Operações com Matrizes

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Exercícios
19. Calcule:
a) 
5 7
9 4
 
6 2
5 8
b) 
0 1
2 5
4 1
 
11 17
0 2
3 4
c) 1 5 0 4 6 6 8 7
d) 
1 1 1
2 3 4
1 2 5
 
0 1 2
1 1 3
3 2 7
20. Sejam A 
12 1
9 5
 , B 
8 11
3 6
 e C 
2 4
10 7
. 
Determine as matrizes:
a) A B C 
b) A B C 
c) A (B C)
21. Sejam as matrizes A (a
ij
)
10 12
, em que a
ij
 2i j, e 
B (b
ij
)
10 12
, em que b
ij
 i j. Seja C A B, em 
que c
ij
 a
ij
 b
ij
. Determine os elementos:
a) c
78
 
b) c
10 12
22. As tabelas a seguir indicam o número de faltas de
três alunos (A, B e C) em cinco disciplinas (Português, 
Matemática, Biologia, História e Física, representadas 
por suas iniciais), nos meses de março e abril.
Março
P M B H F
Aluno A 2 1 0 4 2
Aluno B 1 0 2 1 1
Aluno C 5 4 2 2 2
Abril
P M B H F
Aluno A 1 2 0 1 3
Aluno B 0 1 1 3 1
Aluno C 3 1 3 2 3
a) Qual tabela indica o número de faltas desses
alunos no primeiro bimestre?
b) No primeiro bimestre, qual aluno teve o maior
número de faltas em Português? E em Matemá-
tica? E em História?
23. Resolva as seguintes equações matriciais:
a) X 
4 3
1 1
2 0
 
5 0
2 3
7 8
b) X 
1 4 7
2 5 3
 
1 2 11
3 4 1
c) 
1
2 1
0 2
 
3
2 4
3 7
 X 
1 3
2 4
24. Determine a matriz X, tal que (X A)t B, sendo:
A 
4 2
1 0
5 1
 e B 
1 2 4
5 6 0
Exercícios
25. Dada a matriz A 
1 2 3
3 5 1
 , obtenha as matrizes:
a) 4 · A b) 
1
3
 · A c) 2 · A
26. Sejam as matrizes A 
2 4
51
70
 e B 
3 2
61
89
.
Determine as seguintes matrizes:
a) 3A B b) A 3B
27. Sejam as matrizes A 
41 1
12 3
1 4 1
 e B (b
ij
)
3 3'
 
em que b
ij
 2i 3j. Determine as matrizes:
a) 3A 4B b) 2At Bt
28. Resolva a equação matricial:
7 2 1
6 4 3
 2 · X 
11 0 3
8 12 5
29. Dadas as matrizes A 
1
2
3
2
1
2
0
 , B 
4 3
21
 e 
C 
0
1
2
 
