Funcoes e Progressoes

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Thais Michelli Stori 
Funções e 
progressões
A Série Universitária foi desenvolvida pelo Senac São 
Paulo com o intuito de preparar profissionais para o 
mercado de trabalho. Os títulos abrangem diversas áreas, 
abordando desde conhecimentos teóricos e práticos 
adequados às exigências profissionais até a formação 
ética e sólida. 
Funções e progressões apresenta o estudo de diversas 
funções, com suas particularidades e representações. 
As funções modelam matematicamente muitas 
situações do cotidiano e fenômenos da natureza, sendo 
aplicadas em várias áreas do conhecimento. Entre os 
temas abordados estão as funções afim, quadrática, 
exponencial, logarítmica e as progressões aritmética e 
geométrica. O objetivo é contribuir para a construção 
do conhecimento matemático do leitor por meio do 
estudo de funções.
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Simone M. P. Vieira – CRB 8a/4771)
Stori, Thais Michelli
 Funções e progressões / Thais Michelli Stori. – São Paulo: Editora 
Senac São Paulo, 2021. (Série Universitária)
	 Bibliografia.
 e-ISBN 978-65-5536-661-7 (ePub/2021)
 e-ISBN 978-65-5536-662-4 (PDF/2021)
 Matemática 2. Matemática (Ensino médio) 3. Funções (Matemática) 
4. Progressões (Matemática) I. Título. II. Série.
21-1285t CDD – 510
 BISAC MAT000000
Índice para catálogo sistemático
1. Matemática 510
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FUNÇÕES E PROGRESSÕES
Thais Michelli Stori 
Administração Regional do Senac no Estado de São Paulo
Presidente do Conselho Regional
Abram Szajman
Diretor do Departamento Regional
Luiz Francisco de A. Salgado
Superintendente Universitário e de Desenvolvimento
Luiz Carlos Dourado
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Sumário
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Capítulo 1
O que é função?, 7
1 Noção intuitiva de função, 8
2 Conceito de função, 9
3 Tipos de representações, 10
4 Domínio, contradomínio e 
imagem, 13
5 Função injetora, sobrejetora e 
bijetora, 16
6 Função inversa, 17
7 Função composta, 17
Considerações	finais,	18
Referências, 19
Capítulo 2
Estudo da função afim, 21
1	Conceito	da	função	afim,	22
2	Gráfico,	22
3 Raiz, 25
4 Crescimento e decrescimento, 26
5 Estudo do sinal, 27
6 Função constante, 29
Considerações	finais,	29
Referências, 29
Capítulo 3
Estudo da função quadrática, 31
1 Conceito da função quadrática, 32
2	Gráfico,	32
3 Raízes, 33
4 Vértice e suas implicações, 35
5 Estudo do sinal, 38
Considerações	finais,	39
Referências, 39
Capítulo 4
Estudo de funções diversas, 41
1 Função modular, 42
2 Função potência, 43
3 Função máximo inteiro, 46
4	Funções	definidas	por	várias	
sentenças, 47
Considerações	finais,	48
Referências, 48
Capítulo 5
Estudo da função 
exponencial, 49
1 Conceito da função exponencial, 50
2 Propriedades da potenciação, 50
3 Equações exponenciais, 51
4	Gráficos,	52
5 Função exponencial de base e, 53
6 Aplicações de crescimento e 
decaimento exponencial, 53
Considerações	finais,	54
Referências, 54
Capítulo 6
Estudo da função logarítmica, 55
1 Conceito da função logarítmica, 56
2 Logaritmo, 56
3 Propriedades dos logaritmos, 57
4 Equações logarítmicas, 57
5	Gráficos,	58
6 Função logarítmica como inversa da 
função exponencial, 59
7 Função logarítmica de base e, 60
8 Aplicações da função 
logarítmica, 61
Considerações	finais,	63
Referências, 63
6 Funções e progressões M
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Capítulo 7
Estudo de progressão 
aritmética, 65
1 Sequências numéricas, 66
2	Definição	de	progressão	aritmética	
(P.A.), 67
3 Termo geral, 67
4 Propriedades, 69
5 Interpolação aritmética, 70
6 Soma dos termos de uma P.A., 71
Considerações	finais,	73
Referências, 73
Capítulo 8
Estudo de progressão 
geométrica, 75
1	Definição	de	progressão	geométrica	
(P.G.), 76
2 Termo geral, 77
3 Propriedades, 78
4 Interpolação geométrica, 80
5 Soma dos termos de uma P.G., 81
6 Produto dos termos de uma P.G. 
finita,	83
Considerações	finais,	83
Referência, 83
Sobre a autora, 85
7
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Capítulo 1
O que é função?
Neste capítulo, abordaremos a ideia intuitiva de função, o conceito, 
suas características e as variadas representações, tais como conjuntos, 
tabelas,	expressões	algébricas	e	gráficos.	Problemas	do	mundo	real	po-
dem ser modelados e resolvidos por meio de funções, possibilitando 
a compreensão de fenômenos que envolvem várias áreas do conheci-
mento,	como	física,	economia,	biologia,	geografia,	entre	outras.	O	es-
tudo deste tema funciona como embasamento para a construção do 
conhecimento matemático.
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1 Noção intuitiva de função
A função surge quando existeinversas (logarítmica × inversa)
3
2
1
0 1 2-1-2-3
-1
-2
-3
3 4
y = log x
a
y = x
y = ax
3
2
1
0 1 2-1-2
-1
-2
3 4
y = log x
a
y = xy = ax
Gráfico 3 – Funções com base a > 1
Gráfico 4 – Funções com base 0an= an-1 + r para 
n ≥ 2. E a razão r pode ser calculada subtraindo qualquer termo da P.A. 
pelo seu antecessor r = an- an-1.
A P.A. é classificada como crescente, decrescente ou constante de 
acordo com o sinal da razão r, como segue:
 • P.A. crescente (r > 0): cada termo, a partir do segundo, é maior 
que o termo anterior (an > an-1). Exemplo: (-5, -2, 1, 4, 7) razão 
r = 3.
