Cálculo A - Aulas 1, 2 e 3

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AULAS 1, 2 e 3
Apresentação da disciplina e do plano de ensino
Breve resumo sobre Funções
Prof. Leonel Giacomini Delatorre
UFSM00036 – CÁLCULO A
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM
11, 13 e 15 de março de 2024
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 1 / 66
UFSM00036 - Cálculo A
EMENTA:
Limites e continuidade.
Derivada.
Regras de derivação.
Aplicações da derivada: Reta tangente, Taxas de variação, Máximos e
ḿınimos.
Integrais.
Integral indefinida.
Integral definida.
Teorema Fundamental do Cálculo.
Técnicas de integração.
Aplicações da Integral.
Integrais impróprias.
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UFSM00036 - Cálculo A
EMENTA:
Limites e continuidade.
Derivada.
Regras de derivação.
Aplicações da derivada: Reta tangente, Taxas de variação, Máximos e
ḿınimos.
Integrais.
Integral indefinida.
Integral definida.
Teorema Fundamental do Cálculo.
Técnicas de integração.
Aplicações da Integral.
Integrais impróprias.
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UFSM00036 - Cálculo A
EMENTA:
Limites e continuidade.
Derivada.
Regras de derivação.
Aplicações da derivada: Reta tangente, Taxas de variação, Máximos e
ḿınimos.
Integrais.
Integral indefinida.
Integral definida.
Teorema Fundamental do Cálculo.
Técnicas de integração.
Aplicações da Integral.
Integrais impróprias.
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UFSM00036 - Cálculo A
EMENTA:
Limites e continuidade.
Derivada.
Regras de derivação.
Aplicações da derivada: Reta tangente, Taxas de variação, Máximos e
ḿınimos.
Integrais.
Integral indefinida.
Integral definida.
Teorema Fundamental do Cálculo.
Técnicas de integração.
Aplicações da Integral.
Integrais impróprias.
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Processo Avaliativo
Constitúıdo por 3 (três) provas valendo 10 (dez) pontos cada:
Primeira Prova (P1): 26/04/2024.
Segunda Prova (P2): 07/06/2024.
Terceira Prova (P3): 12/07/2024.
Será considerado aprovado/a o/a discente cuja média semestral
MS =
P1 + P2 + P3
3
for igual ou superior a 7 (sete) pontos.
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Processo Avaliativo
Constitúıdo por 3 (três) provas valendo 10 (dez) pontos cada:
Primeira Prova (P1): 26/04/2024.
Segunda Prova (P2): 07/06/2024.
Terceira Prova (P3): 12/07/2024.
Será considerado aprovado/a o/a discente cuja média semestral
MS =
P1 + P2 + P3
3
for igual ou superior a 7 (sete) pontos.
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Processo Avaliativo
Exame (EX): 15/07/2024.
Nos casos em que a média semestral (MS) for inferior à 7 pontos e houver
(no ḿınimo) 75% de frequência, será permitido fazer uma prova de exame
(EX), para a qual será obtida uma Média Final
MF =
MS + EX
2
.
Se a Média Final (MF) for maior ou igual a 5 (cinco) pontos o/a discente
será considerado/a aprovado/a.
Em caso de não realização do exame, decorre imediatamente que EX = 0
(zero) e, portanto,
MF =
MS
2
.
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Processo Avaliativo
Exame (EX): 15/07/2024.
Nos casos em que a média semestral (MS) for inferior à 7 pontos e houver
(no ḿınimo) 75% de frequência, será permitido fazer uma prova de exame
(EX), para a qual será obtida uma Média Final
MF =
MS + EX
2
.
Se a Média Final (MF) for maior ou igual a 5 (cinco) pontos o/a discente
será considerado/a aprovado/a.
Em caso de não realização do exame, decorre imediatamente que EX = 0
(zero) e, portanto,
MF =
MS
2
.
