Exercicios (1001)-mesclado-308

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Moderna PLUS MATEMÁTICA
17
Parte III
Capítulo 14 Outras razões trigonométricas, adição de arcos e resolução de triângulos
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
} S * 1 __ 
2
 3 200 3 100 3 cos 30w 1 1 __ 
2
 3 200 3 202,25 3 sen 53w
} S * 1 __ 
2
 3 200 3 100 3 0,87 1 1 __ 
2
 3 200 3 202,25 3 0,80
} S * 24.880 m2
Logo, a área do terreno é, aproximadamente, 
24.880 m2.
39 Sendo a a medida do ângulo BAC, a área S do 
triângulo ABC é dada por:
S 5 1 __ 
2
 3 50 3 50 3 sen a cm2 5 1.250 sen a cm2
Para que essa área seja máxima, devemos ter 
sen a 5 1; portanto, a 5 90w.
A
B C
50 50
Assim, aplicando o teorema de Pitágoras, con-
cluímos:
(BC)2 5 502 1 502 ] (BC)2 5 2 3 502
} BC 5 50 dll 2 cm
Alternativa e.
Exercícios de revisão cumulativa
1 sen3 x 2 sen2 x 2 4 sen x 1 4 5 0 ] 
] sen2 x (sen x 2 1) 2 4 (sen x 2 1) 5 0
} (sen x 2 1)(sen2 x 2 4) 5 0 ] sen x 2 1 5 0 ou
sen2 x 2 4 5 0
Assim, temos:
• sen x 5 1 ] x 5 s __ 
2
 
• sen x 5 ± 2 (não convém)
Concluímos, então, que o conjunto solução é:
S 5  s __ 
2
  
2 A sequência 1, 16, 31, 46, ... é uma progressão 
aritmética de razão 15. Assim, temos:
1a rodada: 1, 16, 31, 46, 61, 76, 91
2a rodada: 6, 21, 36, 51, 66, 81, 96
3a rodada: 11, 26, 41, 56, 71, 86
4a rodada: 1 (criança já chamada)
Logo, foram distribuídos 21 chocolates.
Alternativa c.
3 Condição de existência: cos x % 0
A sequência é P.G. se, e somente se:
144 cos2 x 5 sen2 x 3 16 tg2 x
Logo:
144 cos2 x 5 16 sen4 x _________ 
cos2 x
 ] tg4 x 5 9
} tg x 5 ± dll 3 ] x 5 s __ 
3
 ou x 5 4s ___ 
3
 ou
x 5 2s ___ 
3
 ou x 5 5s ___ 
3
 
S 5  s __ 
3
 , 4s ___ 
3
 , 2s ___ 
3
 , 5s ___ 
3
  
4 Sendo d a distância percorrida pelo barco, es-
quematizamos:
sen 30w 5 100 ____ 
d
 ] 1 __ 
2
 5 100 ____ 
d
 
} d 5 200 m
Alternativa d.
Análise da resolução
1o modo:
Pela lei dos senos, aplicada ao triângulo ABC, temos:
 r ______ sen a 5 2r ] sen a 5 1 __ 
2
 
Como 0w , a , 180w, pois a é medida de um ângulo 
interno de um triângulo, temos dois valores possíveis: 
a 5 30w ou a 5 150w.
Duas figuras possíveis para esses valores de a são:
2o modo:
Em uma circunferência de raio r, consideremos uma 
corda AB de comprimento r. Os pontos A e B deter-
minam nessa circunferência dois arcos distintos de 
extremos A e B. Considerando um ponto M em um 
desses arcos e um ponto N no outro, com M e N dis-
tintos de A e B, obtemos os triângulos ABM e ABN que 
satisfazem as condições enunciadas. Observe:
Assim, temos:
m(AMB) 5 
m(ANB)
 ________ 
2
 5 60w ____ 
2
 5 30w
m(ANB) 5 
m(AMB)
 ________ 
2
 5 300w _____ 
2
 5 150w
Logo, há duas respostas possíveis: 30w ou 150w.
30°
100 m
d
60°
30°
60°
O
r r
r
A B
C
60°
150°
300°
O
r
A B
C
60°
300°
60°
O
r r
r
A B
N
M
Moderna PLUS MATEMÁTICA
1
Parte III 
Capítulo 15 Funções trigonométricas 
PAIVA
 
