cce desafio da matematica

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**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(2x)}{x} = 2 \). 
 
43. **Problema 43:** Qual é a equação da reta normal à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (1, 
1) \)? 
 a) \( y = -2(x - 1) + 1 \) 
 b) \( y = -\frac{1}{2}(x - 1) + 1 \) 
 c) \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \) 
 d) \( y = -2x + 3 \) 
 **Resposta:** c) \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \) 
 **Explicação:** A derivada \( y' = 2x \) em \( x = 1 \) é 2. A inclinação da reta normal é \( m 
= -\frac{1}{2} \). Usando a fórmula da reta normal, temos \( y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \). 
 
44. **Problema 44:** Qual é a integral \( \int (3x^2 + 2) \, dx \)? 
 a) \( x^3 + 2x + C \) 
 b) \( x^3 + 2 + C \) 
 c) \( 3x^3 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 + 2x + C \) 
 **Explicação:** A integral \( \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x + C \). 
 
45. **Problema 45:** Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( -\frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^3 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + x \). 
Avaliando de 0 a 1, temos \( \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 1\right) = 1 \). 
 
46. **Problema 46:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \), temos \( \lim_{x 
\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \). 
 
47. **Problema 47:** Qual é a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x} \)? 
 a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 b) \( \frac{1}{x} \) 
 c) \( \frac{1}{x^{3/2}} \) 
 d) \( 2\sqrt{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( f(x) = x^{1/2} \) é \( \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} 
\). 
 
48. **Problema 48:** Qual é o valor de \( \int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x \). Avaliando de 
1 a 2, temos \( \left(\frac{8}{3} - 4 + 2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1 + 1\right) = 0 \). 
 
49. **Problema 49:** Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{2^n} \). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Converge absolutamente 
 **Resposta:** b) Converge 
 **Explicação:** A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \) é uma série geométrica com 
razão \( r = \frac{1}{2}