y, z) = (2, 3, 1) + s(4, 1, 2)
(a) Mostre que m e n são retas reversas.
(b) Determine a equação paramétrica da reta ℓ que passa por P = (−1, 3,−8) e que
é concorrente com m e com n.
Exerćıcio 18. Considere os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Observe
que estes três pontos são vértices de um triângulo equilátero de lado
√
2.
(a) Determine um ponto D no espaço tal que ABCD é um tetraedro regular, isto é,
é uma pirâmide de base triangular com todas as arestas de mesma medida.
(b) Quantos tais pontos D existem?
(c) Escolha um dos pontos D que você encontrou no item (a). Para este ponto mos-
tre que as arestas opostas AB e CD são ortogonais. (na verdade, esta é uma
propriedade verdadeira para quaisquer pares de arestas opostas de um tetraedro
regular).
Exerćıcio 19.
(a) Determine a equação do plano π que passa pelos pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0)
e C = (0, 0, 3).
(b) Seja O = (0, 0, 0) a origem do sistema de coordenadas. Determine o ponto P ∈ π
tal que a reta que liga os pontos O e P seja perpendicular ao plano π.
(c) Calcule o volume do tetraedro OABC.
(d) Determine a equação geral do plano que contém o eixo z e que é perpendicular ao
plano π.
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- Estudo das posições relativas de pontos, retas e planos
Os objetos básicos da geometria anaĺıtica espacial são o ponto, a reta e o plano. Podemos
combinar dois destes objetos de seis maneiras diferentes.
� ponto-ponto.
� ponto-reta.
� ponto-plano.
� reta-reta.
� reta-plano.
� plano-plano.
Além disso, algumas destas combinações podem ser subdivididas quando são
considerados outros aspectos geométricos dos dois objetos envolvidos.
� No caso de duas retas, sabemos que elas podem ser paralelas, concorrentes ou
reversas.
� No caso de uma reta e um plano, estes podem ser paralelos ou concorrentes.
� No caso de dois planos, eles também podem ser paralelos ou concorrentes.
Nos exerćıcios de 20 a 30 desta lista vamos estudar todas estas posśıveis posições rela-
tivas. Em cada exerćıcio várias perguntas serão formuladas para o cálculo de grandezas
numéricas (ângulos e distâncias) e para a construção de outros objetos relevantes para a
configuração geométrica dada.
Observações importantes:
1. Em cada exerćıcio faça um esboço da situação dada.
2. Imagine mentalmente a figura espacial considerada em cada exerćıcio.
3. Não se assuste com os enunciados longos dos exerćıcios. Essa lista foi feita como
um estudo dirigido. Assim, vários ı́tens possuem sugestões, dicas ou observações.
Exerćıcio 20: ponto e ponto
Considere os pontos A = (−1, 3, 2) e B = (2, 1, 6).
(a) Determine a equação paramétrica da reta
←→
AB.
(b) Calcule o ponto médio do segmento AB.
(c) Calcule dist(A,B).
(d) Determine o ponto simétrico A′ de A em relação ao ponto B (OBS.: Considere a
relação entre os vetores
−−→
BA′ e
−→
BA).
Exerćıcio 21: ponto e reta
Considere a reta r de equação paramétrica (x, y, z) = (−7, 4, 9) + t(−2, 1, 2) e o ponto
A = (7, 4, 5).
(a) O ponto A pertence a reta r?
(b) Determine a equação do plano que contém r e A.
(c) Determine a reta perpendicular à r e que passa por A (Sugestão: encontre o ponto
Q da reta r tal que o vetor
−→
AQ é perpendicular à reta r).
(d) Calcule dist(A, r) (OBS.: Note que dist(A, r) = dist(A,Q) = ∥
−→
AQ∥).
(e) Determineo ponto simétrico de A em relação à reta r (OBS.: O ponto simétrico
de A em relação a reta r é o ponto simétrico de A em relação ao ponto Q).
Exerćıcio 22: ponto e plano
Considere o plano α de equação x− 2y + 3z = 4 e o ponto A = (2, 8,−8).
(a) O ponto A pertence ao plano α?
(b) Determine a equação paramétrica da reta que passa por A e é perpendicular ao
plano α.
(c) Determine a projeção ortogonal P do ponto A no plano α (P é a interseção da
reta do item (b) com o plano α). Calcule dist(A,α) = dist(A,P ).
(d) Determine o ponto simétrico de A em relação ao plano α (O ponto simétrico de A
em relação ao plano α é o ponto simétrico de A em relação ao ponto P ).
Exerćıcio 23: duas retas paralelas
Considere as retas paralelas
r : (x, y, z) = (−6, 3,−2) + t(3,−1, 2)
s : (x, y, z) = (−3, 30,−14) + s(3,−1, 2)
(a) Determine a equação do plano α que contém r e s (Dica: considere um ponto A de
r, um ponto B de s e faça o produto vetorial de
−→
AB pelo vetor diretor das retas.)
