Tensão e Força

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS I 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Determinar as forças atuantes em estruturas de barras.
 > Construir o traçado dos diagramas de corpo livre de estruturas simples.
 > Definir o conceito de tensão em elementos de uma estrutura.
Introdução
Um corpo sofre ação de diversos tipos de forças, superfícies ou outros corpos. 
Essas forças geram reações que podem, principalmente, comprimir ou tracionar 
os elementos. As cargas resultantes podem ser do tipo força normal, força de 
cisalhamento, momento de torçor e momento fletor. A compreensão de cada 
uma dessas forças pode ser facilitada com um diagrama de corpo livre, em que 
as cargas atuantes e resultantes são indicadas.
Neste capítulo, você vai estudar as diferentes forças atuantes em estruturas 
de barras e a tensão em elementos de uma estrutura, além de como desenvolver 
um diagrama de corpo livre.
Forças atuantes em estruturas de barras
De acordo com Hibbeler (2010), um corpo está sujeito a diversas cargas exter-
nas, que podem ser classificadas como força de superfície ou força de corpo. 
As forças de superfície ocorrem mediante o contato direto de um corpo com 
outro por meio de suas superfícies. Se a área de contato entre as superfícies 
for pequena, essa força pode ser classificada como uma força concentrada 
única, que tem a sua aplicação em um determinado ponto do corpo. Porém, 
se a carga for aplicada ao longo da superfície atuando em uma faixa, será 
Tensão: forças
Jaqueline Ramos Grabasck
classificada como uma carga distribuída linear. A carga aplicada ao longo de 
uma viga é um exemplo típico desse tipo de idealização. 
Já a força de corpo pode ser descrita como a força que um corpo exerce 
sobre outro corpo, não havendo contato direto entre eles. Porém, há inter-
ferência em todas as partículas que constituem o corpo, e a força age de 
forma concentrada. 
Para as forças de superfície que atuam nos pontos de contato ou nos 
apoios entre os corpos, dá-se o nome de reações. Quando os corpos estão 
sob forças coplanares, ou seja, em situações bidimensionais, há alguns apoios 
mais comuns, conforme a Figura 1.
Figura 1. Tipos de acoplamentos e reações ocorridas.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 3).
Em três dimensões, há quatro tipos de cargas resultantes que podem ser 
observadas: força normal (N), força de cisalhamento (V), momento de torção 
ou torque (T) e momento fletor (M). De acordo com Hibbeler (2010), a força 
normal ocorre de forma perpendicular à área, desenvolvendo-se quando 
as cargas externas atuam empurrando ou puxando as partes do corpo. Já a 
força de cisalhamento se dá mediante o deslizamento de uma parte do corpo 
sobre o outro, advindo das forças externas que ocorrem no plano da área. 
O momento de torção ocorre por meio da torção de parte do corpo sobre o 
outro em virtude dos efeitos acarretados pelas cargas externas. No momento 
fletor, as cargas externas “[…] tendem a fletir o corpo em torno de um eixo que 
Tensão: forças2
se encontra no plano da área” (HIBBELER, 2010, p. 4). A Figura 2 apresenta as 
quatro cargas resultantes que podem ocorrer na área seccionada de um corpo.
Figura 2. Cargas resultantes em área seccionada de um corpo.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 4).
De acordo com Martha (2010), os esforços normais, também denominados 
axiais, correspondem à força resultante no eixo x, ou seja, na direção axial, 
“[…] de todas as forças de um lado da seção de corte” (MARTHA, 2010, p. 54). 
Quando a força axial ocorre para fora da parte isolada da estrutura, temos 
esforços normais de tração. Nesse caso, o positivo é adotado para a convenção 
de sinais. Já a força axial que ocorre para dentro da parte isolada representa os 
esforços normais de compressão, que são representados pelo sinal negativo. 
A Figura 3 representa os esforços normais de tração.
Figura 3. Convenção para esforços normais positivos.
Fonte: Adaptada de Martha (2010).
xNNNN
y
Já para o esforço cortante será observado na direção do eixo y, no sentido 
positivo, abrangendo as forças que se encontram à esquerda da seção trans-
versal, e a sua resultante ocorrerá no sentido para cima. Martha (2010) salienta 
que, ao considerar as forças que estão à direita da seção transversal, será 
Tensão: forças 3
observado o esforço cortante positivo que resulta no sentido contrário do eixo y. 
A Figura 4 apresenta a convenção utilizada para os esforços cortantes positivos.
Figura 4. Convenção para esforços cortantes positivos.
Fonte: Adaptada de Martha (2010).
y
Q Q Q Q
x
No caso de momentos fletores, o esforço interno positivo deve apresentar 
as forças e os momentos da seção transversal à esquerda, gerando um mo-
mento no sentido horário. No caso de forças que ocorrem a direita da seção 
transversal, haverá momento fletor positivo, ocorrendo no sentido anti-horário 
(MARTHA, 2010). A Figura 5 representa a convenção para momentos fletores 
positivos e suas resultantes de tensão normais para tração e compressão 
na seção transversal.
Figura 5. Convenção para momentos fletores positivos e suas resultantes de tensão normais 
de tração e compressão.
Fonte: Adaptada de Martha (2010).
M M
M
y
M M M
x
Tensão: forças4
Para identificar o sinal que o momento fletor deve apresentar: um mo-
mento fletor positivo será observado quando ocorrer uma flexão da barra, 
estando ela com a concavidade elástica direcionada para cima, enquanto que 
o momento fletor negativo irá ocorrer quando a concavidade encontrar-se 
voltada para baixo.
Segundo Melconian (2018), a força axial, ou força normal F, representa a 
carga atuante no eixo longitudinal, sendo perpendicular à seção transversal, 
conforme apresentado na Figura 6.
Figura 6. Representação da força normal atuando em uma barra.
Fonte: Adaptada de Melconian (2018).
Eixo
longitudinal
Secção
transversal
F
Melconian (2018) indica que esta força axial pode atuar como tração ou 
compressão. A tração dá-se pela atuação da força axial no sentido do exterior 
da peça, conforme indicado na Figura 7.
Tensão: forças 5
Figura 7. Força de tração.
Fonte: Adaptada de Melconian (2018).
F
A compressão, por sua vez, ocorre quando a atuação da força é no sentido 
do interior da peça, conforme apresentado na Figura 8.
Figura 8. Força de compressão.
Fonte: Adaptada de Melconian (2018).
F
Ao aplicar uma força de tração axial na seção transversal de uma barra 
de qualquer material, haverá o seu alongamento no sentido em que a força 
foi aplicada. De acordo com Smith e Hashemi (2012, p. 159), o deslocamento 
decorrente da aplicação dessa força é denominado deformação de enge-
nharia: “Por definição, a deformação de engenharia, que é provocada pela 
Tensão: forças6
ação da força de tração uniaxial aplicada à amostra metálica, é dada pelo 
quociente entre a variação do comprimento da amostra segundo a direção de 
aplicação da força e o comprimento inicial da amostra”. A Figura 9 representa 
a deformação da barra cilíndrica por meio da tração uniaxial.
Figura 9. Barra cilíndrica (a) sem a aplicação de força e (b) com aplicação de força uniaxial F.
Fonte: Smith e Hashemi (2012, p. 159). 
A Equação 1 é usada para definir alongamento:
Equação 1
=
− 0
0
=
∆
0
 
De forma que:
 � l0 é o comprimento inicial da amostra;
 � l é o comprimento final da amostra após a aplicação da força de tração 
uniaxial.
Tensão: forças 7
Conforme Smith e Hashemi (2012), é comum utilizar o valor 5,1 cm como 
comprimento de deformação de referência em ensaios de tração para de-
terminar a deformação de engenharia, sendo marcada em uma amostra de 
20,3 cm de comprimento, conforme apresentado na Figura 10. Normalmente, 
utiliza-se como unidade de medida o metro por metro (m/m) ou a polegada/
polegada (in/in). Porém, no meio industrial podem ser utilizadas unidades 
adimensionais, como deformação percentual ou alongamento percentual, 
ou seja:
alongamento × 100% alongamento
Uma amostra de alumínio comercialmente puro com 1,27 mm de 
largura, 0,10 cm de espessura e 20,3 mm de comprimento, com duas 
marcasna parte central à distância de 5,1 mm, é deformada, de modo que a 
distância entre as marcas passe a ser 6,65 mm (Figura 10). Calcule a deformação 
nominal e o alongamento percentual sofrido pela amostra.