 • P.A. decrescente (raritmética
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608 = 13n + n2
n2 + 13n - 608 = 0 
Resolvendo a equação quadrática, temos: n = -32 e n = 19. O n 
representa o número de fileiras, então o -32 não é solução do problema, 
apenas o 19 é a solução.
Logo, para o auditório acomodar 608 pessoas em suas poltronas, é 
necessário que tenha 19 fileiras.
Considerações finais
Neste capítulo, aprendemos que uma sequência numérica é um tipo 
de função e que seu domínio são os números naturais sem o zero. 
Estudamos também que a progressão aritmética é um tipo especial 
de sequência em que a diferença entre cada termo e o seu antecessor 
é sempre uma constante chamada razão. A P.A. pode ser finita ou in-
finita, crescente, decrescente ou constante. Além disso, conhecendo 
apenas um termo e a razão, é possível encontrar qualquer outro termo 
da sequência pela fórmula do termo geral.
Referências
SAFIER, Fred. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
YAMASHIRO, Seizen; SOUZA, Suzana Abreu de Oliveira. Matemática com apli-
cações tecnológicas. São Paulo: Blucher, 2014. 
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Capítulo 8
Estudo de 
progressão 
geométrica
Neste capítulo, abordaremos outro tipo de sequência numérica: a 
progressão geométrica. Estudaremos sua definição, termo geral, pro-
priedades, interpolação geométrica e as fórmulas para calcular a soma 
e o produto dos termos de uma progressão geométrica.
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1 Definição de progressão geométrica (P.G.)
Uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, 
é o produto do termo anterior por uma constante real é chamada de 
progressão geométrica (P.G.). Essa constante é chamada de razão da 
progressão e simbolizada pela letra q.
Assim, sendo a P.G. (a1, a2, a3, …, an-1, an, …), podemos calcular qual-
quer termo da sequência com a fórmula de recorrência an = an-1 ⋅ q para 
n ≥ 2. A razão q pode ser calculada dividindo qualquer termo da P.G. 
pelo seu antecessor q =
an
an-1
.
Como toda sequência numérica, a progressão geométrica pode ser 
finita ou infinita.
A P.G. é classificada como crescente, decrescente, constante ou os-
cilante de acordo com a razão q e o primeiro termo a1, como segue:
 • P.G. crescente: cada termo, a partir do segundo, é maior que o 
termo anterior (an > an-1); temos duas situações:
 ◦ a1 > 0 e q > 1. Exemplo: (2, 8, 32, ...) a1= 2 e q = 4.
 ◦ a1 0 e 0 1. Exemplo: (-1, -3, -9, …) a1 = -1 e q = 3.
 • P.G. constante: q = 1. Todos os termos da P.G. são iguais. 
Exemplo: (5, 5, 5, 5, ...).
 • P.G. oscilante: qc
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log0,25 x = 2
0,252 = x
1 = x
2
4
1x = 16
Assim, o valor de x é 1
16.
 
4 Interpolação geométrica
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre a1 e an significa obter 
uma P.G. de n = k + 2 termos.
Para descobrir a razão q da P.G., basta utilizar a fórmula do termo 
geral e, então, multiplicar o valor encontrado q pelo primeiro termo para 
obter o segundo; em seguida, multiplicar q pelo segundo termo para 
obter o terceiro e assim por diante até chegar ao último termo.
Exemplo
Para inserir 4 meios geométricos entre 3
2 e -48, devemos lembrar 
que no total são 6 termos, os 2 extremos e os 4 termos do meio, então 
n = 6. Sabemos que 3 a1= 2 e an = a6 = -48 , então basta aplicar a fór-
mula do termo geral:
a6 = a1 · q6-1
-48 = 3
2 · q5
96- = q5
3
-32 = q5
q = -2
Descobrimos que a razão é -2, então a P.G. é oscilante. Fazendo a 
interpolação, temos a P.G. , -3, 6, -12, 24, -483
2 .
81Estudo de progressão geométrica
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5 Soma dos termos de uma P.G.
As progressões geométricas podem ser finitas ou infinitas. Se a P.G. 
for finita, sempre conseguiremos calcular a soma dos seus termos, do 
contrário, se a P.G. for infinita, há um caso particular em que é possível 
encontrar a soma dos seus infinitos termos. A seguir, serão apresenta-
dos os dois casos.
5.1 Soma dos termos de uma P.G. finita
Considerando a P.G. finita (a1, a2, a3, a4, …, an) de razão q diferente 
de 1 e as relações existentes entre seus termos, a fórmula para a soma 
Sn dos seus n termos será desenvolvida, segundo Yamashiro e Souza 
(2014, p. 268), da seguinte forma:
Sn = a1 + a1 · q + a1 · q2 + ⋯ + a1 · qn-2 + a1 · qn-1 (1)
Multiplicando ambos os membros por q, obtemos:
q · Sn = a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ⋯ + a1 · qn-1 + a1 · qn (2)
Subtraindo (2) - (1), temos:
q · Sn - Sn = a1 · qn-a1
Colocando Sn em evidência no primeiro membro e a1 no segundo 
membro, temos:
Sn (q - 1) = a1(qn - 1)
Dividindo ambos os membros por (q - 1):
Sn =
a1(qn - 1)
q - 1 q ≠ 1
A fórmula apresentada fornece a soma dos n primeiros termos de 
uma progressão geométrica finita.
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IMPORTANTE 
Se a razão q for igual a 1, então a P.G. é constante e sua soma é dada 
por Sn = n · a1.
 
5.2 Soma dos termos de uma P.G. infinita
Considerando a P.G. infinita (a1, a2, a3, a4, …, an, …) de razão q entre -1 
e 1, a fórmula para a soma dos seus infinitos termos é:
S∞ =
a1
1 - q -1uma dependência entre duas gran-
dezas, ou seja, quando há uma associação entre elas e uma depende 
da outra.
