Critérios de Resistência

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Engenharia Mecânica 
Resistência dos Materiais II 
Prof. José Carlos Morilla 1 Critérios de Resistência II 
Critérios de Resistência 
Coeficiente de segurança 
Tensão equivalente 
Seja um ponto qualquer, 
pertencente a um corpo em 
equilíbrio, submetido a um estado 
de tensões cujas tensões principais 
estão representadas na figura 1. 
 
figura 1 – Tensões principais para um 
estado de tensões. 
 
Chama-se de coeficiente de 
segurança (s) ao número, maior 
que a unidade, que ao multiplicar o 
estado de tensões provoca a ruína 
do material. 
figura 2 – Tensões principais multiplicadas 
pelo coeficiente de segurança, para um 
estado de tensões. 
 
Chama-se de Tensão 
equivalente (σeq) uma tensão de 
tração simples que multiplicada pelo 
mesmo coeficiente de segurança do 
estado de tensão leva o material à 
ruína por tração 
 
figura 3 – Tensão equivalente multiplicada 
pelo coeficiente de segurança. 
 
Note-se, aqui, que o conceito 
de ruína está associado à falência 
do funcionamento do equipamento 
no qual o corpo se insere. Por 
exemplo, para um material dúctil, 
normalmente a falência ocorre 
quando a tensão simples de tração 
atinge o valor da tensão de 
escoamento (σe). para os materiais 
frágeis, que não apresentam 
deformação plástica representativa, 
a falência ocorre quando a tensão 
de tração atinge o valor da tensão 
limite de ruptura (σR). 
 
Assim, para executar o 
dimensionamento: 
 
req s σ≤×σ 
ou 
s
r
eq
σ
≤σ
 
 
onde σr é a tensão de ruína do 
material. 
 
Com este conceito de tensão 
equivalente se torna razoavelmente 
simples executar o 
dimensionamento dos elementos já 
que as tensões de escoamento e 
ruptura, bem como outras, são de 
fácil determinação e conhecimento 
generalizados. 
 
 Deve-se, entretanto, 
estabelecer uma forma de 
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determinação da tensão equivalente 
para que ela possa representar com 
eficácia o estado de tensões 
existente no ponto em estudo. 
 
Critérios de 
Dimensionamento. 
 Vários critérios diferentes, a 
respeito da ruína dos materiais, 
foram propostos ao longo do tempo: 
1. Teoria da máxima tensão 
normal proposta por Rankine; 
2. Teoria da máxima 
deformação normal, proposta 
por Saint-Venant; 
3. Teoria da máxima tensão de 
cisalhamento, proposta por 
Coulomb em 1773 e por 
Tresca em 1868; 
4. Teoria do atrito interno, 
desenvolvida por Mohr e por 
Coulomb; 
5. Teoria da máxima energia de 
deformação, proposta por 
Beltrami em 1885; 
6. Teoria da máxima energia de 
distorção, desenvolvida por 
Huber em 1904; Von Mises 
em 1913 e Hencky em 1925; 
7. Teoria da tensão octaédrica 
de cisalhamento de Von 
Mises e Hencky. 
 
Cada uma destas teorias propõe 
um critério para a causa da ruína do 
material. 
 
As experiências feitas em 
tempos recentes mostram que, 
entre as teorias apresentadas, 
algumas são equivalentes e outras 
são apenas de interesse histórico, 
já que não apresentam resultados 
compatíveis com os obtidos. 
 
Neste texto apresentar-se-á os 
critérios baseados em algumas 
destas teorias. 
Critério da máxima tensão de 
cisalhamento ou Critério de 
Tresca. 
 Este critério se baseia no fato 
que para os materiais dúcteis o 
principal mecanismo de deformação 
plástica é o de escorregamento nos 
planos de maior densidade atômica. 
Assim, a tensão equivalente (σeq) é 
igualmente perigosa a um estado de 
tensão quando ela apresentar a 
mesma tensão de cisalhamento 
máxima que o estado da tensão. 
 