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Bibliografia
Bibliografia Básica
ANTON, H.; BIVENS, l.; DAVIS, S. Cálculo. Sāo Paulo: Bookman, 2014,
v. 1.
STEWART, J. Cálculo. Sāo Paulo: Cengage Learning, 2016, v. 1.
THOMAS, G. B. Cálculo. Sāo Paulo: Addison Wesley, 2009, v. 1.
Bibliografia Complementar
GONÇALVES, M. B.: FLEMMING, D. M. Cálculo A. Sāo Paulo: Makron
Books, 2006.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1998, v.
1 e 2.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Anaĺıtica. Sāo Paulo: Makron
Books, 1994, v. 1.
SPIVAK, M. Calculus. Houston: Publish or Perish, 1994.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Anaĺıtica. Sāo Paulo:
Makron Books, 1994, v. 1.
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Bibliografia
Bibliografia Básica
ANTON, H.; BIVENS, l.; DAVIS, S. Cálculo. Sāo Paulo: Bookman, 2014,
v. 1.
STEWART, J. Cálculo. Sāo Paulo: Cengage Learning, 2016, v. 1.
THOMAS, G. B. Cálculo. Sāo Paulo: Addison Wesley, 2009, v. 1.
Bibliografia Complementar
GONÇALVES, M. B.: FLEMMING, D. M. Cálculo A. Sāo Paulo: Makron
Books, 2006.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1998, v.
1 e 2.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Anaĺıtica. Sāo Paulo: Makron
Books, 1994, v. 1.
SPIVAK, M. Calculus. Houston: Publish or Perish, 1994.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Anaĺıtica. Sāo Paulo:
Makron Books, 1994, v. 1.
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Links Úteis
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http://portal.ufsm.br/biblioteca/leitor/minhaBiblioteca.html
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Definições Iniciais
Definição: (Definição de Função)
Se A e B são conjuntos não vazios, dizemos que uma função f : A → B
é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um
único elemento de B. O conjunto A é chamado doḿınio de f e é
denotado por D(f ). B é chamado contra doḿınio de f e pode ser
denotado por CD(f ).
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Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
Então, f : A → B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A e B .
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Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
Então, f : A → B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A e B .
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 8 / 66
Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
Então,
g : A → B
x 7→ x + 1
é uma função de A em B . Podemos representar g em diagrama.
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Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
Então,
g : A → B
x 7→ x + 1
é uma função de A em B . Podemos representar g em diagrama.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 9 / 66
Exemplo:
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
Então, f : A → B dada pelo diagrama a seguir não é uma função de A em
B, pois o elemento 4 ∈ A tem dois correspondentes em B.
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Exemplo:
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
Então, f : A → B dada pelo diagrama a seguir não é uma função de A em
B, pois o elemento 4 ∈ A tem dois correspondentes em B.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULOA 11, 13 e 15 de março de 2024 10 / 66
Exemplo:
Estabeleça uma regra que corresponda os produtos do conjunto A com
valores do conjunto B, de forma que p determine uma função de preço.
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Exemplo:
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
Então,
g : A → B
x 7→ x − 3
não é uma função de A em B, pois o elemento 3 ∈ A não tem correspon-
dente em B. Veja:
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Exemplo:
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
Então,
g : A → B
x 7→ x − 3
não é uma função de A em B, pois o elemento 3 ∈ A não tem correspon-
dente em B. Veja:
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 12 / 66
Exerćıcio:
Verifique quais dos diagramas abaixo, representam funções.
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Valor numérico de uma função
Sejam os conjuntos A = {−1, 0, 1} e B = {0, 1, 2} e a função f : A → B
definida por f (x) = x + 1.
Denominamos valor numérico da função f (x) ao valor y que a função
assume quando se atribui um determinado valor à variável x .
Esse valor numérico y é chamado de imagem de x pela função f .
No caso de f (x) = x + 1, temos:
x f (x) = x + 1 Linguagem Utilizada
−1 f (−1) = −1 + 1 = 0 A imagem de −1 pela f é 0.