Pense na seguinte situação:
Você já observou o visor da bomba de combustível quando foi abas-
tecer o veículo? No visor, há uma lacuna destinada ao preço do combus-
tível, que pode ser gasolina, etanol ou diesel. Geralmente, esse espaço 
já está preenchido com o preço vigente no momento. Há também uma 
lacuna para a quantidade em litros de combustível que sairá da bomba e 
entrará no veículo e outra lacuna para o total a pagar na moeda corrente.
Basicamente, o que acontece? Internamente, há uma programação 
que calcula o valor total a ser pago com base na quantidade de litros 
que sai da bomba.
Suponha que, em um posto de combustível, o valor da gasolina seja 
de R$ 4,20. À medida que o combustível sai da bomba, o total a pa-
gar vai sendo alterado. Se no visor estiver marcando 5 litros, o total a 
pagar será de R$ 21,00, se estiver marcando 10 litros, o total a pagar 
será de R$ 42,00, se estiver marcando 30 litros, o total a pagar será de 
R$ 126,00,	e	assim	por	diante.
Percebe-se que existe uma programação interna na bomba que cal-
cula 4,20 vezes o total de litros, ou seja, utiliza a fórmula R$ = 4,20 · litros.
Nessa	situação,	fica	evidente	que	o	total	a	pagar	depende	da	quan-
tidade de litros. Essa dependência pode ser entendida como função, 
pelo fato de que para cada quantidade de combustível há um único 
valor a pagar.
9O que é função?
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PARA PENSAR 
Já parou para pensar que em muitas situações do cotidiano existe uma 
relação de dependência? O valor pago em uma corrida de táxi depende 
da quantidade de quilômetros rodados, os descontos no holerite depen-
dem do valor bruto do salário, o valor a ser pago pelo frete de um pro-
duto depende do seu peso, etc. Pense em mais algumas situações nas 
quais a ideia de função se faz presente.
 
2 Conceito de função
Dados dois conjuntos não vazios A e B, chamamos uma função de A 
em B a relação que associa a cada elemento pertencente ao conjunto A 
um único elemento pertencente ao conjunto B.
Usamos a seguinte notação: f: A → B. Lemos: f é uma função de A em B.
Figura 1 – Conceito de função
x y
BA
f
Fonte: adaptado de Araujo et al. (2018, p. 59).
 • x ∈ A e y ∈ B;
 • x é a variável independente;
 • y é a variável dependente.
Dizemos que y está em função de x, então é comum usarmos a no-
tação y = f(x).
10 Funções e progressões M
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3 Tipos de representações
A função pode ser vista como um objeto matemático, que, por ser 
abstrato, só pode ser acessado por meio de suas representações. 
Assim, as funções podem ser representadas verbalmente pela lingua-
gem corrente, numericamente por tabelas, algebricamente por expres-
sões	ou	 fórmulas	 e	 visualmente	por	 conjuntos	ou	gráficos.	Algumas	
representações são mais naturais que outras dependendo do contexto. 
Conheça algumas delas a seguir.
3.1 Conjunto
Pelo conceito de função, vimos que devemos sempre pensar na as-
sociação de elementos de dois conjuntos, e estes podem ser represen-
tados por meio de diagramas de flechas ou entre chaves.
Acompanhe o exemplo: os conjuntos A e B estão relacionados de tal 
forma que cada elemento de A tem seu correspondente em B, sendo 
este o dobro de A.
Figura 2 – Função na forma de conjuntos
0 0
BA
5 8
10
-1 -1
-2
Ou	A = {-1, 0, 5} e B = {-2, -1, 0, 8, 10}. Assim, a função f será o 
conjunto R = {(-1, -2), (0, 0), (5, 10)}. 
11O que é função?
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3.2 Tabela
As tabelas são quadros dispostos em linhas e colunas com o objeti-
vo de trazer a informação de uma maneira organizada e rápida. Servem 
para expor e comparar dados. Você já deve ter se deparado com muitas 
tabelas em livros, revistas e mídias digitais.
É possível acompanhar o crescimento dos bebês por uma tabela 
desenvolvida	pela	Organização	Mundial	da	Saúde	(OMS).	Os	dados	da	
tabela 1 servem como parâmetro sobre o que é considerado saudável 
para bebês de até 6 meses de vida, acompanhe a seguir.
Tabela 1 – Crescimento de bebês
MENINOS MENINAS
IDADE (MESES) ALTURA (CM) IDADE (MESES) ALTURA (CM)
0 50 0 48
1 55 1 52
2 57 2 56
3 61 3 59
4 62 4 61
5 63 5 62
6 64 6 63
Fonte:	adaptado	de	OMS	(apud SARAIVA, 2020).
Nesta tabela, cada altura está associada à idade do bebê. Podemos 
então	afirmar	que	a	altura	está	em	função	da	idade.
3.3 Algébrica
É comum a utilização de fórmulas para representar uma função. Elas 
são	definidas	por	uma	regra	ou	uma	lei	de	formação.
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Por exemplo, a fórmula C(r) = 2πr representa o comprimento de 
uma circunferência em função do seu raio.
Outros	exemplos:	f(x) = 3x + 2, f(x) = x2 - 4 e f(x) = 2x.
Na representação algébrica, é possível calcular o valor numérico da 
função, que consiste em atribuir um valor à variável independente e en-
contrar o valor da variável dependente. No exemplo da circunferência, 
atribuindo valores ao raio r, chegamos ao valor do comprimento C da 
circunferência.	Ou,	ainda,	para	os	outros	exemplos,	se	atribuirmos	valo-
res a x, encontraremos os valores de f(x) ou y.
3.4 Gráfica
Os	gráficos	descrevem	a	função	geometricamente,	facilitando	a	vi-
sualização e favorecendo a compreensão da situação abordada.
O	gráfico	de	uma	função	f é o conjunto de todos os pontos (x, y) tra-
çados no plano cartesiano.
O	plano	cartesiano	é	formado	por	dois	eixos	perpendiculares	entre	si.	