σ3
σ
σ2 σ1
τmáx
σ3
σ
σ2 σeq
τmáx
 
figura 4 – Círculos de Mohr para um estado 
de tensão e para uma tensão equivalente. 
 
 Sabendo-se que as tensões 
de cisalhamento máxima nos dois 
círculos de Mohr podem ser 
determinadas por: 
 
22
eq
máx
31
máx
σ
=τ
σ−σ
=τ (1) 
 
 A igualdade das duas 
expressões fornece: 
 
22
eq31 σ
=
σ−σ
 
 
31eq σ−σ=σ 
 
(2) 
 
 
Critério da máxima energia de 
distorção ou Critério de Von 
Mises 
Este critério propõe que a 
ruína por escoamento seja 
associada a valores críticos de certa 
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porção da energia de deformação 
do ponto material em estudo. 
Quando as tensões principais 
possuem valores diferentes, o cubo 
que representa o ponto se 
transforma em paralelepípedo. A 
energia (U) para esta distorção é 
dada por: 
 
( ) ( ) ( )[ ]232231221E61U σ−σ+σ−σ+σ−σ× ν+=
(3) 
 
onde E é o módulo de elasticidade 
do material e νννν é o coeficiente de 
Poison. 
 
 O mesmo fato acontece com 
a tensão equivalente já que nesta 
situação σ1= σeq e σ2 = σ3 =0. Para 
a tensão equivalente, a energia de 
distorção fica: 
 
2
eq2E6
1U σ××
×
ν+
= (4) 
 
Igualando-se as expressões 
3 e 4 tem-se: 
 
( ) ( ) ( ) 2eq232231221 2 σ×=σ−σ+σ−σ+σ−σ
 
ou seja: 
 
( ) ( ) ( )
eq
2
32
2
31
2
21
2
σ=
σ−σ+σ−σ+σ−σ
 
(5) 
 
OBS: - 
 Note-se que os dois critérios 
apresentados levam em conta a 
ductilidade do material e possuem 
como tensão de ruína a tensão de 
escoamento ou seja, valem apenas 
para materiais com características 
dúcteis. 
 
 Note-se, também, que no 
caso da solicitação chamada 
hidrostática (σ1=σ2=σ3), as tensões 
equivalentes para os dois critérios 
possuem valor igual a zero. Assim, 
não é possível dimensionar nesta 
situação por um destes critérios. 
 
Critério de Coulomb-Mohr. 
 Este critério é 
particularmente interessante para 
materiais que apresentam 
resistências diferentes quando 
solicitados à tração e à 
compressão. Este tipo de 
comportamento, em geral, é 
apresentado pelos materiais frágeis. 
 
 A figura 5 mostra os dois 
círculos de Mohr para a tensão de 
ruptura à tração e à compressão de 
um material frágil qualquer. 
 
σ
Tração
Compressão
σTσC
 
figura 5 – Círculos de Mohr para um 
material que resiste à tração e à 
compressão. 
 
 A proposição deste critério e 
que os estados são igualmente 
perigosos quando forem tangentes 
à reta apresentada na figura. 
 
 A tensão equivalente para 
este critério é: 
 
31eq k σ×−σ=σ (6) 
 
onde 
C
Tk
σ
σ
= (7) 
 
σT= Limite de resistência à tração 
σC= Limite de resistência à 
 Compressão 
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A figura 6 é um gráfico 
comparativo entre os critérios de 
resistência apresentados. 
 
 Note-se aqui, que o critério 
de Von Mises é aquele que mais se 
aproxima dos resultados 
experimentais. 
 
Aplicação em eixos e vasos 
de pressão. 
 
Aplicação em Eixos 
 Uma aplicação muito 
importante do que foi apresentado, 
até agora, está no 
dimensionamento de eixos. 
 
