WO equilibrio

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**Explicação:** A integral é calculada como \( \int_0^1 \left( \int_0^1 xy \, dy \right) dx = 
\int_0^1 \left( x \cdot \frac{1}{2} \right) dx = \frac{1}{4} \). 
 
10. **Problema 10:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^2} \). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Converge absolutamente 
 **Resposta:** b) Converge 
 **Explicação:** A série \( \sum \frac{1}{n^2} \) é uma série p com \( p = 2 > 1 \), portanto 
converge. 
 
11. **Problema 11:** Calcule o valor de \( \int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \frac{\pi}{2} \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** A integral \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \), então \( \left[-
\cos(x)\right]_0^{\pi/2} = -(-1 - 1) = 1 \). 
 
12. **Problema 12:** Qual é a integral de \( \int e^{2x} \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 b) \( e^{2x} + C \) 
 c) \( 2e^{2x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \), onde \( k = 2 \). 
 
13. **Problema 13:** Determine a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 \) no ponto 
\( (1, 1) \). 
 a) \( y = 2x - 1 \) 
 b) \( y = 2x + 1 \) 
 c) \( y = x + 1 \) 
 d) \( y = x - 1 \) 
 **Resposta:** a) \( y = 2x - 1 \) 
 **Explicação:** A derivada \( y' = 2x \) em \( x = 1 \) é \( 2 \). A equação da tangente é \( y - 
1 = 2(x - 1) \). 
 
14. **Problema 14:** Calcule o determinante da matriz \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{bmatrix} \). 
 a) \( -2 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta:** b) \( -2 \) 
 **Explicação:** O determinante é calculado como \( (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \). 
 
15. **Problema 15:** Qual é a integral de \( \int \cos^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}x + \sin(x) + C \) 
 d) \( \sin(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). 
 
16. **Problema 16:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( e \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, onde \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \) e \( 
\frac{d}{dx}(x) = 1 \). 
 
17. **Problema 17:** Determine a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{5}{12} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{5}{12} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{4} 
+ \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \). 
 
18. **Problema 18:** Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)? 
 a) \( \sec^2(x) \) 
 b) \( \sin(x) \) 
 c) \( \cos^2(x) \) 
 d) \( \sec(x) \) 
 **Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \). 
 
19. **Problema 19:** Calcule o valor de \( \int_0^{\pi/4} \tan(x) \, dx \). 
 a) \( \ln(1) \) 
 b) \( \frac{\ln(2)}{2} \) 
 c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( \ln(1 + \sqrt{2}) \) 
 **Resposta:** d) \( \ln(1 + \sqrt{2}) \) 
 **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) é \( -\ln|\cos(x)| \), avaliando de \( 0 \) a \( 
\frac{\pi}{4} \). 
 
20. **Problema 20:** Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + y = 
e^{-x} \)? 
 a) \( y = Ce^{-x} + \frac{1}{2}e^{-x} \) 
 b) \( y = Ce^{x} + e^{-x} \) 
 c) \( y = Ce^{-x} + e^{-x} \)