0 f (0) = 0 + 1 = 1 A imagem de 0 pela f é 1.
1 f (1) = 1 + 1 = 2 A imagem de 1 pela f é 2.
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Valor numérico de uma função
Sejam os conjuntos A = {−1, 0, 1} e B = {0, 1, 2} e a função f : A → B
definida por f (x) = x + 1.
Denominamos valor numérico da função f (x) ao valor y que a função
assume quando se atribui um determinado valor à variável x .
Esse valor numérico y é chamado de imagem de x pela função f .
No caso de f (x) = x + 1, temos:
x f (x) = x + 1 Linguagem Utilizada
−1 f (−1) = −1 + 1 = 0 A imagem de −1 pela f é 0.
0 f (0) = 0 + 1 = 1 A imagem de 0 pela f é 1.
1 f (1) = 1 + 1 = 2 A imagem de 1 pela f é 2.
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Exerćıcio:
Seja a função f : R → R definida por f (x) = 2x − 3. Calcule:
(a) f (2)
(b) f (−1)
(c) f (0)
(d) f
(
1
2
)
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Doḿınio, Contradoḿınio e Conjunto Imagem
Considere os conjuntos A = {0, 2, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função
f : A → B definida pela lei f (x) = x
2
.
Representando f por um diagrama de flechas, temos:
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Então, para uma função f de A em B definimos:
• Doḿınio é o conjunto de todos os elementos pertencentes ao conjunto
A. Indicamos esse conjunto por D(f ). No exemplo acima, D(f ) = A =
{0, 2, 4}.
• Contradoḿınio é o conjunto de todos os elementos pertencentes ao
conjunto B. Indicamos esse conjunto por CD(f ). No exemplo acima,
CD(f ) = B = {0, 1, 2, 3, 4}.
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Então, para uma função f de A em B definimos:
• Doḿınio é o conjunto de todos os elementos pertencentes ao conjunto
A. Indicamos esse conjunto por D(f ). No exemplo acima, D(f ) = A =
{0, 2, 4}.
• Contradoḿınio é o conjunto de todos os elementos pertencentes ao
conjunto B. Indicamos esse conjunto por CD(f ). No exemplo acima,
CD(f ) = B = {0, 1, 2, 3, 4}.
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• Conjunto Imagem é o conjunto formado pelos elementos de B que são
imagens dos elementos do doḿınio. Indicamos esse conjunto por Im(f ).
No exemplo, Im(f ) = {0, 1, 2}.
Observe que Im(f ) é um subconjunto de CD(f ), isto é, Im(f ) ⊂ CD(f ).
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {1, 3, 5, 7}, determinar o doḿınio,
contradoḿınio e conjunto imagem da função f : A → B definida pela lei
f (x) = 2x + 1.
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Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {−2, 1, 2}, B = {2, 3, 5} e a função f : A → B
definida por f (x) = x2 + 1. Determinar o(s) valor(es) de x em A que têm
imagem 5 pela função dada.
Exerćıcio:
Dada a função f : R → R definida por f (x) = ax+b, com a,b ∈ R, calcular
a e b, sabendo que f (2) = 8 e f (−2) = −4.
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Observação!
Ao estudarmos uma função f definida por uma lei de formação y = f (x)
em que o doḿınio não esteja indicado, devemos considerar como doḿınio
de f o conjunto dos valores de x para os quais sejam posśıveis realizar as
operações indicadas em y = f (x).
Quando o conjunto universo não for citado, assumiremos que é o conjunto
dos números reais (R).
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Exemplo:
Determinar o doḿınio das seguintes funções:
(a) f (x) = 5x + 1
Não há restrição para que as operações (adição/multiplicação) em y =
f (x) sejam posśıveis. Podemos efetuá-las para qualquer número real,
logo D(f (x)) = R.
