LIMITES INFINITOS e CONTINUIDADE

Prévia do material em texto

LIMITES INFINITOS
Definição 5: Seja uma função definida em um intervalo aberto contendo , exceto, possivelmente, em . Dizemos que:
se para qualquer , existe um , tal que sempre que . 
	
Seja o gráfico da função :
Observe que quando se aproxima cada vez mais de , cresce ilimitadamente. 
	
 
 
 
 
 
 
 
Definição 6: Seja uma função definida em um intervalo aberto contendo , exceto, possivelmente, em . Dizemos que:
se para qualquer , existe um , tal que sempre que . 
	
Seja o gráfico da função :
Observe que quando se aproxima cada vez mais de , decresce ilimitadamente.
 
	
 
 
 
 
 
 
 
O teorema a seguir é muito usado no cálculo de limites infinitos:
Teorema 17: Se é um número inteiro positivo, então:
1) 
2) 
3) 
4) 
	Além dos limites infinitos definidos acima, podemos considerar os limites infinitos no infinito, a seguir:
	
			
	
 Ex.: Seja o gráfico da função . Observe que quando tende a mais infinito, cresce ilimitadamente e quando tende a menos infinito, decresce ilimitadamente:
 
	
 
 
 
 
 
 
 
PRATICANDO:
Para cada função , abaixo, calcule e .
a) 		b) 	 c) 
d) 			e) 		 f) 
Respostas....................................................................................................................................................................
a) e 		b) e 	c) e 	d) e 	e) e 	f) e 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE LIMITES 
1. 
Os limintes ( tendendo a mais ou menos infinito) podem ser: um número real, ou ainda podem dar (mais infinito) ou (menos infinito).
2. 
Há funções cujos limites nos extremos não existem, como , pois oscila entre 1 e -1 a medida que tende a (mais infinito) ou (menos infinito). 
	
 
 
 
 
 
 
 
	
	
3. O limite nos extremos de uma função polinomial é igual ao limite de seu termo de maior expoente, pois, colocado em evidência, todos os outros termos tendem a zero.
4. Para o quociente de dois polinômios.
LIMITE DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Considere os gráficos da função exponencial .
	 
Para
	
 
 
 
 
 
 
	
	
Para
	
 
 
 
 
 
 
	
PRATICANDO:
Calcule:
a) 	b) 	 c) d) 	e) 	 f) 
Respostas....................................................................................................................................................................
a) 		b) 0		c) 0		d) 		e) 4		f) 2
LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL
Seja a função , definida num domínio .
O domínio é determinado pelos valores de que satisfazem a relação , portanto:
Tabela:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
 Pelo gráfico da função , temos:
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando os valores tendem a (mais infinito) ou , os valores de vão se aproximando de um número irracional , chamado de Euler (Leonhard Euler 1707-1783).
O valor de com oito casas decimais é:
	Além dos limites definidos acima, pelo gráfico podemos considerar:
			 (substituindo por )
PRATICANDO:
Calcule: a) 	b) 	 c) d) 
Respostas....................................................................................................................................................................
a) 		b) 		c) 		d) 
LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL
O teorema a seguir apresentado caracteriza o limite trigonométrico fundamental. Estaremos tratando de um caso particular de indeterminação do tipo .
Teorema 18: O é igual a 
OBS.: 
 
Exemplo 14: Determine :
Transformando, temos: 
PRATICANDO:
Calcule: 
a) 	b) 	 c) 	d) 
e) 	f) 	g) 		h) 
Respostas....................................................................................................................................................................
a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 	g) 	h) 
CONTINUIDADE
Um conceito fundamental no Cálculo, no que diz respeito ao estudo de funções, é o de continuidade de uma função num ponto de seu domínio.
	Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções, ou seja, seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel. 
Quando definimos analisamos o comportamento da função para valores de próximos de , mas diferentes de . Em muitos exemplos vimos que o pode existir, mesmo que não seja definida no ponto . Se está definida em e existir, pode ocorrer que este limite seja diferente de .
Quando dizemos, de acordo com a definição a seguir, que é contínua em .
Definição 7: Uma função é contínua no ponto se as seguintes condições forem satisfeitas:
(1) 
 é definida no ponto ;
(2) 
 existe;
(3) 
.
Exemplo 16: Verifique a continuidade da função: , para 
	 
 Não existe , logo a primeira condição de continuidade já não é satisfeita, o que implica que não é contínua em .
 
 A descontinuidade pode ser observada no gráfico da função. 
 
 
	
	
 
 
 
 
 
 
Exemplo 17: Verifique a continuidade da função: 
	(1) 
(2) 
(3) 
 
 
 Logo, é contínua em .Exemplo 18: Verifique a continuidade da função: , para 
	
(1) 
Existe ;
(2) 
 não existe
Logo, não é contínua em . 
 
 
	
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Se uma função não é contínua em um ponto , dizemos que ela é descontínua neste ponto.
PRATICANDO:
Verifique a continuidade das funções a seguir e esboce seu gráfico:
a) 			b) 		
c) 			d) 
e) 			f) 
Respostas....................................................................................................................................................................
a) descontínua	b) descontínua	c) contínua	d) descontínua	e) contínua	f) descontínua
1
oleObject3.bin
image41.wmf
(
)
1
,
1
3
=
-
=
a
x
x
f
oleObject56.bin
image42.wmf
(
)
0
,
1
=
=
a
x
x
f
oleObject57.bin
image43.wmf
(
)
0
,
1
2
=
=
a
x
x
f
oleObject58.bin
image44.wmf
(
)
0
,
1
2
=
-
=
a
x
x
f
oleObject59.bin
image45.wmf
(
)
(
)
1
,
1
5
2
=
-
=
a
x
x
x
f
oleObject60.bin
image4.wmf
(
)
¥
+
=
®
x
f
a
x
lim
image46.wmf
¥
+
oleObject61.bin
image47.wmf
¥
-
oleObject62.bin
image48.wmf
¥
-
oleObject63.bin
image49.wmf
¥
+
oleObject64.bin
oleObject65.bin
oleObject66.bin
oleObject4.bin
oleObject67.bin
image50.wmf
¥
+
oleObject68.bin
image51.wmf
¥
-
oleObject69.bin
oleObject70.bin
oleObject71.bin
image52.wmf
¥
+
oleObject72.bin
image53.wmf
x
image5.wmf
0
>
A
oleObject73.bin
image54.wmf
¥
+
oleObject74.bin
image55.wmf
¥
-
oleObject75.bin
image56.wmf
(
)
x
sen
x
f
=
oleObject76.bin
oleObject77.bin
oleObject78.bin
oleObject79.bin
oleObject5.bin
oleObject80.bin
image57.wmf
1
oleObject81.bin
image58.wmf
0
oleObject82.bin
oleObject83.bin
image59.wmf
1
-
oleObject84.bin
image60.wmf
=
+
-
+
¥
+
®
7
2
3
5
lim
2
3
x
x
x
x
oleObject85.bin
image6.wmf
0
>
d
image61.wmf
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+
¥
+
®
3
2
3
7
2
3
5
lim
x
x
x
x
x
oleObject86.bin
image62.wmf
(
)
=
+
-
+
¥
+
®
0
0
0
5
lim
3
x
x
oleObject87.bin
image63.wmf
3
5
lim
x
x
¥
+
®
oleObject88.bin
image64.wmf
¥
+
=
oleObject89.bin
image65.wmf
=
-
+
+
-
-
¥
+
®
7
3
3
1
4
2
6
lim
2
2
3
x
x
x
x
x
x
oleObject90.bin
oleObject6.bin
image66.wmf
=
¥
+
®
2
3
3
6
lim
x
x
x
oleObject91.bin
image67.wmf
x
x
2
lim
¥
+
®
oleObject92.bin
oleObject93.bin
image68.wmf
(
)
x
a
x
f
=
oleObject94.bin
image69.wmf
1
>
a
oleObject95.bin
oleObject96.bin
image7.wmf
(
)
A
x
f
>
oleObject97.bin
oleObject98.bin
oleObject99.bin
image70.wmf
¥
+
=
¥
+
®
x
x
a
lim
oleObject100.bin
image71.wmf
0
lim
=
¥
-
®
x
x
a
oleObject101.bin
image72.wmf
1
0
+
x
image9.wmf
(
)
(
)
2
1
1
+
=
x
x
f
oleObject121.bin
image86.wmf
0
1
0
1
1
>
+
Û
>
+
x
x
x
oleObject122.bin
image87.wmf
x
oleObject123.bin
image88.wmf
1
oleObject124.bin
image89.wmf
2
oleObject125.bin
image90.wmf
3
oleObject9.bin
oleObject126.bin
image91.wmf
5
oleObject127.bin
image92.wmf
10
oleObject128.bin
image93.wmf
100
oleObject129.bin
image94.wmf
1000
oleObject130.bin
image95.wmf
10000
image10.wmf
x
oleObject131.bin