 Um eixo, nada mais é do que 
uma barra circular submetida a um 
esforço de flexão e um esforço de 
torção. A figura 7 mostra uma barra 
com seção transversal circular de 
diâmetro “d”, solicitada por um 
momento fletor M e um momento de 
torção T. 
 
 
figura 7 - barra circular solicitada por um 
momento fletor e um momento de torção. 
 
 No ponto A, indicado na 
seção, atuam a máxima tensão 
normal (σmáx) e a máxima tensão de 
cisalhamento(máxτ) que valem: 
 
W
M
máx =σ 
tW
T
máx =τ (8) 
 
 Ao se isolar o ponto A, para 
estudo, representando as tensões 
que atuam no plano da seção, se 
obtém: 
 
figura 8 – Ponto A com as tensões em seus 
planos. 
 
 Observando-se a figura 8, 
nota-se que o plano Q é um dos 
planos principais. Isto é fato já que 
a tensão de cisalhamento resultante 
no plano é igual a zero. 
 
 No plano *, existe uma 
tensão de cisalhamento que igual, 
mas com sinal contrário, à tensão 
de cisalhamento que atua no plano 
da seção (O). 
 
 Assim, as tensões em cada 
plano ficam: 
 
Plano da seção (O): 
W
M
O =σ 
t
O W
T
=τ (9) 
 
Plano (*): 
0* =σ 
t
O
*
W
T
−=τ−=τ (10) 
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Plano (Q): 
0Q =σ 0Q =τ (11) 
 
Com estes dados, é possível 
construir o Círculo de Mohr para o 
plano da seção (O) e o plano *. Isto 
pode ser observado na figura 9. 
 
σ
σ3
σ2
σ1
το
τ∗=−το σο
Plano O
figura 9 – círculo de Mohr para o estado de 
tensões. 
 
 A figura 10 mostra alguns 
detalhes da figura 8. 
 
σ3
σ
σ1
σ2
το Plano O
σο
σo/2 Raio
 figura 10 – detalhes do círculo de Mohr 
para o estado de tensões. 
 
 A figura 9 mostra que o raio 
do círculo de Mohr entre σ1 e σ3 é: 
 
2
o
2
o
2
RAIO τ+




 σ
= (12) 
 
 Assim, as tensões principais 
ficam: 
 
2
o
2
oOO
1 22
Raio
2
τ+




 σ
+
σ
=+
σ
=σ
 
 
02 =σ 
 
2
o
2
oOO
3 22
Raio
2
τ+




 σ
−
σ
=−
σ
=σ
 
 
(13) 
 
 
 Quando se dimensiona o eixo 
pelo critério de Tresca, é possível 
escrever: 
31eq σ−σ=σ 
 






−
σ
−+
σ
=σ RAIO
2
Raio
2
OO
eq 
 
Raio2eq ×=σ (14) 
 
 Quando se substitui o valor 
do RAIO na expressão 14 se 
encontra: 
2
o
2
o
eq 2
2 τ+




 σ
×=σ � 
 
2
o
2
0eq 4τ+σ=σ (15) 
 
Quando se substitui as 
expressões 9 na expressão 15, se 
obtém: 
 
2
t
2
eq W
T4
W
M






+





=σ (16) 
 
 Lembrando que para uma 
seção circular: 
 
32
dW
3pi
= e 
16
dW
3
t
pi
= � W2Wt = 
(17) 
 
é possível escrever: 
 
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22
eq W2
T4
W
M






+





=σ � 
 
22
eq W
T
W
M






+





=σ � 
 
W
TM 22
eq
+
=σ � 
 
32
d
TM
3
22
eq
pi
+
=σ � 
 
3
22
eq d
TM32
pi
+
=σ (18) 
 
 O dimensionamento é feito 
limitando-se a tensão equivalente 
ao valor da tensão admissível à 
tração; assim, se obtém: 
 
σ≤
pi
+
3
22
d
TM32
 � 
 
3
22 TM32d
σpi
+≥
 (19) 
 