w
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d
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m
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r
1 MANOEL 
PAIVA
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
Exercícios propostos
1 a) y 5 2 sen x
Para pensar
1 Resposta pessoal.
2 Se a música tem 15 batidas a cada 10 segundos, temos:
15 batidas
x batidas
10 segundos
60 segundos
x 5 15 3 60 _______ 
10
 5 90
Portanto, essa música tem 90 bpm.
x y
0 0
 
s
 __ 
2
 2
s 0
 
3s
 ___ 
2
 22
2s 0
x y
0 0
 
s
 __ 
2
 22
s 0
 
3s
 ___ 
2
 2
2s 0
x y
0 5
 
s
 __ 
2
 7
s 5
 
3s
 ___ 
2
 3
2s 5
D 5 V
Im 5 [22, 2]
p 5 2s
D 5 V
Im 5 [22, 2]
p 5 2s
D 5 V
Im 5 [3, 7]
p 5 2s
b) y 5 22 sen x
c) y 5 5 1 2 sen x
π
2
�
π
2
3π
2
xπ 2π�π 0
y
2
�2
π
2
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π
2
3π
2
xπ�π 2π0
y
2
�2
π
2
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π
2
3π
2
5π
2
xπ 2π0
y
5
3
7
Moderna PLUS MATEMÁTICA
2
Parte III 
Capítulo 15 Funções trigonométricas 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
x y
0 21
 
s
 __ 
2
 1
s 21
 
3s
 ___ 
2
 23
2s 21
x y
0 24
 
s
 __ 
2
 26
s 24
 
3s
 ___ 
2
 22
2s 24
x y
0 4
 
s
 __ 
2
 0
s 24
 
3s
 ___ 
2
 0
2s 4
x y
0 7
 
s
 __ 
2
 3
s 21
 
3s
 ___ 
2
 3
2s 7
d) y 5 21 1 2 sen x
e) y 5 24 2 2 sen x
f ) y 5 4 cos x
g) y 5 3 1 4 cos x
D 5 V
Im 5 [23, 1]
p 5 2s
D 5 V
Im 5 [26, 22]
p 5 2s
D 5 V
Im 5 [24, 4]
p 5 2s
D 5 V
Im 5 [21, 7]
p 5 2s
s
2
�
s
2
3s
2
5s
2
x
s 2s
0
y
�1
1
�3
s
2
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s
2
3s
2
5s
2
x
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3s
2
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2s
0
y
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�4
�6
s
2
�
s
2
3s
2
5s
2
x
s�s
2s 3s0
4
y
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s
2
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s
2
3s
2
5s
2
x
s�s
2s0
y
3
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Moderna PLUS MATEMÁTICA
3
Parte III 
Capítulo 15 Funções trigonométricas 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
2 a) y 5 sen 4x
b) y 5 2 1 3 sen 2x
d) y 5 cos 4x
c) y 5 21 1 2 sen x __ 
2
 
4x x y
0 0 0
 
s
 __ 
2
 
s
 __ 
8
 1
s 
s
 __ 
4
 0
 
3s
 ___ 
2
 
3s
 ___ 
8
 21
2s 
s
 __ 
2
 0
2x x y
0 0 2
 
s
 __ 
2
 
s
 __ 
4
 5
s 
s
 __ 
2
 2
 
3s
 ___ 
2
 
3s
 ___ 
4
 21
2s s 2
4x x y
0 0 1
 
s
 __ 
2
 
s
 __ 
8
 0
s 
s
 __ 
4
 21
 
3s
 ___ 
2
 
3s
 ___ 
8
 0
2s 
s
 __ 
2
 1
 
x
 __ 
2
 x y
0 0 21
 
s
 __ 
2
 s 1
s 2s 21
 
3s
 ___ 
2
 3s 23
2s 4s 21
π
8
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4
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8
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4
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2
3π
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3π
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5π
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0
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1
D 5 V
Im 5 [21, 1]
p 5 s __ 
2
 
D 5 V
Im 5 [21, 1]
p 5 s __ 
2
 
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4
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2
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4
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4
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2
D 5 V
Im 5 [21, 5]
p 5 s
D 5 V
Im 5 [23, 1]
p 5 4s
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1