1
2
0
 , determine a matriz X que verifica a 
equação 2A B X 2C.
30. Determine a matriz X que satisfaz a equação:
2 · Xt A B, 
sendo A 
4 3 2
1 0 5 e B 
2 1 6
1 4 .3
Matrizes 
Exercícios
31. Determine, se existirem, os produtos:
a) 1 2
3 4
 2 3
2 1
b) 1 2
3 4
2 3 2 1
1 0 0 4
c) 2 1
0 3
1 2
1 4
2 4
d) 
3 4 1
5 6 1
7 8 1
2
3
4
e) 
5 0
1 3
1 1
2 2
3 2
1 5
f ) 
2
3
5
6 2 8 g) 4
3
1
0
32. Sejam as matrizes:
 A 
1 3
2 0
1 4
 , B 
2 1
3 1
 e C 
4
1
Determine, se existir:
a) A · B d) Bt · C
b) B · A e) B · At
c) A · C 
Exercícios
47. Verifique se 
2 5
1 3
 é a inversa de 
3 5
1 2
.
48. Determine, se existir, a inversa da matriz 
1 2
1 0
.
49. Determine, se existir, a matriz inversa de 
3 6
42
.
50. Qual é a inversa da matriz identidade de ordem 2?
3 2
1 1
 e B 
0 1
43
.
c) B 1 · A
51. Sejam as matrizes A 
Determine:
a) A 1 B 
b) A 1 · B 
52. A inversa de y 3
2 x
 é a matriz 
x x 4
1x 5
. 
 Determine x e y.
53. Mostre que a inversa de 
01 0
0 2 0
1 0 3
 é a matriz 
1 0 0
0
1
2 0
1
3 0
1
3
.
7 3
2 1
. Determine:54. Seja A 1 a inversa de A 
a) A A 1 b) (A 1)2 A2
55. (UC-GO) Determine x a fim de que a matriz
A 
1 2
0 x
 seja igual a sua inversa.
56. Qual é a inversa da matriz X 
01 2
0 3 0
2 0 1
 ?
57. Determine a matriz inversa de X 
1 2 3
0 1 4
0 0 1
 .
58. Seja A (a
ij
)
2 2
 onde a
ij
 log
2
 (i · j). Determine a
inversa de A.
Exercícios
21. Verifique se cada um dos sistemas abaixo está esca-
lonado.
a) x 3y 7
2y 5
 d) 
x 5y 3z 8
3y 7z 2
2y 5z 3
b) 3x 2y 11
x 3y 1
 e) 
3x 2y z t 1
3y z t 10
2z 3t 5
c) 
x y z 0
y z 5
2z 8
 f ) x y z 1
x y 3z 5
22. Resolva e classifique os seguintes sistemas escalo-
nados:
a) 3x 2y 5
y 7
 d) 
x y z 2t 5
y z 3t 3
2z t 4
3t 6
b) 
x y z 2
y z 1
2z 8
 e) x y 2z 7
y 2z 8
c) x y 2z 5
y 3z 2
 f ) 
4x y 2z 1
5y z 0
0 · z 5
23. O sistema
a b c
2b c
3c
 , nas incógnitas a, b e c, 
é possível e determinado e sua solução é ( 1, 2, 2). 
Determine os valores das constantes reais , e 
24. Considere o problema: “a diferença entre dois nú-
meros reais é igual a 8”.
a) Represente esse problema por meio de um siste-
ma linear.
b) Apresente ao menos quatro soluções desse sis-
tema.
c) Classifique esse sistema, obtendo também sua
solução geral.
25. Dê algumas soluções do sistema {x y z 3. Em 
seguida, apresente sua solução geral.
26. Uma das soluções de x y z 2
y 2z m
 é (1, 1, 0). 
Determine o conjunto solução desse sistema.
Exercícios
34. Calcule os seguintes determinantes:
a) 7 d) 42
0 3
b) 92
73
e) 
1
2
1
3
3 4
c) 1 1
2 2
f ) a a
a a
 (a )
35. Sejam A 34
21
 e B 1 0
31
.
Calcule o determinante das seguintes matrizes:
a) A B b) A 2B c) A · B
36. Seja A (a
ij
)
2 2
, em que a
ij
 4i 3j. Calcule det A.
37. Resolva, em , a equação 
x 3
x 2 x 2 8.
38. Calcule o valor de cada um dos seguintes determi-
nantes:
a) 
3 2 1
21 5
1 01
 c)
10 3
2 4 5
0 3 1
b) 
1 1 2
75 4
01 1
0 d)
1 2 4
3 9
00 5
a) det A 
39. Seja A (a
ij
)
3 3
, em que a
ij
 (i j)2. Obtenha o valor 
de:
b) det At
40. Sejam as matrizes A (a
ij
)
3 3
, em que
a
ij
 1, se i j
2, se i j
, e B (b
ij
)
3 3
, em que
b
ij
 1, se i j
 1, se i j
. Calcule det A, det B, det (A B) 
e det (A · B).
Sistemas lineares 
41. Determine o valor de:
y 11 7
3 2
 4 5
2 3
42. Resolva, em , as seguintes equações:
a) 
x 0 1
2x x 2
3 2x x
 0 b) 
1 2 x
1 x x 1
3 2 x
 6
43. Resolva, em , as inequações:
a) 
x x 2
4 3
 x
b) 
6 1 5
x 0 1
1 3 2
 
1 2 1
0 x 4
0 0 6
44. Seja a matriz A tal que A 2 · I
2
 0
2 2
. Qual é o valor 
de det A?
45. Qual é o valor de D sen 8° cos 8°
cos 8° sen 8°
?
46. O determinante da matriz
1 0 m
3 1 4
n 2 5
 é igual a 27. 
Determine os valores de m e n, sabendo que m
n
 2.
47. Sejam D
1
 o determinante da matriz 2 3
4 a
 e D
2
 o 
determinante de 
1 a 1
0 3 4
a 3 2
. Para que valores reais 
de a tem-se D
1
 2D
2
 0?
Exercícios
48. Resolva, usando a Regra de Cramer:
a) x 4y 0
3x 2y 5
b) 2x y 2
x 3y 3
c) 5x 4y 6
x y 1
49. Resolva, usando a Regra de Cramer:
a) 
3x y z 1
2x 3z 1
4x y 2z 7
 c) 
x y z 1
x y z 1
2x 3y 2z 0
b) 
x y z 5
x 2y 4z 4
3x y 2z 3
Exercícios
1. Calcule os seguintes determinantes:
2. Resolva, em , a equação:
0x 1 2
00 11
3 211
2111
 31
3. Resolva, em , a equação:
2 011
x1 01
0 0 x 1
033 x
 