 Quando o dimensionamento 
é feito pelo critério de Von Mises, a 
tensão equivalente fica: 
 
( ) ( ) ( )
2
2
32
2
31
2
21
eq
σ−σ+σ−σ+σ−σ
=σ
 
 Ao se substituir o conteúdo 
das expressões 13, se obtém: 
 
( )
2
RAIO
2
RAIO2RAIO
2
2
O2
2
O
eq






−
σ
+×+





+
σ
=σ
 (20) 
 
 Quando são efetuados os 
produtos apresentados na 
expressão 20, a tensão equivalente 
fica: 
( )
2
RAIO6
2
2 2
2
O
eq
+




 σ
=σ � 
 
( )2
2
O
eq RAIO32
+




 σ
=σ (21) 
 
 Quando se substitui, na 
expressão 21 a expressão 12, se 
encontra: 
 








τ+




 σ
+




 σ
=σ 2O
2
O
2
O
eq 2
3
2
 � 
 
2
O
2
Oeq 3τ+σ=σ (22) 
 
Quando se substitui as 
expressões 9 na expressão 22, se 
obtém: 
 
2
t
2
eq W
T3
W
M






+





=σ (23) 
 
 Lembrando que para uma 
seção circular: 
 
32
dW
3pi
= e 
16
dW
3
t
pi
= � W2Wt = 
(17) 
 
é possível escrever: 
 
22
eq W2
T3
W
M






+





=σ � 
 
22
eq W
T
4
3
W
M






+





=σ � 
 
W
T
4
3M 22
eq
+
=σ � 
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32
d
T
4
3M
3
22
eq
pi
+
=σ � 
 
3
22
eq d
T
4
3M32
pi
+
=σ (24) 
Lembrando, mais uma vez, 
que o dimensionamento é feito 
limitando-se a tensão equivalente 
ao valor da tensão admissível à 
tração; assim, se obtém: 
 
σ≤
pi
+
3
22
d
T
4
3M32
 � 
 
3
22 T
4
3M32
d
σpi
+
≥
 (25) 
 
 
OBS:- Devemos observar que as 
expressões (15) e (22) fornecem a 
tensão equivalente, de acordo com 
Tresca e Von Mises, 
respectivamente, para um ponto 
qualquer onde atuam uma tensão 
normal e uma tensão de 
cisalhamento em um único plano. 
 
Aplicação em vasos de 
pressão de parede fina 
 Os vasos de pressão são 
considerados de parede fina 
quando a espessura da parede for 
tão pequena em relação ao seu 
diâmetro que a distribuição de 
tensões normais num plano 
perpendicular à superfície lateral 
deste vaso é uniforme ao longo da 
espessura da parede. Um bom 
exemplo deste tipo de equipamento 
são os vasos de pressão para 
gases industriais. Outros exemplos, 
mais comuns em nosso dia a dia 
são os extintores de incêndio, os 
balões, etc. 
 
 
Vasos Cilíndricos 
 
Tome-se um vaso cilíndrico 
de parede fina que possui 
comprimento llll e diâmetro d, com 
uma espessura de parede (e) muito 
pequena em relação a este 
diâmetro. Suponha que neste tubo 
exista uma pressão interna p. Esta 
pressão irá atuar no interior do tubo 
de maneira a fazer com que exista 
um crescimento em seu diâmetro e 
um crescimento em seu 
comprimento. 
Para que estas variações 
ocorram, é necessário que 
apareçam tensões na parede do 
vaso cujas direções são a do 
comprimento (σ2) e a da tangente 
ao perímetro médio da seção (σ1). 
σ1
σ1
σ2σ2
 
figura 11 – tensões em um ponto da parede 
de um vaso de pressão cilíndrico. 
 
 A figura 12 mostra um 
diagrama de corpo livre para um 
tubo de parede fina que possui uma 
pressão interna p. 
 figura 12 – tensões na parede de um vaso 
de pressão cilíndrico. 
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 Para determinar as tensões 
que atuam na parede, se deve 
lembrar que o conjunto das tensões 
deve equilibrar o esforço produzido 
pela pressão interna. 
 
