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3. **Problema:** Encontre a derivada da função \( f(x) = x^3 \ln(x) \). 
 **A)** \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 **B)** \( 3x^2 \ln(x) + x^3 \) 
 **C)** \( 3x^2 \ln(x) - x^2 \) 
 **D)** \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \) 
 **Resposta:** A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \( f'(x) = (x^3)' \cdot \ln(x) + x^3 \cdot (\ln(x))' 
= 3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
4. **Problema:** Calcule a série de Taylor de \( e^x \) em torno de \( x = 0 \) até o termo de 
\( x^4 \). 
 **A)** \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \) 
 **B)** \( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 \) 
 **C)** \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \) 
 **D)** \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24} \) 
 **Resposta:** A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \) 
 **Explicação:** A série de Taylor é dada por \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \). 
Para \( n=0 \) a \( n=4 \), obtemos os termos indicados. 
 
5. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + y = e^{-x} \). 
 **A)** \( y = Ce^{-x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) 
 **B)** \( y = Ce^{-x} + e^{-x} \) 
 **C)** \( y = Ce^{-x} + e^{-2x} \) 
 **D)** \( y = Ce^{x} + e^{-x} \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{-x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é \( y = Ce^{-x} + e^{-x} \cdot \int e^{x} \, dx = Ce^{-x} + \frac{1}{2} e^{-x} \). 
 
6. **Problema:** Calcule a integral \( \int (x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 **A)** \( \frac{x^3}{3} + x^2 + C \) 
 **B)** \( \frac{x^3}{3} + x + C \) 
 **C)** \( \frac{x^3}{3} + 2x + C \) 
 **D)** \( \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{x^3}{3} + x^2 + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \int x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx = 
\frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \). 
 
7. **Problema:** Encontre o máximo local da função \( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \). 
 **A)** \( (2, 5) \) 
 **B)** \( (4, 1) \) 
 **C)** \( (1, 4) \) 
 **D)** \( (0, 1) \) 
 **Resposta:** A) \( (2, 5) \) 
 **Explicação:** A derivada \( f'(x) = -2x + 4 \) é igual a zero quando \( x = 2 \). O valor de \( 
f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 + 1 = 5 \). 
 
8. **Problema:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). 
 **A)** Converge 
 **B)** Diverge 
 **C)** Converge condicionalmente 
 **D)** Diverge absolutamente 
 **Resposta:** A) Converge 
 **Explicação:** A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) converge para \( p > 1 \). 
Aqui, \( p = 2 \). 
 
9. **Problema:** Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 **A)** \( 0 \) 
 **B)** \( 1 \) 
 **C)** \( 2 \) 
 **D)** \( \pi \) 
 **Resposta:** C) \( 2 \) 
 **Explicação:** A integral é \( -\cos(x) \big|_0^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 \). 
 
10. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x^2) \). 
 **A)** \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 **B)** \( 2 \tan(x) \sec^2(x^2) \) 
 **C)** \( x^2 \sec^2(x) \) 
 **D)** \( \sec^2(x^2) \) 
 **Resposta:** A) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot (2x) \). 
 
11. **Problema:** Calcule a integral \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 **A)** \( -\frac{1}{3} \) 
 **B)** \( \frac{1}{3} \) 
 **C)** \( 0 \) 
 **D)** \( 1 \) 
 **Resposta:** D) \( 1 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 - 2x^2 + x \right]_1^2 = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 1 \). 
 
12. **Problema:** Determine a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 \) no ponto \( 
(1, 1) \). 
 **A)** \( y = 3x - 2 \) 
 **B)** \( y = 3x - 3 \) 
 **C)** \( y = 2x - 1 \) 
 **D)** \( y = 1 + 3(x - 1) \) 
 **Resposta:** D) \( y = 1 + 3(x - 1) \) 
 **Explicação:** A derivada \( f'(x) = 3x^2 \) em \( x=1 \) é \( 3 \). A equação da reta 
tangente é \( y - 1 = 3(x - 1) \). 
 
13. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
 **A)** \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 **B)** \( \frac{1}{2} e \) 
 **C)** \( \frac{1}{2} \) 
 **D)** \( e - 1 \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \)