chg desafio da matematica

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**Resposta:** a) -4 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^2 - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - 4x \). Avaliando de 0 a 2, 
temos \( \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -\frac{16}{3} \). 
 
22. **Problema 22:** Qual é a derivada da função \( f(x) = \tan(x) \)? 
 a) \( \sec^2(x) \) 
 b) \( \sin(x) \) 
 c) \( \cos(x) \) 
 d) \( \cot(x) \) 
 **Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \), conforme as regras de 
derivação. 
 
23. **Problema 23:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \), temos \( \lim_{x 
\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \). 
 
24. **Problema 24:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^2} \). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Converge absolutamente 
 **Resposta:** b) Converge 
 **Explicação:** A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) converge, conforme o teste 
de comparação com \( p = 2 > 1 \). 
 
25. **Problema 25:** Qual é a integral \( \int e^{2x} \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 b) \( 2e^{2x} + C \) 
 c) \( e^{2x} + C \) 
 d) \( e^{x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \), com \( k = 2 \). 
 
26. **Problema 26:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1 \). 
 
27. **Problema 27:** Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( 
(1, 1) \)? 
 a) \( y = \frac{1}{2}(x - 1) + 1 \) 
 b) \( y = 2(x - 1) + 1 \) 
 c) \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \) 
 d) \( y = \sqrt{x} + 1 \) 
 **Resposta:** a) \( y = \frac{1}{2}(x - 1) + 1 \) 
 **Explicação:** A derivada \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) em \( x = 1 \) é \( \frac{1}{2} \). 
Usando a fórmula da reta tangente, temos \( y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \). 
 
28. **Problema 28:** Determine o valor da integral \( \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) -1 
 b) 0 
 c) 1 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** b) 0 
 **Explicação:** A integral \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( (1 - 2 + 1) - 0 = 0 \). 
 
29. **Problema 29:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2}{3x^3 + 1} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) 5 
 **Resposta:** c) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^3 \), 
temos \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^3}}{3 + \frac{1}{x^3}} = \frac{5}{3} \). 
 
30. **Problema 30:** Qual é a derivada da função \( f(x) = \cos(x^2) \)? 
 a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 b) \( -\sin(x^2) \) 
 c) \( 2x \sin(x^2) \) 
 d) \( -\cos(x^2) \) 
 **Resposta:** a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x 
\sin(x^2) \). 
 
31. **Problema 31:** Qual é o valor de \( \int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 1 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** c) 1 
 **Explicação:** A integral \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \frac{\pi}{2} \), 
temos \( [-\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0)] = 1 \). 
 
32. **Problema 32:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^3} \). 
 a) Diverge