 Assim, tem-se: 
 
( )ll ××σ×=×× e2dp 1 � 
 
e2
pd
1 =σ (26) 
 
 Da mesma maneira, é 
possível escrever: 
 
4
dpd
2
2
×pi
×=×pi×σ � 
 
e4
pd
2 =σ (27) 
 
 Note-se aqui que estas 
tensões são duas das tensões 
principais que atuam nos pontos da 
parede do tubo. Note-se, também, 
que a tensão σ1 é igual ao dobro de 
σ2. A terceira tensão principal (σ3) é 
igual a zero. 
 
Assim, as tensões que atuam 
nos pontos da parede do tubo 
podem ser representadaspor: 
 
 
figura 13 – tensões principais para um 
ponto da parede do tubo. 
 
 O círculo de Mohr para estas 
tensões fica: 
 
σ3
σ
τmáx
σ2 σ1
 
figura 14 – Círculo de Mohr para um ponto 
da parede do tubo. 
 
 Com estas tensões, a tensão 
equivalente, de acordo com o 
critério de Tresca fica: 
 
31eq σ−σ=σ � 
e2
pd
1eq =σ=σ (28) 
 
 De acordo com o critério de 
Von Mises, se encontra: 
 
( ) ( ) ( )
2
2
32
2
31
2
21
eq
σ−σ+σ−σ+σ−σ
=σ
 
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
1
2
21
eq
σ+σ+σ−σ
=σ (29) 
 
 Lembrando que a tensão σ1 é 
igual ao dobro de σ2 a expressão 29 
fica: 
 
( ) ( ) ( )
2
22 22
2
2
2
22
eq
σ+σ+σ−σ
=σ 
 
32eq σ=σ 
 
3
e4
pd
eq =σ (30) 
 
 
 
Vasos Esféricos 
 
Tome-se um vaso esférico, 
de parede fina, que possui diâmetro 
d e espessura e. 
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figura 15 – tensões na parede de um vaso 
de pressão esférico. 
 
As tensões nos pontos da 
parede de um vaso de pressão 
esférico, possuem o mesmo valor, 
em qualquer que seja a direção 
tomada. Ou seja: 
 
 
4
dpd
2×pi
×=×pi×σ � 
 
e4
pd
=σ
 (31) 
 
Note-se aqui que estas 
tensões são duas das tensões 
principais que atuam nos pontos da 
parede da esfera. Note-se, também, 
que a tensão σ1 é igual a σ2. A 
terceira tensão principal (σ3) é igual 
a zero. 
 
Assim, as tensões que atuam 
nos pontos da parede do tubo 
podem ser representadas por: 
 
 
figura 16 – tensões principais para um 
ponto da parede da esfera. 
 
 O círculo de Mohr para estas 
tensões fica: 
σ3
σ
τmáx
σ2 σ1
 
figura 17 – Círculo de Mohr para um ponto 
da parede da esfera. 
 
Com estas tensões, a tensão 
equivalente, de acordo com o 
critério de Tresca fica: 
 
31eq σ−σ=σ � 
 
e4
pd
eq =σ=σ (32) 
 
 De acordo com o critério de 
Von Mises, se encontra: 
 
( ) ( ) ( )
2
2
32
2
31
2
21
eq
σ−σ+σ−σ+σ−σ
=σ
 
( ) ( )
2
2
2
2
1
eq
σ+σ
=σ (33) 
 
 Lembrando que a tensão σ1 é 
igual a σ2 a expressão 33 fica: 
 
( )
2
2 21
eq
σ
=σ 
 
σ=σeq 
 
e4
pd
eq =σ (34) 
 
Importante observar que, 
para este tipo de vaso de pressão, a 
tensão equivalente é a mesma 
pelos dois critérios de 
dimensionamento.