Figura 10. Corpo de prova plano de tração, antes e após deformação.
Fonte: Smith e Hashemi (2012, p. 160).
Solução
=
− 0
0
=
6,7 mm − 5,1 mm
5,1 mm
=
1,6
5,1
= 0,314 
alongamento percentual = 0,314 × 100% = 31,4% 
Tensão: forças8
Diagramas de corpo livre de estruturas 
simples
De acordo com Nelson et al. (2013), o diagrama de corpo livre corresponde 
a um esquema apresentando todas as forças externas que atuam no corpo, 
sejam elas forças ativas, como as aplicadas e as gravitacionais, sejam elas 
forças reativas, advindas do solo, paredes, pinos, rolos e cabos. Quando 
conhecemos o ângulo da reação, devemos assumir em que sentido está 
ocorrendo a reação. Quando há um sinal positivo no resultado, assumimos 
que o sentido determinado anteriormente estava correto. Porém, caso seja 
encontrado um sinal negativo, o sentido não é o que foi determinado ante-
riormente, mas sim o seu oposto.
O diagrama de corpo livre corresponde a um desenho para apresentar as 
barras, separando-as de seus suportes, com o intuito de apresentar as reações 
que esses suportes exercem sobre as estruturas. Desenvolve-se um croqui das 
estruturas apresentando apenas os detalhes estritamente necessários (BEER 
et al., 2021). Partindo da imagem de um guindaste, conforme apresentado na 
Figura 11, podem ser desenvolvidos seus diagramas de corpo livre.
Figura 11. Guindastes utilizados para carregar e descarregar navios.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 2).
Tensão: forças 9
O croqui do guindaste encontra-se detalhado na Figura 12, onde pode-se 
observar apenas as informações necessárias para o desenvolvimento dos 
cálculos.
Figura 12. Barras utilizadas para suportar 30 kN.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 3).
Ao desenvolver o diagrama de corpo livre, as barras do guindaste são 
representadas conforme a Figura 13, desenvolvidas com a aplicação das 
cargas e das forças de reação. Beer et al. (2021) reforçam que se pode notar 
que os trechos AB e BC são considerados barras simples.
Tensão: forças10
Figura 13. Diagrama de corpo livre apresentando as cargas aplicadas e as forças de reação.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 3).
Por meio das equações, são encontradas apenas duas incógnitas com 
esse diagrama. Para encontrar as demais, devemos desmembrar a estrutura 
e analisá-las separadamente. Na Figura 14, é apresentado o diagrama de 
corpo livre da barra AB.
Figura 14. Diagrama de corpo livre da barra AB separada da estrutura.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 3).
Tensão: forças 11
A reação em A se desenvolve ao longo do trecho AB, gerando a compressão 
desse seguimento de barra, e o valor de A é 40 kN. Na barra BC observamos 
tração ao longo de seu eixo, porque as componentes Cx e Cy são reações em 
C, apresentando o valor de 50 kN, que ocorrem de forma proporcional em 
B e C, tanto na vertical quanto na horizontal. O pino B recebe uma carga de 
30 kN (BEER et al., 2021).
Nelson et al. (2013) apresentam os diagramas de corpo livre para uma viga 
simples, submetida à força cortante V e ao momento M, conforme apresentado 
na Figura 15.
Figura 15. Diagramas de corpo livre de uma viga simples.
Fonte: Nelson et al. (2013, p. 142).
Ao utilizar a parte esquerda A, obtemos a cortante pela soma de suas 
forças, sendo ela V = 100 N. Porém, se for utilizada a parte B da direita, 
a soma das forças que estão atuando na parte da direita será a força cortante, 
de maneira que a sua força positiva estará disposta para baixo, apresentando 
também V = 100 N.
Hibbeler (2010) apresenta as etapas para desenvolvimento do diagrama 
de corpo livre (Figura 16). Primeiramente, é essencial manter “[…] as cargas 
distribuídas externas, momentos, torques e forças que agem sobre o corpo 
em suas localizações exatas” (HIBBELER, 2010, p. 5), para, então, criar uma 
seção imaginária sobre os pontos das cargas a serem determinadas. 
Tensão: forças12
Figura 16. Desenvolvimento de diagrama de corpo livre.
Caso se trate de um elemento de uma estrutura ou um dispositivo me-
cânico, a seção deverá ser feita de forma perpendicular ao eixo longitudinal 
do corpo. Nesse momento, devemos desenhar o diagrama de corpo livre de 
uma das partes que foi seccionada e apresentar as resultantes N, V, M e T, 
estando normalmente no centro geométrico ou no centroide da seção. Caso 
o corpo esteja submetido a forças coplanares, ocorrerão no centroide apenas 
N, V e M. O último passo compreende a definição dos eixos coordenados 
(x, y e z), apresentando a sua origem no centroide e, ao longo dos eixos, são 
apresentadas as componentes resultantes.
Os momentos gerados nos eixos coordenados no diagrama de corpo livre 
devem ser somados, de forma a eliminar as forças desconhecidas (N e V), 
acarretando em uma solução direta para as forças M e T. Caso o resultado das 
equações de equilíbrio sejam negativos, o sentido direcional apresentado no 
diagrama de corpo livre deve ser desconsiderado, e sua direção oposta deve 
ser indicada (HIBBELER, 2010).
Tensão em elementos de uma estrutura
De acordo com Beer et al. (2021), as tensões são decorrentes da ação das forças 
nas estruturas. Em uma área, a força ou a intensidade das forças distribuídas 
em uma seção é denominada tensão na respectiva seção, representada pela 
letra σ. Para obter a tensão na seção transversal, devemos dividir o valor da 
carga axial P pela seção transversal de área A, conforme apresentado na 
Equação 3:
Tensão: forças 13
Equação 3
= 
A Figura 17 representa uma barra submetida a uma carga axial, represen-
tada pela Figura 17a e a distribuição uniforme considerada ideal perante uma 
seção arbitrária, conforme apresentado na 17b.
Figura 17. Força distribuída uniformemente.
Fonte: Beer et al. (2021, p. 5).
Uma tensão de tração é indicada mediante o uso de um sinal positivo, utili-
zado quando a barra se encontra tracionada. Já para a tensão de compressão, 
utiliza-se um sinal negativo; neste caso, a barra encontra-se comprimida. 
Quando o corte traçado na barra for perpendicular ao eixo da barra, conforme 
apresentado na Figura 17, considera-se que está submetida à tensão normal. 
Dessa maneira, σ resultará na tensão normal em um elemento sob carga 
Tensão: forças14
axial. σ corresponde ao valor médio da tensão, não considerando essa tensão 
em um ponto específico na seção transversal. Para considerar a tensão em 
um ponto específico, deve-se considerar uma pequena área e dividi-la pela 
intensidade. Assim, será obtido o valor médio da tensão nessa pequena área, 
por meio da Equação 4:
Equação 4
= lim
∆ →0
∆
∆
 
Beer et al. (2021) reforçam que, em uma barra que recebe carga axial, haverá 
uma distribuição de tensões normais, sendo a sua carga uniforme, mas isso 
não ocorre na vizinhança imediata onde é aplicada a carga. Melconian (2018) 
indica que, para o sistema internacional, utiliza-se como unidade de tensão 
o Pascal (Pa), de forma que a carga de 1 N atua em uma superfície de 1 m². 
Sendo a unidade pascal infinitesimal, podemos utilizar o megapascal (MPa) 
e o quilopascal (kPa), conforme apresentado a seguir:
Pa = 106 Pa kPa = 103 Pa
O MPa corresponde a 1 N na superfície de 1 m², sendo que 1 N/m² corres-
ponde a:
1 × 10–6 MPa
Conforme Hibbeler (2010), ao seccionar um corpo que se encontra sujeito 
a uma carga externa, ocorre uma distribuição de forças que irá agir na área 
seccionada, mantendo todos os segmentos do corpo em equilíbrio. “A in-
tensidade dessa força interna em um ponto do corpo é denominada tensão” 
(HIBBELER, 2010, p. 17). A tensão é considerada o valor limite da força por 
unidade de área, quando essa área irá tender a zero; assim, nesse ponto, 
o material será considerado contínuo e coeso. O tipo de carga que atua sobre 
o corpo e a orientação em que esse elemento se encontra no ponto serão de-
terminantes para o valor das componentes da tensão. Noentanto, tratando-se 
de um material homogêneo e isotrópico, ao sujeitar uma barra prismática a 
um força axial, esta irá agir no centroide da área da seção transversal. Assim, 
o material no interior da barra estará sujeito apenas à tensão normal, que 
será considerada uniforme ou média (HIBBELER, 2010).
Tensão: forças 15
Compreender a atuação das forças e reações é essencial para avaliar as 
tensões nas quais as estruturas estão sujeitas. Dessa maneira, podemos 
desenvolver estruturas mais condizentes com as necessidades da edificação, 
garantindo a segurança dos usuários. A seguir, vamos conferir alguns exemplos.
Exemplo 1
Uma barra de alumínio com 12,7 mm de diâmetro foi submetida a uma força de 
11.120 N. Calcule a tensão axial na barra, em Pa (SMITH; HASHEMI, 2012, p. 158).
Solução
Equação 5
=
força
área da seção inicial
=
0
=
11.120 N
( /4)(12,7 mm)2
= 12,700 N/mm2 
Exemplo 2
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B 
do cano mostrado na Figura 18a. A massa do cano é 2 kg/m, e ele está sujeito 
a uma força vertical de 50 N e a um momento de 70 Nm em sua extremidade A. 
O tubo está preso a uma parede em C.
Figura 18. Cargas resultantes.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 8).
Tensão: forças16
Solução
O problema pode ser resolvido considerando o segmento AB, que não envolve 
as reações do apoio em C. Os eixos x, y, z são definidos em B, e o diagrama 
de corpo livre do segmento AB é mostrado na Figura 18b. Consideramos que 
as componentes da força resultante e do momento na seção agem nas dire-
ções positivas das coordenadas e passam pelo centroide da área da seção 
transversal em B. O peso de cada segmento do tubo é calculado conforme 
as Equações 6 e 7.
Equação 6
WBD = (2 kg/m)(0,5 m)(9,81 N/kg) = 9,81 N
Equação 7
WAD = (2 kg/m)(1,25 m)(9,81 N/kg) = 24,525 N
Essas forças agem no centro de gravidade de cada segmento.
Equações de equilíbrio
Aplicando as seis equações escalares de equilíbrio, temos:
Equação 8
∑ = 0 ( ) = 0 
Equação 9
∑ = 0 ( ) = 0 
Equação 10
∑ = 0 ( ) − 9,81 N − 24,525 N − 50 N = 0 ( ) = 84,3 N 
Tensão: forças 17
Equação 11
∑( ) = 0 
( ) + 70 Nm − 50 N(0,5 m) − 24,525 (0,5 m) − 9,81 N(0,25 m) = 
0( ) = −30,3 Nm 
Equação 12
∑ ( ) = 0 
( ) + 24,525 N (0,625 m) + 50 N (1,25 m) = 0 
( ) = −77,8 Nm 
Equação 13
∑ ( ) = 0 ( ) = 0 
O que os sinais negativos para (MB)x e (MB)y indicam? Observe que a 
força normal é NB = (FB)y = 0, ao passo que a força de cisalhamento é 
VB = (0)2 +(84,3)2 = 84,3 N. Além disso, o momento de torção é TB = (MB)y = 77,8Nm, 
e o momento fletor é MB = (30,3)2 + (0) = 30,3 Nm.
Referências
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2021.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2010.
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 20. ed. São Paulo: Érica, 2018.
NELSON, E. W. et al. Engenharia mecânica: estática. Porto Alegre: Bookman, 2013. 
(Coleção Schaum).
SMITH, W. F.; HASHEMI, J. Fundamentos de engenharia e ciência dos materiais. 5. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
Tensão: forças18