x 1
13 x
4. Calcule, em função dos números reais a, b, c e d, o
valor do determinante da matriz
a0 1 0
1 b 1 1
2 c 0 1
0 d 1 0
5. Calcule
33 2 24
50000
0000 4
0 55 35
00 1 1 2
apêndice A
0
1 3
3
0000
0000
00
0000
2
1
0000
1
4
a) 
1 4 1 1
2 0 4 3
5 0 2 1
–3 0 7 –1
c) 
5 1 8 6
0 3 7 5
0 0 2 2
0 0 0 –2
b) 
–2 3 1 7
0 –1 2 0
3 –4 5 1
1 0 –2 –1
d) 
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
Matrizes 
Exercícios
19. a) 11 5
14 12
b) 
11 16
2 7
1 5
c) 5 1 8 3
d) 
1 0 1
1 2 1
2 0 2
20. a) 22 16
22 18
b) 6 6
16 6
c) 2 14
4 8
21. a) 21
b) 30
22. a) P M B H F
Aluno A 3 3 0 5 5
Aluno B 1 1 3 4 2
Aluno C 8 5 5 4 5
b) C; C e A.
23. a) X 
1 3
1 2
5 8
b) X 0 6 18
5 9 2
c) X 1 2
1 13
24. X 
3 3
1 6
1 1
25. a) 4 8 12
12 20 4
b) 
2
3
11
3
1
5
3
 
1
3
c) 2 4 6
6 10 2
26. a)
9 10
2 21
9 29
b) 
7 10
4 13
27 17
27. a)
1 4 25
10 5 11
15 12 9
b) 
3 3 1
12 4 8
9 11 5
28. 9 1 1
1 4 4
 
29. 5 5
3 2
 1
3 1
2
4 1
30. X
31. a) 2 5
2 13
b) 10 9
0 3 2
6 19
7
c) Não existe.
d) 
2
4
6
e) 
15 10
0 17
4 3
8 6
f ) 
12 4 16
18 6 24
30 10 40
g) Não existe.
32. a)
11 4
4 2
10 3
1
8
b) Não existe.
c) 
8
d) 5
3
e) 5 4 2
6 6 1
46.
47. sim
48.
10
1
2
 
1
2
49. Não existe.
1 0
0 1
50. I
2
 
51. a) 1 1
4 7
b) 
6 7
9 11
c) 
 
3
11 7
3
3 2
52. x 7 e y 1
54. a)
8 6
4 8
 b) 
38 0
0 38
55. x 1
56. 
1
3
0 2
3
0
1
3
0
2
3
0 
1
3
57. 
1 2 5
0 1 4
0 0 1
58. A 1 2 1
1 0
Sistemas lineares 
Exercícios
20. a) m 1
b) m 3
c) m 3
21. a, c e e estão escalonados
22. a) S {( 3, 7)}; SPD
b) S {(3, 3, 4)}; SPD
c) S {( 7,2 3 , ); }; SPI
d) S {(6, 0, 3, 2)}; SPD
e) S {(15,8 2 , ); }; SPI
f ) S ; SI
23. 3, 2, 6
24. a) x y 8
b) pessoal
c) SPI;S {(8 y, y); y }
25. Possíveis soluções: (0, 0, 3); (1, 1, 
1);( 4, 5, 2); (2, 1, 0); etc.
Solução geral: S {(3 , , ); 
 e }
26. S {( 1, 2 1, ); }
 
c) 4
d) 6
34. a) 7
b) 13
35. a) 1 b) 13 c) 33
36. 12
37. S {1, 2}
38. a) 22 b) 2 c) 1 d) 15
39. a) 8 b) 8
40. det A 1; det B 4;
det (A B) 0; det (A · B) 4
41. 1
42. a) S {0, 3 , 3 } b) S {1}
43. a) S {x |x 4}
b) S {x |x 1}
44. 4
45. 1
46. m 14 e n 7 ou m 2 e n 1
47. a 0 ou a 1
48. a) S 2, 
1
2
b) S 
3
5
, 
4
5
c) S {(2, 1)}
49. a) S {(1, 1, 1)} c) S {(2, 2, 1)}
b) S {( 2, 3, 0)}
 
apêndice A
1. a) 452
b) 3 
c) 60
d) 48
2. x 
23
4
3. x 2
4. 3 · (d a)
5. 225