O	eixo	horizontal	é	chamado	de	eixo	Ox, ou eixo das abscissas, e o eixo 
vertical é chamado de eixo Oy,	ou	eixo	das	ordenadas.	O	ponto	(0, 0) está 
localizado na intersecção dos eixos e é conhecido como origem. Cada 
ponto no plano é um par ordenado (x, y) (ARAUJO	et al., 2018).
13O que é função?
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Figura 3 – Exemplo de gráfico de função
4
3
2
1
0 1 2
x
y
-1-2
-1
Para	construir	gráficos,	dispomos	de	alguns	recursos	computacio-
nais como os softwares matemáticos Winplot, Geogebra, Graphmatica, 
entre outros. Alguns desses softwares estão disponíveis para rodar no 
computador e como aplicativos para smartphones.
IMPORTANTE 
Para confirmar se um gráfico representa uma função, temos o teste da 
reta vertical. Esse teste afirma que se uma reta paralela ao eixo Oy in-
terceptar o gráfico em um único ponto podemos definir y como uma 
função de x.
 
4 Domínio, contradomínio e imagem
Como já sabemos, a função é uma relação que associa elementos 
entre conjuntos. A seguir, serão apresentados três conjuntos que carac-
terizam uma função. Um deles contém o que podemos chamar de ele-
mentos de entrada da função e os outroscontêm os elementos de saída.
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4.1 Domínio
O	 conjunto	 domínio	 de	 uma	 função,	 ou	 simplesmente	 domínio,	 é	
o conjunto de todos os possíveis valores que podem ser atribuídos à 
variá vel independente x	(ADAMI;	DORNELLES	FILHO;	LORANDIL,	2015).	
Ou	seja,	é	o	conjunto	de	todos	os	valores	de	x para os quais a função 
está	definida.	De	forma	geral,	o	domínio	de	uma	função	é	o	conjunto	
dos números reais representado por R, porém com algumas restrições:
 • Não existe divisão por zero; assim, o denominador de uma função 
deverá sempre ser diferente de zero.
 • Não existe raiz par de número negativo; assim, o radicando de 
uma função com raiz par deverá sempre ser maior ou igual a zero.
 • Não existe logaritmando negativo ou zero; assim, o logaritmando 
de uma função logarítmica deverá sempre ser maior que zero.
4.1.1 Exemplos
a. Na função f(x) = x2 - 6x + 5, como não há restrição de domínio, 
ou seja, qualquer número real pode ser utilizado no lugar do x, di-
zemos que o domínio é o conjunto dos números reais e pode ser 
indicado pela notação D(f) = R.
b. Na função f(x) = x/(x - 3), devemos impor que o denominador 
seja diferente de zero. Assim, se x - 3 ≠ 0, temos x ≠ 3. Podemos 
utilizar algumas notações diferentes para esse resultado:
1. D(f) = {x ∈ R │ x ≠ 3} 
2. D(f) = R - {3} 
3. D(f) = (-∞, 3) ∪ (3, +∞)
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c. Na função , devemos impor que o radicando 
seja maior ou igual a zero. Assim, se 2x + 8 ≥ 0, temos x ≥ -4. 
Podemos utilizar as seguintes notações para esse resultado:
1. D(f) = {x ∈ R | x ≥ -4}
2. D(f) = [-4, +∞)
d. Na função f(x) = log(x - 2), devemos impor que o logaritman-
do seja estritamente maior que zero. Assim, se x - 2 > 0, te-
mos x > 2. Podemos utilizar as seguintes notações para esse 
resultado:
1. D(f) = {x ∈ R | x > 2}
2. D(f) = (2, +∞)
IMPORTANTE 
Nem sempre é suficiente observar apenas a representação algébrica 
da função, verificando se há alguma restrição para determinar o con-
junto domínio. Quando se trata de um problema concreto, é necessário 
também analisar seu contexto. Por exemplo, se o problema se referir à 
área de um quadrado, a área será dada em função do lado do quadra-
do A(l) = l2. Nesse caso, mesmo não havendo restrição algébrica, pelo 
contexto, apenas números positivos podem ser atribuídos ao l (lado do 
quadrado). D(A) = {l ∈ R | l > 0}.
 
4.2 Contradomínio e imagem
O	 contradomínio	 da	 função,	 ou	 simplesmente	 contradomínio,	 é	 o	
conjunto que contém os elementos que serão associados aos elemen-
tos x do domínio.
Já o conjunto imagem da função, ou simplesmente imagem, é o con-
junto de todos os elementos y obtidos por meio da associação com 
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os elementos x do domínio. Lembrando que para cada x (do domínio) 
há um único y	(imagem).	O	conjunto	imagem	está	contido	no	conjunto	
contradomínio. Im(f) ⊂ Cd(f), então Im(f) = {y ∈ Cd | y = f(x)}.
Figura 4 – Domínio, contradomínio e imagem
2 3
B
f lm(f)
A
3 5
2
4
1 1
D(f ) = A Cd(f) = B
5 Função injetora, sobrejetora e bijetora
Uma função é injetora sempre que tomarmos elementos distintos 
do domínio e suas imagens correspondentes também forem distintas 
entre si. Simbolicamente: x1 ≠ x2 e f(x1) ≠ f(x2).
Uma função é sobrejetora sempre que o conjunto imagem coincidir 
com o conjunto contradomínio, mesmo que elementos distintos do do-
mínio tenham a mesma imagem. Im(f) = Cd(f).
Uma função é bijetora sempre que ela for injetora e sobrejetora ao 
mesmo tempo, ou seja, para valores distintos de x, teremos valores distin-
tos para y e o conjunto imagem deve ser o mesmo que o contradomínio. 
Conforme	Larson	(2016,	p.	36),	“graficamente	uma	função	é	bijetora	se	
além de passar no teste da reta vertical passar também no teste da reta 
horizontal,	a	qual	deve	interceptar	o	gráfico	uma	única	vez”.
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Figura 5 – Classificação das funções
5
BA
7
3
6
8
5
4
-2
BA
2
-1
4
1
3
BA
4
2
2
1
0
Função injetora Função sobrejetora Função bijetora
6 Função inversa
Uma função f	só	admitirá	uma	inversa	se	ela	for	bijetora.	Obtemos	a	
função inversa f -1 invertendo a ordem dos elementos em cada par orde-
nado. Para isso, substituímos o x por y e o y por x na função f original e 
determinamos o novo y em função de x.