(b) f (x) =
1
x − 1
A operação que está indicada é uma divisão. Então a condição que o
divisor (denominador) seja diferente de ZERO deve ser imposta. Isto
é,
x − 1 ̸= 0 ⇒ x ̸= 1
Assim, temos D(f (x)) = R− {1} ou {x ∈ R | x ̸= 1}.
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Exemplo:
Generalizando, quando a função é definida por uma expressão fracionária,
temos que:
O DENOMINADOR DEVE SER DIFERENTE DE ZERO.
(c) f (x) =
√
x − 4
A lei que define a função envolve uma raiz de ı́ndice par (2) e como a
raiz de ı́ndice par não é definida para números reais negativos
(PORQUÊ?), então o doḿınio é formado pelos valores de x tais que
x − 4 ⩾ 0, ou seja, x ⩾ 4. Portanto,
D(f ) = {x ∈ R | x ⩾ 4}.
Generalizando, quando uma função é definida por uma raiz de ı́ndice
par e essa raiz não está situada no denominador de uma função,
temos que:
O RADICANDO DEVE SER MAIOR OU IGUAL ZERO.
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Exemplo:
(d) 3
√
x = f (x)
Neste caso, não há restrições no radicando pois qualquer número real
tem raiz cúbica. Portanto, D(f ) = R para ráızes de ı́ndice ı́mpar.
(e) f (x) =
√
x + 2 +
√
x − 5
Devemos ter simultaneamente x + 2 ⩾ 0 e x − 5 ⩾ 0. Portanto,
D(f ) = {x ∈ R|x ⩾ 5}.
(f) f (x) =
1√
x + 1
Devemos ter x > −1. Portanto, D(f ) = {x ∈ R | x > −1}.
Generalizando, quando uma função é definida por uma raiz de ı́ndice
par e essa raiz não está situada no denominador de uma função, temos
que:
O RADICANDO (EM UM DENOMINADOR) DEVE SER PO-
SITIVO.
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Função Injetora (ou Injetiva)
Definição:
Uma função f : A → B chama-se injetiva quando quaisquer dois elementos
diferentes em A são transformados por f em elementos diferentes em B.
Ou seja, f é injetiva quando
x1 ̸= x2 em A ⇒ f (x1) ̸= f (x2)
Essa condição pode também ser expressa em sua forma contra-positiva:
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
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Exemplo:
Considere A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}. Verifique que f : A → B
dada por f (x) = x + 1 é uma função injetora.
podemos observar que se x1 ̸= x2, x1, x2 ∈ A temos f (x1) ̸= f (x2). Logo,
f é injetora.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de2024 25 / 66
Exemplo:
Considerando A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, a função
f : A → B dada por f (x) = x2 não é injetora.
Solução: A função f (x) = x2 pode ser representada por diagramas, da
seguinte forma:
Note que f não pode ser uma função injetora pois os elementos −2 e 2
(ou −1 e 1) são elementos distintos (diferentes) do doḿınio que possuem
a mesma imagem pela f .
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 26 / 66
Exemplo:
Considerando A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, a função
f : A → B dada por f (x) = x2 não é injetora.
Solução: A função f (x) = x2 pode ser representada por diagramas, da
seguinte forma:
Note que f não pode ser uma função injetora pois os elementos −2 e 2
(ou −1 e 1) são elementos distintos (diferentes) do doḿınio que possuem
a mesma imagem pela f .
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 26 / 66
Função Sobrejetora (ou Sobrejetiva)
Definição:
Dizemos que f : A → B é sobrejetora quando, para qualquer elemento
y ∈ B, pudermos encontrar (pelo menos) um elemento x ∈ A tal que
f (x) = y .
Exemplo:
Considere A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. Verifique que f : A → B dada
por f (x) = x + 1 é sobrejetora.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 27 / 66
Função Sobrejetora (ou Sobrejetiva)
Definição:
Dizemos que f : A → B é sobrejetora quando, para qualquer elemento
y ∈ B, pudermos encontrar (pelo menos) um elemento x ∈ A tal que
f (x) = y .