image96.wmf
¥
+
oleObject132.bin
image97.wmf
y
oleObject133.bin
image98.wmf
000
,
2
oleObject134.bin
image99.wmf
250
,
2
oleObject135.bin
image100.wmf
369
,
2
oleObject10.bin
oleObject136.bin
image101.wmf
489
,
2
oleObject137.bin
image102.wmf
594
,
2
oleObject138.bin
image103.wmf
705
,
2
oleObject139.bin
image104.wmf
717
,
2
oleObject140.bin
image105.wmf
718
,
2
image11.wmf
1
oleObject141.bin
image106.wmf
e
oleObject142.bin
oleObject143.bin
image107.wmf
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥
+
®
x
x
x
1
1
lim
oleObject144.bin
image108.wmf
e
x
x
x
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥
-
®
1
1
lim
oleObject145.bin
oleObject146.bin
image109.wmf
e
oleObject11.bin
oleObject147.bin
image110.wmf
1
oleObject148.bin
oleObject149.bin
image111.wmf
0
oleObject150.bin
oleObject151.bin
oleObject152.bin
oleObject153.bin
oleObject154.bin
image12.wmf
y
image112.wmf
y
oleObject155.bin
image113.wmf
e
oleObject156.bin
image114.wmf
e
oleObject157.bin
image115.wmf
K
71828182
,
2
=
e
oleObject158.bin
image116.wmf
1
1
1
lim
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
®
x
x
x
oleObject159.bin
oleObject12.bin
image117.wmf
(
)
e
x
x
x
=
+
®
1
0
1
lim
oleObject160.bin
image118.wmf
x
oleObject161.bin
image119.wmf
x
1
oleObject162.bin
image120.wmf
x
x
x
4
1
1
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥
+
®
oleObject163.bin
image121.wmf
2
1
1
lim
x
x
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥
+
®
oleObject164.bin
image13.wmf
(
)
¥
+
=
+
-
®
2
1
1
1
lim
x
x
image122.wmf
x
x
x
3
4
1
1
lim
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥
-
®
oleObject165.bin
image123.wmf
x
x
x
x
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥
+
®
6
lim
oleObject166.bin
image124.wmf
4
e
oleObject167.bin
image125.wmf
e
oleObject168.bin
image126.wmf
3
e
e
oleObject169.bin
oleObject13.bin
image127.wmf
6
e
oleObject170.bin
image128.wmf
0
0
oleObject171.bin
image129.wmf
x
x
sen
x
0
lim
®
oleObject172.bin
image130.wmf
1
oleObject173.bin
image131.wmf
0
lim
0
=
®
x
sen
x
oleObject174.bin
image14.wmf
y
image132.wmf
1
cos
lim
0
=
®
x
x
oleObject175.bin
image133.wmf
x
x
sen
x
3
8
lim
0
®
oleObject176.bin
image134.wmf
=
®
x
x
sen
x
3
8
lim
0
oleObject177.bin
image135.wmf
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
×
®
8
8
8
3
1
lim
0
x
x
sen
x
oleObject178.bin
image136.wmf
3
8
8
1
3
1
=
×
×
oleObject179.bin
oleObject14.bin
image137.wmf
x
x
sen
x
2
lim
0
®
oleObject180.bin
image138.wmf
x
x
sen
x
4
3
lim
0
®
oleObject181.bin
image139.wmf
x
x
sen
x
5
lim
0
®
oleObject182.bin
image140.wmf
x
sen
x
sen
x
3
2
lim
0
®
oleObject183.bin
image141.wmf
x
sen
x
sen
x
p
p
3
lim
0
®
oleObject184.bin
image15.wmf
1
-
image142.wmf
2
0
cos
1
lim
x
x
x
-
®
oleObject185.bin
image143.wmf
x
x
tg
x
0
lim
®
oleObject186.bin
image144.wmf
x
sen
x
tg
x
0
lim
®
oleObject187.bin
image145.wmf
2
oleObject188.bin
image146.wmf
4
3
oleObject189.bin
oleObject15.bin
image147.wmf
5
1
oleObject190.bin
image148.wmf
3
2
oleObject191.bin
image149.wmf
3
1
oleObject192.bin
image150.wmf
2
1
oleObject193.bin
image151.wmf
1
oleObject194.bin
image16.wmf
x
oleObject195.bin
image152.wmf
(
)
x
f
a
x
®
lim
oleObject196.bin
image153.wmf
(
)
x
f
oleObject197.bin
image154.wmf
x
oleObject198.bin
image155.wmf
a
oleObject199.bin
image156.wmf
aoleObject16.bin
oleObject200.bin
oleObject201.bin
image157.wmf
f
oleObject202.bin
image158.wmf
a
oleObject203.bin
image159.wmf
f
oleObject204.bin
image160.wmf
a
oleObject205.bin
oleObject17.bin
oleObject206.bin
image161.wmf
(
)
a
f
oleObject207.bin
image162.wmf
(
)
(
)
a
f
x
f
a
x
=
®
lim
oleObject208.bin
oleObject209.bin
oleObject210.bin
oleObject211.bin
oleObject212.bin
oleObject213.bin
oleObject18.bin
oleObject214.bin
image163.wmf
(
)
x
f
a
x
®
lim
oleObject215.bin
oleObject216.bin
image164.wmf
(
)
x
x
f
1
=
oleObject217.bin
image165.wmf
0
=
x
oleObject218.bin
image166.wmf
(
)
0
f
oleObject219.bin
oleObject19.bin
image167.wmf
f
oleObject220.bin
image168.wmf
0
=
x
oleObject221.bin
oleObject222.bin
oleObject223.bin
image169.wmf
(
)
1
;
1
1
2
2
-
=
+
-
=
x
x
x
x
f
oleObject224.bin
image170.wmf
(
)
(
)
(
)
0
2
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
=
=
+
-
-
-
=
+
-
=
-
x
x
f
oleObject225.bin
image17.wmf
(
)
L
x
f
x
=
¥
-
®
lim
image171.wmf
0
1
1
lim
2
2
1
=
+
-
-
®
x
x
x
oleObject226.bin
image172.wmf
(
)
1
1
1
lim
2
2
1
-
=
+
-
-
®
f
x
x
x
oleObject227.bin
oleObject228.bin
image173.wmf
1
-
=
x
oleObject229.bin
oleObject230.bin
image174.png
oleObject231.bin
oleObject20.bin
image175.wmf
1
-
oleObject232.bin
image176.wmf
(
)
î
í
ì
³
-
B
image180.wmf
f
oleObject237.bin
image181.wmf
1
=
x
oleObject238.bin
oleObject239.bin
image182.wmf
2
oleObject240.bin
image183.wmf
1
oleObject241.bin
image184.wmf
1
-
oleObject21.bin
oleObject242.bin
image185.wmf
0
oleObject243.bin
image186.wmf
1
oleObject244.bin
image187.wmf
2
oleObject245.bin
oleObject246.bin
image188.wmf
1
-
oleObject247.bin
oleObject22.bin
image189.wmf
a
oleObject248.bin
image190.wmf
(
)
1
;
1
1
2
=
-
-
=
x
x
x
x
f
oleObject249.bin
image191.wmf
(
)
ï
î
ï
í
ì
=
¹
-
-
=
1
,
1
1
,
1
1
2
x
x
x
x
x
g
oleObject250.bin
image192.wmf
(
)
ï
î
ï
í
ì
=
¹
-
-
=
1
,
2
1
,
1
1
2
x
x
x
x
x
h
oleObject251.bin
image193.wmf
(
)
(
)
2
;
2
1
2
=
-
=
x
x
x
i
oleObject252.bin
image19.wmf
(
)
B
x
f
A
, existe um 
0
>
d
, tal que 
(
)
A
x
f
>
 
sempre que 
d
B
, existe um 
0
>
d
, tal que 
(
)
B
x
f
1 x 
Definição 6: Seja xf uma função definida em um intervalo aberto contendo a, 
exceto, possivelmente, em ax. Dizemos que: 
Lxf
x


lim
 
se para qualquer 0B, existe um 0, tal que Bxf sempre que ax0. 
 
Seja o gráfico da função 

2
2
1



x
xf: 
Observe que quando x se aproxima 
cada vez mais de 2, y decresce 
ilimitadamente. 





2
2
2
1
lim
x
x
 
 y 
 2 x 
 
 
 
 
 
 
 
O teorema a seguir é muito usado no cálculo de limites infinitos: 
 
Teorema 17: Se n é um número inteiro positivo, então: 
1) 


n
x
x
1
lim
0
 
2) 



n
x
x
1
lim
0
 
 
3) 








ímparénse
parénse
x
n
x
,
,
1
lim
0
 
4) 









ímparénse
parénse
x
n
x
,
,
1
lim
0