Para você entender melhor, considere a função y = x/3 - 2 de domí-
nio real. Desejamos determinar a sua função inversa; para isso, vamos 
inverter x e y.	Assim,	ficamos	com	x = y/3 - 2. Desenvolvendo os cál-
culos, chegamos à função inversa y = 3x + 6.
PARA PENSAR 
Será que a função y = x2 de domínio real admite uma inversa? Ela é bije-
tora? Faça a prova algebricamente e graficamente.
 
7 Função composta
Podemos criar funções a partir de funções já existentes, fazendo 
uma combinação entre elas por meio de operações como adição, sub-
tração, etc. Há em especial uma operação de composição de funções 
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cuja	 resultante	 chamamos	 de	 função	 composta.	 O	 processo	 ocorre	
quando substituímos a variável independente x de uma função g por 
outra função f. No caso, temos uma função dentro da outra.
Acompanhe	o	esquema	da	figura	6.
Figura 6 – Esquema da função composta
x f(x)
g°f 
g(f(x))
Fonte: adaptado de Machado (1988, p. 27).
É comum usarmos a notação g°f = g(f(x)).
Acompanhe o exemplo: 
Dadas as funções f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x - 1 
Vamos calcular a função composta g°f:
g°f = g(f(x)) = g(x2 + 2x) = 3(x2 + 2x) - 1 = 3x2 + 6x - 1
Agora vamos calcular a função composta f°g:
f°g = f(g(x)) = f(3x -1) = (3x - 1)2 + 2(3x - 1) = 9x2 - 6x + 1 + 6x - 2
f°g = 9x2 - 1
Note que g°f ≠ f°g, então a composição de funções não é comutativa.
Considerações finais
Neste	capítulo,	aprendemos	que	identificamos	uma	função	quando	
há uma relação de dependência entre duas grandezas e que uma fun-
ção entre dois conjuntos existe quando para cada elemento do primeiro 
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conjunto	há	um	único	correspondente	no	segundo.	Os	elementos	desse	
primeiro conjunto são chamados elementos de domínio, porque perten-
cem ao conjunto domínio, e os elementos da correspondênciasão as 
imagens da função.
Apresentamos várias formas de representação de funções, bem 
como	a	sua	classificação	em	injetora,	sobrejetora	e	bijetora.	Além	disso,	
foi	possível	perceber	que	algumas	funções	podem	sofrer	modificações,	
seja encontrando a sua inversa, seja fazendo uma composição com ou-
tras funções. 
Referências
ADAMI,	 Adriana	 Miorelli;	 DORNELLES	 FILHO,	 Adalberto	 Ayjara;	 LORANDIL,	
Magda Mantovani. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
ARAUJO,	 Luciana	 Maria	 Margoti	 et al. Fundamentos de matemática. Porto 
Alegre: SAGAH, 2018.
LARSON,	 Ron.  Cálculo aplicado: curso rápido. 2. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2016. 
MACHADO,	Antonio	dos	Santos.	Funções e derivadas. São Paulo: Atual, 1988. 
(Coleção Matemática Temas e Metas).
SARAIVA, Maria Laura. Veja qual é o tamanho e peso ideal do seu bebê de acor-
do	com	a	OMS.	Pais e Filhos, 22 jul. 2020. Disponível em: https://paisefilhos.
uol.com.br/familia/veja-qual-e-o-tamanho-e-peso-ideal-do-seu-bebe-de-acor-
do-com-a-oms/. Acesso em: 4 nov. 2020.
https://paisefilhos.uol.com.br/familia/veja-qual-e-o-tamanho-e-peso-ideal-do-seu-bebe-de-acordo-com-a-oms/
https://paisefilhos.uol.com.br/familia/veja-qual-e-o-tamanho-e-peso-ideal-do-seu-bebe-de-acordo-com-a-oms/
https://paisefilhos.uol.com.br/familia/veja-qual-e-o-tamanho-e-peso-ideal-do-seu-bebe-de-acordo-com-a-oms/
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Capítulo 2
Estudo da 
função afim
Neste capítulo, abordaremos um tipo específico de função: a função 
polinomial do primeiro grau, conhecida como função afim. Passaremos 
pelo conceito, conheceremos sua representação algébrica e gráfica e 
estudaremos seus interceptos com os eixos coordenados, crescimento 
e decrescimento e estudo do sinal.
22 Funções e progressões M
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1 Conceito da função afim
A função afim, também conhecida como função polinomial do pri-
meiro grau, é a função f: R → R que associa a cada número real x o 
número f(x) = ax + b.
Os números a e b são reais e a ≠ 0; o número a é conhecido como 
coeficiente angular e o número b como coeficiente linear da função. 
O domínio da função f(x) = ax + b é D(f) = R e o conjunto imagem 
é Im(f) = R.
Lembre-se de que y = f(x), então f(x) = ax + b pode ser escrita 
como y = ax + b.
IMPORTANTE 
Podemos destacar dois casos particulares da função afim. O primeiro 
ocorre quando b = 0, então a função se resume a y = ax e se chama 
função linear. O segundo caso, quando b = 0 e a = 1, a função fica y = x 
e se chama função identidade.
 
Além da representação algébrica, a função afim também pode ser 
representada por um gráfico.
2 Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau é sempre uma 
reta. Analise os gráficos 1, 2 e 3 da figura 1.
23Estudo da função afim
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Figura 1 – Gráficos de uma função polinomial do primeiro grau
2
1,5
1
0,5
0 0,5 1
x
-0,5-1
-0,5
4
3
2
1
0 1 2
x
-1-2
-1
3
2
1
-1
0 1 2
x
-1-2
-2
Gráfico 1 – Função afim
Gráfico 2 – Função linear Gráfico 3 – Função identidade
y
y y
O gráfico 1 da função polinomial do primeiro grau y = ax + b com 
a ≠ 0 é uma reta inclinada que intercepta o eixo das ordenadas no ponto 
(0, b).
O gráfico 2 da função linear y = ax com a ≠ 0 é sempre uma reta 
inclinada que passa pela origem do plano cartesiano.
24 Funções e progressões M
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O gráfico 3 da função identidade y = x com a = 1 é sempre a reta 
bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, é a reta que passa pela ori-
gem do plano cartesiano e exatamente na metade do primeiro e do 
terceiro quadrantes.
Para construir um gráfico, atribuímos valores à variável independen-
te x na função y = ax + b e calculamos os valores da variável depen-
dente y. Como dois pontos definem uma reta, bastam dois pontos para 
a construção do gráfico da função afim.
Em contrapartida, se tivermos o gráfico de uma função afim e qui-
sermos descobrir a lei matemática que gerou a reta, ou seja, quais os 
valores para a e b na função y = ax + b, devemos substituir os pon-
tos conhecidos na expressão algébrica da função, ficando, assim, com 
duas equação que deverão ser resolvidas por um sistema de equações 
lineares.
NA PRÁTICA 
Dados dois pontos de uma reta A(-1, 7) e B(2, 1), vamos encontrar a lei 
matemática que descreve algebricamente essa função.
Como é uma reta, sabemos que se trata de uma função na forma 
y = ax + b.
O primeiro passo é substituir os pontos na equação y = ax + b.
7 = a ·(-1) + b e 1 = a · 2 + b
Ficamos então com duas equações que serão resolvidas utilizando um 
sistema de equações lineares 
Você pode escolher qualquer método de resolução para esse sistema. 
Aqui resolveremos pelo método da substituição.
Fazendo b = 7 + a na primeira equação, substituímos b na segunda 
equação 2a + (7 + a) = 1.
3a + 7 = 1
3a = 1 - 7
25Estudo da função afim
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3a = -6
a = -2
Substituindo o valor de a em b = 7 + a, temos b = 7 + (-2) e, em se-
guida, b = 5.
Conhecidos os valores de a e b, temos a função y = -2x + 5 ou 
f(x) = -2x + 5.
 
3 Raiz
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que 
anula a função, isto é, torna f(x) = 0.
Algebricamente, fazendo ax + b = 0, a raiz é o valor de x tal que 
x = -b/a
Graficamente, a raiz é o local onde a reta intercepta o eixo das abs-
cissas no ponto (x, 0).
Acompanhe o exemplo:
Dada a função y = 2x - 2 para encontrar a raiz ou o zero da função, 
devemos tornar o y = 0, assim 0 = 2x - 2 que, resolvendo a equação do 
primeiro grau, resulta em x = 1.
Outra forma é utilizar a fórmula x = -b/a; nesse caso, x = -(-2/2) = 1.
Podemos conferir esse resultado graficamente conforme a figura 2. 
26 Funções e progressões M
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.
Figura 2 – Gráfico função afim y = 2x - 2
3
2
1
-1
0 1 2-1-2
-2
-3
x
y
4 Crescimento e decrescimento
Quando analisamos o gráfico de uma função qualquer, percebemos 
que ele pode ter intervalos no seu domínio os quais se aumentarmos os 
valores de x, os valores de y também aumentam, e há outros intervalos 
nos quais se aumentarmos os valores de x, os valores de y diminuem. 
No primeiro caso, dizemos que a função é crescente e no último, que a 
função é decrescente. Podemos generalizar da seguinte forma:A função será crescente no intervalo se quando x1 f(x2).
A função afim segue a mesma regra e ainda temos um método mais 
simples para sabermos se ela é crescente ou decrescente. Podemos 
27Estudo da função afim
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observar o sinal do coeficiente angular a, pois ele determina a inclinação 
da reta.
Se a > 0, a função será crescente. Se a - b
a
- b
a
raiz
0 x
y > 0
y - b
a
x 0
y 0)
3
2
1
-1
0 1 2 3 4 5-1
-2
Gráfico 2 – Função quadrática (a 0, confor-
me o gráfico 1, e a concavidade voltada para baixo se o a 0)
3
2
1
-1
0 1 2 3 4 5-1
-2
Gráfico 2 – Função quadrática (aen
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.
Conforme Araujo et al. (2018, p. 80): “A expressão sob a raiz quadra-
da, (b² - 4ac), é chamada de delta, ou representada pela letra grega ∆.”
Como se trata de uma função polinomial do segundo grau, a função 
terá no máximo duas raízes reais. A quantidade de raízes depende do 
valor obtido por ∆ = b² - 4ac, assim:
 • Se ∆ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas, ou seja, a 
parábola que representa a função intercepta o eixo Ox em dois 
pontos.
 • Se ∆ = 0, a função terá uma raiz dupla, ou seja, duas raízes reais 
iguais. A parábola que representa a função intercepta o eixo Ox 
em um único ponto.
 • Se ∆ 0, a função possui duas raízes reais distintas (3 e -3), que 
podem ser encontradas aplicando a fórmula de Bhaskara à equação do 
segundo grau ou fazendo x² = 9 e, em seguida, extraindo a raiz quadra-
da de ambos os membros da equação.
Exemplo 2: para calcular as raízes da função quadrática y = -x² + 2x - 1, 
fazemos -x² + 2x - 1 = 0. Pelo cálculo de ∆ = 2² - 4 · (-1) · (-1) = 0, 
verificamos que, como ∆ = 0, a função possui apenas uma raiz real, nes-
se caso 1, que pode ser encontrada aplicando a fórmula de Bhaskara.
Exemplo 3: para calcular a função quadrática y = 2x² - 4x + 3, fazemos 
2x² - 4x + 3 = 0. Pelo cálculo de ∆ = (-4)² - 4 · 2 · 3 = -12, verificamos 
35Estudo da função quadrática
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que, como ∆ 0), 
ela possui um ponto de mínimo e esse ponto é o vértice. Se a parábola 
tem concavidade voltada para baixo (a 0, o yv será o valor mínimo da função, então o conjunto ima-
gem será Im(f) = {y ∈ R | y ≥ yv}.
Se a 0 a x }
f(x) é decrescente para {x ∈ R | x x }
v
v 
v
y
c
x₁ x₂ x
v
y
c
x₁ x₂ x
v
Fonte: adaptado de Machado (1988, p. 21).
38 Funções e progressões M
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5 Estudo do sinal 
Da mesma forma como estudamos o sinal da função afim, estudar 
o sinal da função quadrática significa determinar para que valores x do 
domínio a imagem será positiva, negativa ou nula. 
O estudo do sinal dependerá do coeficiente a, das raízes e do valor de 
∆ = b² - 4ac. A figura 3 resume as seis situações possíveis.
Figura 3 – Estudo do sinal
a 0a > 0 e ∆ > 0
y > 0 para x x₂
y = 0 para x = x₁ ou x = x₂
y 0 para x₁ x₂
y
x₁ x₂y 0 y > 0
x0
y
x₁ x₂y > 0
y 0 e ∆ = 0
y = 0 para x = x₁ = x₂
y > 0 para x ≠ x₁
y = 0 para x = x₁ = x₂
y 0 para todo x real y 0 y > 0
x0
y
x₁ = x₂
y 0 y > 0
x0
y
y > 0 y > 0
x0
a > 0 e ∆da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
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a 0a > 0 e ∆ > 0
y > 0 para x x₂
y = 0 para x = x₁ ou x = x₂
y 0 para x₁ x₂
y
x₁ x₂y 0 y > 0
x0
y
x₁ x₂y > 0
y 0 e ∆ = 0
y = 0 para x = x₁ = x₂
y > 0 para x ≠ x₁
y = 0 para x = x₁ = x₂
y 0 para todo x real y 0 y > 0
x0
y
x₁ = x₂
y 0 y > 0
x0
y
y > 0 y > 0
x0
a > 0 e ∆curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
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O gráfico dessa função tem a aparência de uma escada, conforme 
mostrado a seguir. 
Gráfico 5 – Função máximo inteiro
y
x
y = x
y = ⌊x⌋
3
2
1
0 1 2-1-2
-2
3
-1
Fonte: adaptado de Thomas (2012, p. 5).
4 Funções definidas por várias sentenças
Segundo Thomas (2012, p. 5), “às vezes uma função é descrita 
utilizando-se fórmulas diferentes em partes diferentes de seu domínio”. 
Essa função também é conhecida como função definida por partes. 
Acompanhe um exemplo:
Para calcular cada imagem y, é necessário utilizar a fórmula especí-
fica para cada intervalo de x. Mesmo tendo várias fórmulas, a função é 
única, e seu domínio é o conjunto dos números reais.
A função anterior está representada graficamente a seguir.
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Gráfico 6 – Exemplo de função definida por várias sentenças
x
y
2
1
0 1 2-1-2
-1
A função modular e a função máximo inteiro são exemplos de fun-
ções definidas por várias sentenças.
Considerações finais
Neste capítulo, foi possível conhecer vários tipos de funções. As fun-
ções potência, aquelas do tipo f(x) = xn, que mudam de acordo com 
o expoente n. Dentre elas, a função cúbica, a função raiz quadrada e a 
função recíproca.
Também foi possível conhecer as funções definidas por várias senten-
ças ou por partes, que possuem fórmulas distintas em diferentes partes 
do seu domínio, como a função modular e a função máximo inteiro.
Referências
ADAMI, Adriana Miorelli et al. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015.
STEWART, James. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
THOMAS, George B. Cálculo: volume 1. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. 
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Capítulo 5
Estudo da função 
exponencial 
Neste capítulo, abordaremos a função exponencial. Estudaremos seu 
conceito, sua representação algébrica e gráfica, as propriedades da po-
tenciação e a resolução de equações exponenciais. Uma função expo-
nencial modela matematicamente vários fenômenos da natureza e da 
sociedade, como o crescimento populacional, o crescimento de seres 
vivos microscópicos e o decaimento radioativo, além de ter muitas outras 
aplicações, incluindo as de economia, como em juros compostos.
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1 Conceito da função exponencial
A função exponencial é a função f: R → R que associa a cada número 
real x o número f(x) = ax.
A base a possui algumas restrições: a > 0 e a ≠ 1.
A função f(x) = ax recebe o nome de função exponencial pelo fato de 
a variável independente estar no expoente.
O domínio da função exponencial é D(f) = R e o conjunto imagem é 
Im(f) = (0, +∞).
Lembre-se de que y = f(x), então f(x) = ax pode ser escrita como 
y = ax.
PARA PENSAR 
Você já se perguntou o porquê da base a ser diferente de 1? Que tipo de 
função seria se tivéssemos f(x) = 1x ?
 
2 Propriedades da potenciação
Chamamos de potência de base a e expoente n o número resultante 
do produto de n fatores iguais a a.
Conheça algumas propriedades imediatas e operatórias:
1. a0 = 1 (a ≠ 0)
2. a1 = a
3. am · an = am+n
51Estudo da função exponencial 
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4. am ÷ an = am-n (a ≠ 0)
5. (am)n = am∙n
6. (a · b)n = an · bn
7. (a ÷ b)n = an ÷ bn (b ≠ 0)
8. a-n = 1/an (a ≠ 0)
9. 
10. am = an se m = n
3 Equações exponenciais 
Quando a incógnita encontra-se no expoente de uma equação, ela 
é chamada de exponencial. Para resolver esse tipo de equação, basta 
reduzir ambos os membros a potências de mesma base utilizando as 
propriedades da potenciação.
NA PRÁTICA 
Acompanhe os exemplos 1, 2 e 3 de equações exponenciais:
Exemplo 1
2x = 64
2x = 26
x = 6
Exemplo 2
(1/9)x = 27
(1/32)x = 33
(3-2)x = 33
3-2x = 33
x = -3/2
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Exemplo 3
4x+3 · 8x-1 = 24x-1
(22)x+3 · (23)x-1 = 24x-1
22x+6 · 23x-3 = 24x-1
22x+6+3x-3 = 24x-1
5x + 3 = 4x - 1
x = -4
 
4 Gráficos
Com relação ao gráfico da função exponencial f(x) = ax, Flemming e 
Gonçalves (2006) destacam:
 • A curva que o representa está toda acima do eixo Ox, pois 
y = ax > 0 para todo x ∈ R.