Exemplo:
Considere A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. Verifique que f : A → B dada
por f (x) = x + 1 é sobrejetora.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 27 / 66
Solução:
Em termos de diagrama, uma função é sobrejetora sempre que não “sobrar”
elementos em B.
Mais geralmente, f é uma função sobrejetora se CD(f)=Im(f).
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 28 / 66
Exemplo:
Considerando A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, a função f : A →
B dada por f (x) = x2 não é sobrejetora.
Solução: A função f (x) = x2 pode ser representada por diagramas, da
seguinte forma:
Note que f não pode ser uma função sobrejetora pois, por exemplo, o
elemento 2 ∈ B não tem elemento correspondente em A.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 29 / 66
Exemplo:
Considerando A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, a função f : A →
B dada por f (x) = x2 não é sobrejetora.
Solução: A função f (x) = x2 pode ser representada por diagramas, da
seguinte forma:
Note que f não pode ser uma função sobrejetora pois, por exemplo, o
elemento 2 ∈ B não tem elemento correspondente em A.
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Função Bijetora (ou Bijetiva)
Definição:
Uma função f : A → B é uma função bijetora quando f é injetora e
sobrejetora.
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Exerćıcio:
Indique quais das funções abaixo é injetora, sobrejetora ou bijetora:
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Algumas funções usuais...
A seguir vamos relacionar algumas funções que são amplamente utilizadas
no Cálculo Diferencial e Integral, bem como algumas operações que as
envolvem.
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Função Constante
É toda função do tipo f (x) = k, que associa a qualquer número real x um
mesmo número real k .
A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x ,
passando por y = k ;
O doḿınio da função f (x) = k é D(f ) = R;
O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f ) = {k}.
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Função Constante
É toda função do tipo f (x) = k, que associa a qualquer número real x um
mesmo número real k .
A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x ,
passando por y = k ;
O doḿınio da função f (x) = k é D(f ) = R;
O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f ) = {k}.
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Função Constante
É toda função do tipo f (x) = k, que associa a qualquer número real x um
mesmo número real k .
A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x ,
passando por y = k ;
O doḿınio da função f (x) = k é D(f ) = R;
O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f ) = {k}.
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Função Constante
É toda função do tipo f (x) = k, que associa a qualquer número real x um
mesmo número real k .
A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x ,
passando por y = k ;
O doḿınio da função f (x) = k é D(f ) = R;
O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f ) = {k}.
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Função Constante
Exemplo:
Consideramos a função constante f (x) = 2. Então, seu gráfico será:
−4 −2 2 4
1.8
2
2.2
2.4
x
y
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Função Constante
Exemplo:
Consideramos a função constante f (x) = 2. Então, seu gráfico será:
−4 −2 2 4
1.8
2
2.2
2.4
x
y
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Função Identidade
É a função f : R → R definida por f (x) = x .
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro qua-
drantes;
O doḿınio da função f (x) = k é D(f ) = R;
O conjunto imagem é Im(f ) = R.
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Função Identidade
É a função f : R → R definida por f (x) = x .
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro qua-
drantes;
O doḿınio da função f (x) = k é D(f ) = R;
O conjunto imagem é Im(f ) = R.
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Função Identidade
É a função f : R → R definida por f (x) = x .
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro qua-
drantes;
O doḿınio da função f (x) = k é D(f ) = R;
O conjunto imagem é Im(f ) = R.
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Função Identidade
É a função f : R → R definida por f (x) = x .
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro qua-
drantes;
O doḿınio da função f (x) = k é D(f ) = R;
O conjunto imagem é Im(f ) = R.
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Função Identidade
Exemplo:
Consideramos a função identidade f (x) = x . Então, seu gráfico será:
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
x
y
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Função Identidade
Exemplo:
Consideramos a função identidade f (x) = x . Então, seu gráfico será:
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
x
y
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Função Afim (ou Função do 1º Grau)
É toda função que associa a cada número real x , o número real ax + b,
em que a ̸= 0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de
coeficiente angular e linear.