(b) Encontre a equação de uma reta contida no plano α, que seja perpendicular a r e
a s (Observe que o vetor diretor dessa reta deve ser ortogonal ao vetor diretor de
r e s e também ao vetor normal ao plano α).
(c) Calcule dist(r, s) (OBS.: Se Pr é o ponto de interseção da reta ℓ com a reta r
e Ps é o ponto de interseção da reta ℓ com a reta s, então o segmento PrPs é
perpendicular comum às retas r e s e assim dist(r, s) = dist(PrPs)).
(d) Determine uma reta contida em α e que está equidistante de r e de s.
Exerćıcio 24: duas retas concorrentes
Considere as retas
r : (x, y, z) = (7, 2,−2) + t(−3, 0, 1)
s : (x, y, z) = (−1, 1, 2) + s(2, 1,−2)
(a) Mostre que r e s são concorrentes calculando o ponto P = r ∩ s.
(b) Determine a equação geral do plano que contém r e s.
(c) Calcule ang(r, s) (Se as retas se interceptam, então elas determinam quatro ângulos,
dois a dois opostos pelo vértice. O ângulo entre elas é definido como sendo o menor
destes ângulos).
Exerćıcio 25: duas retas reversas
Considere as retas
r : (x, y, z) = (−1,−1, 4) + t(1, 1,−1)
s : (x, y, z) = (1, 3, 7) + s(−2, 0, 1)
(a) Mostre que r e s são retas reversas.
(b) Determine a equação da reta perpendicular e concorrente com r e com s (DICA:
encontre o ponto P ∈ r e o ponto Q ∈ s tal que o segmento PQ seja perpendicular
comum às retas r e s, ou seja, tal que
−→
PQ seja ortogonal a ambos os vetores
diretores.)
(c) Calcule dist(r, s) e ang(r, s). (Se r e s são retas reversas e se ℓ é a reta perpendicular
comum, então dist(r, s) = dist(P,Q) em que P = r ∩ ℓ e Q = s ∩ ℓ. Além disso,
por um ponto P de r passa um reta s′ que é paralela a s. O ângulo entre r e s é
definido como sendo o ângulo entre r e s′).
(d) Determine o plano α que contém r e é paralelo a s.
(e) Determine o plano β que contém s e é paralelo a r.
(f) Determine o plano γ que contém r e é perpendicular a α.
(g) Determine o plano ω que contém s e é perpendicular a β.
(h) Determine a equação da reta γ ∩ ω.
Exerćıcio 26: reta furando um plano
Considere o plano α e a reta r de respectivas equações
α : 2x+ y − z = 4
r : (x, y, z) = (0, 3,−4) + t(1,−1, 2)
(a) Determine o ponto P = r ∩ α.
(b) Determine o plano que contém r e é perpendicular a α.
(c) Determine a reta que é a projeção ortogonal de r sobre α.
(d) Calcule ang(r, α).
(e) Determine a reta contida em α e que é perpendicular a r.
Exerćıcio 27: reta paralela a um plano
Considere o plano α e a reta r de respectivas equações
α : x− y + z = 1
r : (x, y, z) = (0, 3, 1) + t(2,−1,−3)
(a) Mostre que a reta r é paralela ao plano α.
(b) Ache o plano que contém r e é perpendicular a α.
(c) Ache o plano que contém r e é paralelo a α.
(d) Determine a equação da reta que é a projeção ortogonal de r sobre α.
(e) Calcule dist(r, α). (OBS.: A distância de uma reta a um plano é definida somente
quando a reta é paralela ao plano.)
Exerćıcio 28: reta contida em um plano
Considere o plano α e a reta r de equações
α : x+ 2y − z = 3
r : (x, y, z) = (2, 1, 1) + t(2, 1, 4)
(a) Mostre que r ⊂ α.
(b) Determine o plano que contém r e que é perpendicular a α.
(c) Dê um exemplo de uma reta contida em α e que é perpendicular a r.
Exerćıcio 29: planos paralelos
Considere os planos
α : 2x− y + z = 1
β : 4x− 2y + 2z = 5
(a) Mostre que α e β são planos paralelos.
(b) Determine a reta perpendicular a α e a β e que passa pela origem.
(c) Calcule dist(α, β) (OBS.: Note que a distância entre dois planos é a distância
entre um ponto de um plano até o outro plano. Além disso, a distância entre dois
planos é definida somente quando estes são paralelos.).
Exerćıcio 30: planos concorrentes
Considere os planos
α : x− y + 3z = 1
β : 2x− 3y − z = 2
(a) Mostre que α e β não são paralelos.
(b) Determine a equação da reta α ∩ β.
(c) Calcule ang(α, β) (O ângulo entre dois planos é o ângulo entre seus vetores nor-
mais).
(d) Dê um exemplo de um plano perpendicular a α e a β.
- FIM -