 • A curva corta o eixo Oy no ponto (0, 1).
 • f(x) = ax é crescente se a > 1 (gráfico 1) e decrescente se 
0 1) Gráfico 2 – Função exponencial (0a 
da
 R
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decimal e t é o tempo em anos. Se a taxa r for maior do que zero, a função 
P(t) é de crescimento exponencial; se a taxa r for menor do que zero, a 
função P(t) é de decaimento exponencial. O fator de multiplicação, em 
ambos os casos, é a base da função exponencial (1 + r).
São vários os exemplos para crescimento exponencial, um deles é o 
modelo exponencial para juros compostos: o valor futuro de uma opera-
ção financeira, chamado montante M, é dado por M(t) = C · (1 + i)t, em 
que C é o capital inicial, i é a taxa de juros expressa como um número 
decimal e t é o tempo.
Um exemplo de decrescimento ou decaimento exponencial é o mo-
delo exponencial para o decaimento de uma substância radioativa: a 
quantia Q da substância presente em um instante t pode ser dada por 
Q(t) = Q0 · e-kt, em que Q0 é a quantia da substância no instante t = 0, e 
é o número de Euler e k é uma constante a ser determinada.
Considerações finais
Neste capítulo, aprendemos que a função exponencial é um tipo de 
função em que a variável independente x está no expoente. Sua repre-
sentação algébrica é f(x) = ax e sua representação gráfica é uma curva 
acima do eixo Ox que intercepta o eixo Oy no ponto (0, 1) e não inter-
cepta o eixo Ox. Se a base a for maior que 1, a função é crescente; e se 
a base a estiver entre 0 e 1, a função será decrescente.
Referências
DEMANA, Franklin D. et al. Pré-cálculo: gráfico, numérico e algébrico. 2. ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, 
derivação e integração. 6 ed. rev. e ampl. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
SAFIER, Fred. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
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Capítulo 6
Estudo da função 
logarítmica
Neste capítulo, abordaremos a função logarítmica. Passaremos por 
seu conceito e conheceremos sua representação algébrica e gráfica, as 
propriedades dos logaritmos e a resolução de equações logarítmicas.
A função logarítmica é a inversa da função exponencial de mesma 
base. Os logaritmos são amplamente utilizados em situações em que o 
modelo matemático é exponencial e não se consegue converter bases 
diferentes a uma mesma base.
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1 Conceito da função logarítmica
A função logarítmica é a função f: R+
* → R que associa a cada número 
real positivo x o número f(x) = logax.
A base a possui algumas restrições: a > 0 e a ≠ 1.
O domínio da função logarítmica é D(f) = R+
* e o conjunto imagem 
é Im(f) = R.
Lembre-se de que y = f(x), então f(x) = logax pode ser escrita como 
y = logax.
IMPORTANTE 
A função logarítmica f(x) = logax é a inversa da função exponencial 
g(x) = ax.
 
2 Logaritmo
Para Demana et al. (2013, p. 158), “um logaritmo está vinculado a 
uma potência, ou seja, é um expoente da potência”. Assim:
logab = c ⟺ ac = b
O c é o logaritmo de b na base a. O b é chamado de logaritmando.
A condição de existência dos logaritmos é: logab existirá se, e so-
mente se, 
IMPORTANTE 
Quando a base do logaritmo é 10, ele é chamado de logaritmo decimal 
e representado por log x, podendo-se omitir a base. O sistema de loga-
57Estudo da função logarítmica
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ritmos decimais foi desenvolvido por Henry Briggs, matemático inglês 
que publicou em 1617 a primeira tábua de logaritmos na base 10 para 
ser utilizada como instrumento no auxílio de cálculos numéricos (IEZZI 
et al., 2015). Atualmente, usam-se as calculadoras científicas que pos-
suem a tecla “log”, que calcula o logaritmo decimal de um número.
 
3 Propriedades dos logaritmos
As propriedades dos logaritmos resultam das propriedades corres-
pondentes da potenciação. Seguem algumas propriedades imediatas e 
operatórias:
1. loga 1 = 0 porque a0 = 1
2. loga a = 1 porque a1 = a
3. loga am = m porque am = am
4. alogab = b
5. logab = logac ⟺ b = c
6. loga(b · c) = logab + logac
7. loga(b/c) = logab - logac
8. logabm = m · logab
9. Mudança de base: logab = logcb/logca
4 Equações logarítmicas
Uma equação logarítmica é aquela em que a incógnita a ser desco-
berta está no logaritmando ou na base de um logaritmo. Para resolver 
esse tipo de equação, basta utilizar as propriedades dos logaritmos.
58 Funções e progressões M
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NA PRÁTICA 
Acompanhe os exemplos 1, 2 e 3 de equações logarítmicas:
Exemplo 1
log3x = 5
35 = x
243 = x
Exemplo 2
2 · log x = log(2x - 3) + log(x + 2)
log x2 = log[(2x - 3) · (x + 2)]
log x2 = log(2x2 + x - 6)
x2 = 2x2 + x - 6
x2 + x - 6 = 0
x = -3 ou x = 2. Apenas x = 2 é solução para a equação dada, pois, pela 
condição de existência dos logaritmos, x = -3 não é aceitável porque x 
é o logaritmando e este deve ser maior do que zero.
Exemplo 3
log2(log3x) = 2
22 = log3x
4 = log3x
34 = x
81 = x
 
5 Gráficos
Com relação ao gráfico da função logarítmica f(x) = logax, Flemming 
e Gonçalves (2006) destacam: 
 • A curva que o representa está toda à direita do eixo Oy. 
 • A curva corta o eixo Ox no ponto (1, 0).
 • f(x) = logax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 1) Gráfico 2 – Função logarítmica (0