Quando a > 0 a função f (x) = ax + b é crescente,isto é, à medida que
x cresce, f (x) também cresce. Quando a 0 a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que
x cresce, f (x) também cresce. Quando a 0 a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que
x cresce, f (x) também cresce. Quando a 0 a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que
x cresce, f (x) também cresce. Quando a 0 a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que
x cresce, f (x) também cresce. Quando a 0),
a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se a 0),
a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se a 0),
a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se a 0),
a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se aA intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado
vértice;
O doḿınio de f (x) = ax2 + bx + c é D(f ) = R.
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Função Quadrática
A intersecção da parábola com o eixo dos x define os zeros da função. No
quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades:
Figura: Cálculo A (Flemming, 2006)
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Função Quadrática
Exemplo:
Consideramos a função quadrática f (x) = x2 − 5x + 6. Então, seu gráfico será:
1 2 3 4 5
2
4
6
x
y
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Função Quadrática
Exemplo:
Consideramos a função quadrática f (x) = x2 − 5x + 6. Então, seu gráfico será:
1 2 3 4 5
2
4
6
x
y
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Função Polinomial
É a função f : R → R definida por
f (x) = an x
n + an−1 x
n−1 + . . .+ a2 x
2 + a1 x + a0
onde a0, a1, a2, . . . , an, an ̸= 0, são números reais chamados coeficientes e
n, inteiro não negativo, determina o grau da função.
O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar
pontos de máximos e ḿınimos. Posteriormente faremos esboços de
gráficos dessas funções com aux́ılio das derivadas;
O doḿınio da função polinomial é sempre D(f ) = R.
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Função Polinomial
É a função f : R → R definida por
f (x) = an x
n + an−1 x
n−1 + . . .+ a2 x
2 + a1 x + a0
onde a0, a1, a2, . . . , an, an ̸= 0, são números reais chamados coeficientes e
n, inteiro não negativo, determina o grau da função.
O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar
pontos de máximos e ḿınimos. Posteriormente faremos esboços de
gráficos dessas funções com aux́ılio das derivadas;
O doḿınio da função polinomial é sempre D(f ) = R.
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Função Polinomial
É a função f : R → R definida por
f (x) = an x
n + an−1 x
n−1 + . . .+ a2 x
2 + a1 x + a0
onde a0, a1, a2, . . . , an, an ̸= 0, são números reais chamados coeficientes e
n, inteiro não negativo, determina o grau da função.
O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar
pontos de máximos e ḿınimos. Posteriormente faremos esboços de
gráficos dessas funções com aux́ılio das derivadas;
O doḿınio da função polinomial é sempre D(f ) = R.
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Função Polinomial
Exemplo:
A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
A função f (x) = ax + b, a ̸= 0 é uma função polinomial do 1◦ grau.
A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , a ̸= 0 é uma função polino-
mial do 2◦ grau.
A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
A função f (x) = 5x5 − 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
Exerćıcio:
Elabore exemplos e esboce os respectivos gráficos para as funções acima.
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Função Polinomial
Exemplo:
A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
A função f (x) = ax + b, a ̸= 0 é uma função polinomial do 1◦ grau.
A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , a ̸= 0 é uma função polino-
mial do 2◦ grau.
A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
A função f (x) = 5x5 − 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
Exerćıcio:
Elabore exemplos e esboce os respectivos gráficos para as funções acima.
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Função Polinomial
Exemplo:
A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
A função f (x) = ax + b, a ̸= 0 é uma função polinomial do 1◦ grau.
A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , a ̸= 0 é uma função polino-
mial do 2◦ grau.
A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
A função f (x) = 5x5 − 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
Exerćıcio:
Elabore exemplos e esboce os respectivos gráficos para as funções acima.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 46 / 66
Função Polinomial
Exemplo:
A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
A função f (x) = ax + b, a ̸= 0 é uma função polinomial do 1◦ grau.
A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , a ̸= 0 é uma função polino-
mial do 2◦ grau.
A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
A função f (x) = 5x5 − 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
Exerćıcio:
Elabore exemplos e esboce os respectivos gráficos para as funções acima.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 46 / 66
Função Polinomial
Exemplo:
A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
A função f (x) = ax + b, a ̸= 0 é uma função polinomial do 1◦ grau.
A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , a ̸= 0 é uma função polino-
mial do 2◦ grau.
A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
A função f (x) = 5x5 − 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
Exerćıcio:
Elabore exemplos e esboce os respectivos gráficos para as funções acima.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 46 / 66
Função Polinomial
Exemplo:
A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
A função f (x) = ax + b, a ̸= 0 é uma função polinomial do 1◦ grau.
A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , a ̸= 0 é uma função polino-
mial do 2◦ grau.
A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
A função f (x) = 5x5 − 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
Exerćıcio:
Elabore exemplos e esboce os respectivos gráficos para as funções acima.
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Função Racional
É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é,
f (x) =
p(x)
q(x)
,
onde p(x) e q(x) são polinômios e q(x) ̸= 0.
O doḿınio da função racional é o conjunto dos reais, excluindo aqueles
x tais que q(x) = 0.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 47 / 66
Função Racional
É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é,
f (x) =
p(x)
q(x)
,
onde p(x) e q(x) são polinômios e q(x) ̸= 0.
O doḿınio da função racional é o conjunto dos reais, excluindo aqueles
x tais que q(x) = 0.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 47 / 66
Função Racional
Exemplo:
A função f (x) =
x − 1
x + 1
é função racional de doḿınio D(f ) = R\{−1}.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 48 / 66
Função Racional
Exemplo:
A função f (x) =
x − 1
x + 1
é função racional de doḿınio D(f ) = R\{−1}.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 48 / 66
Função Exponencial
Chamamos de função exponencial de base a, a função f de R em R que
associa a cada x real o número real ax , sendo a um número real, 0– CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 49 / 66
Função Exponencial
Chamamos de função exponencial de base a, a função f de R em R que
associa a cada x real o número real ax , sendo a um número real, 0 0 para todo x ∈ R;
corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);
f (x) = ax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 0 para todo x ∈ R;
corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);
f (x) = ax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 0 para todo x ∈ R;
corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);
f (x) = ax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 1 e decrescente se 0 1 e decrescente se 0 1 e decrescente se 0 1 e decrescente se 0o número real y = cos x , isto é,
f : R → R
x 7→ y = cos x .
O doḿınio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1].
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Funções Trigonométricas
Graficamente (função seno):
−6 −4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
x
y
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 58 / 66
Funções Trigonométricas
Graficamente (função cosseno):
−6 −4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
x
y
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 59 / 66
Funções Trigonométricas
Graficamente (funções seno e cosseno):
−6 −4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
x
y
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Funções Trigonométricas
Função Tangente: Definida como
tg(x) =
sen(x)
cos(x)
;
Função Cotangente: Definida como
cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
;
Função Secante: Definida como
sec(x) =
1
cos(x)
;
Função Cossecante: Definida como
cossec(x) =
1
sen(x)
.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 61 / 66
Funções Trigonométricas
Função Tangente: Definida como
tg(x) =
sen(x)
cos(x)
;
Função Cotangente: Definida como
cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
;
Função Secante: Definida como
sec(x) =
1
cos(x)
;
Função Cossecante: Definida como
cossec(x) =
1
sen(x)
.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 61 / 66
Funções Trigonométricas
Função Tangente: Definida como
tg(x) =
sen(x)
cos(x)
;
Função Cotangente: Definida como
cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
;
Função Secante: Definida como
sec(x) =
1
cos(x)
;
Função Cossecante: Definida como
cossec(x) =
1
sen(x)
.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 61 / 66
Funções Trigonométricas
Função Tangente: Definida como
tg(x) =
sen(x)
cos(x)
;
Função Cotangente: Definida como
cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
;
Função Secante: Definida como
sec(x) =
1
cos(x)
;
Função Cossecante: Definida como
cossec(x) =
1
sen(x)
.
Prof. Leonel Giacomini Delatorre (UFSM) UFSM00036 – CÁLCULO A 11, 13 e 15 de março de 2024 61 / 66
Funções Trigonométricas
Figura: Cálculo A (Flemming, 2006)
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Funções Trigonométricas
Exerćıcio:
Determinar o doḿınio das funções trigonométricas acima.
Exerćıcio:
Pesquisar sobre as funções trigonométricas inversas: Função Arco Seno,
Função Arco Cosseno, Função Arco Tangente, Função Arco Cotan-
gente, Função Arco Secante, Função Arco Cossecante.
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Funções Trigonométricas
Exerćıcio:
Determinar o doḿınio das funções trigonométricas acima.
Exerćıcio:
Pesquisar sobre as funções trigonométricas inversas: Função Arco Seno,
Função Arco Cosseno, Função Arco Tangente, Função Arco Cotan-
gente, Função Arco Secante, Função Arco Cossecante.
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Composição de Funções
Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f , denotada por
g ◦ f , é definida por
(g ◦ f ) (x) = g(f (x)).
O doḿınio de g ◦ f é o conjunto de todos os pontos x no doḿınio de f tais
que f (x) está no doḿınio de g . Simbolicamente,
D (g ◦ f ) = {x ∈ D(f ) : f (x) ∈ D(g)}.
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Composição de Funções
Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f , denotada por
g ◦ f , é definida por
(g ◦ f ) (x) = g(f (x)).
O doḿınio de g ◦ f é o conjunto de todos os pontos x no doḿınio de f tais
que f (x) está no doḿınio de g .
Simbolicamente,
D (g ◦ f ) = {x ∈ D(f ) : f (x) ∈ D(g)}.
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Composição de Funções
Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f , denotada por
g ◦ f , é definida por
(g ◦ f ) (x) = g(f (x)).
O doḿınio de g ◦ f é o conjunto de todos os pontos x no doḿınio de f tais
que f (x) está no doḿınio de g . Simbolicamente,
D (g ◦ f ) = {x ∈ D(f ) : f (x) ∈ D(g)}.
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Composição de Funções
Exemplo:
Sejam f (x) =
√
x e g(x) = x − 1. Encontrar g ◦ f .
Temos,
(g ◦ f ) (x) = g(f (x)) = g(
√
x) =
√
x − 1.
Como D(f ) = [0,+∞) e Im(f ) = [0,+∞) ⊂ D(g) = (−∞,+∞), então,
D (g ◦ f ) = D(f ) = [0,+∞).
Exerćıcio:
Sejam f (x) = 2x − 3 e g(x) =
√
x . Encontrar:
(a) g ◦ f
(b) f ◦ g
(c) f ◦ f
(d) g ◦ g
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Composição de Funções
Exemplo:
Sejam f (x) =
√
x e g(x) = x − 1. Encontrar g ◦ f .
Temos,
(g ◦ f ) (x) = g(f (x)) = g(
√
x) =
√
x − 1.
Como D(f ) = [0,+∞) e Im(f ) = [0,+∞) ⊂ D(g) = (−∞,+∞), então,
D (g ◦ f ) = D(f ) = [0,+∞).
Exerćıcio:
Sejam f (x) = 2x − 3 e g(x) =
√
x . Encontrar:
(a) g ◦ f
(b) f ◦ g
(c) f ◦ f
(d) g ◦ g
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FIM!
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	Definições Iniciais
	Valor numérico de uma função
	Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem de uma função