DOC-20250318-WA0026. (2)

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1ª Lista de Exercícios 
Sistemas Lineares 
 
 
1) Resolva os sistemas abaixo: 
 
a) x1 + x2 + 2x3 = 8 
-x1 - 2x2 + 3x3 = 1 S={(3,1,2)} 
3x1 - 7x2 + 4x3 = 10 
 
b) 2x – 3y + 5z – 2t = 9 
 5y – z + 3t = 1 S={(3, -2, 1,4)} 
 7z – t = 3 
 2t = 8 
 
 
2) Ache a solução geral do sistema escalonado: 
 
x – 2y – 3z + 5s – 2t = 4 
 2z – 6s + 3t = 2 S={(4α+2β+2, β, -2+3α, α, 2), α, β R} 
 5t = 10 
 
 
3) Resolver por escalonamento: 
 
a) 5x - 2y + 2z = 2 
 3x + y + 4z = -1 
 4x – 3y + z = 3 
 
b) x – 2y + z = 7 Para conferir a resposta encontrada 
2x - y + 4z = 17 basta substituir os valores nas equações. 
3x – 2y +2z = 14 Todas as equações serão verdadeiras. 
 
c) 2x – 5y + 3z – 4s + 2t = 4 
3x – 7y + 2y – 5 s + 4t = 9 
5x – 10y – 5z – 4s + 7t = 22 
 
 
 
4) Determinar os valores de a e b que tornam o sistema abaixo seja possível e determinado. 
Em seguida, resolver o sistema. 
 
 3x – 7y = a 
 x + y = b Resp: x = 3 e y = 1 
 5x + 3y = 5a + 2b a = 2 e b = 4 
 x + 2y = a + b – 1 
 
 
 
 
 
5) Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. 
Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas de insumo A e 1 grama do 
insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para 
cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos 
produtos X, Y e Z é de R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de 
toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 Kg de B, essa 
indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e 
Z foram vendidos. 
 
(Dica: monte um sistema de equações que represente a situação e resolva-o de modo a 
encontrar os valores das incógnitas X, Y e Z). 
 
Resp: Foram vendidos 500 kg do produto X, 300 kg do produto Y e 200 kg do produto Z. 
 
 
 
Resolva por cramer e escalonamento 
1. 





=−+−
=−+−
=+−
523
1352
032
zyx
zyx
zyx
 
2. 





−=−
−=+−
=−+−
1652
753
2242
zx
zyx
zyx
 
 
3. 





=−+−
−=−+
−=+−
343
12
42
zyx
zyx
zyx
 
 
4. 





=−+−
−=+
=−−
32
2
13
zyx
zx
zyx
 
 
 
5. 







−=+−−−
=−+−
−=++−−
−=+−+
643
22
22
5
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes 
 
1) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. 
 
2) Construa as seguintes matrizes: 
A = (aij)3x3 tal que aij = 




=
ji ,0
ji ,1
se
se
 
B = (bij)3x3 tal que bij = 



=
+
ji se 3j,-i
ji se2j, i
 
3) Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = 




=
ji ,
ji ,1
2 sei
se
 
 
4) Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = 



−
=+
ji ,22
ji ,
ji
seji
, então a22 + a34 é igual a: 
 
5) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij 
= 4 + 3i –i. 
 
6) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da 
diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3. 
 
7) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij = 




+
ji ,.
ji ,
seji
seji
, determine a soma dos 
elementos a23 +a34. 
 
8) Seja a matriz A = (aij)5x5
 tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos 
da diagonal principal dessa matriz. 
 
9) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij 
= 2i2 – 7j. 
 
10) Determine a e b para que a igualdade 






 +
7 10
b 4 3a
= 





7 10
b 2a
seja 
verdadeira. 
 
11) Sejam A = 










2 0
1- 4
3 2
e B = 









−
5 8
1- 7
0 2
, determine (A + B)t. 
 
12) Dadas as matrizes A = 





2- 4
1 3
e B = 




 +
2- 1
y- xyx
, determine x e y para 
que A = Bt. 
 
 
13) Resolva a equação matricial: 










−+









−
2 2 4
3 5 1
2 5 3
2- 1- 1
7 2 0
5 4 1
= x + 










− 5 9 1
3- 1- 8
2 7 2
. 
 
14) Determine os valores de x e y na equação matricial: 






−
−
=





−
−
+





4 3
2 1
.2
5 7
4- 4
3 
 x2
y
. 
 
15) Se o produto das matrizes 










=











−
1
2 0 1
1- 1 0
.
1 1
0 1
y
x
é a matriz nula, x + y é 
igual a: 
 
16) Se 





=











2
1
.4.
3 1
1- 3
y
x
, determine o valor de x + y. 
 
17) Dadas as matrizes A = ,
5- 2
3 0






 B = 




−
1- 0
4 2
e C = 





− 0 6
2 4
, calcule: 
 
a) A + B b) A + C c) A + B + C 
 
18) Dada a matriz A = 










2- 1 0
4 3 2
0 1- 1
, obtenha a matriz x tal que x = A + At. 
19) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule 
A + B. 
 
20) Determine os valores de m, n, p e q de modo que: 






=





+





5 1
8 7
3q- 
n-n 
p 
2m 
qp
m
. 
 
21) Determine os valores de x, y, z e w de modo que: 





−
=




−
−





5- 8
0 1
1- 4
3 2
 w
y 
z
x
. 
 
22) Dadas as matrizes A = 





− 4 3
1 2
, B = 





5 2
1- 0
e C = 





1 6
0 3
, calcule: 
 
a) A – B b) A – Bt – C 
 
 
 
23) Dadas as matrizes A = 





8 2 6
2- 4 0
, B = 




−
0 6- 12
9 6 3
e C = 





2 1- 1
0 1- 0
, 
calcule o resultado das seguintes operações: 
a) 2A – B + 3C b) 





+− CBA
3
1
2
1
 
 
24) Efetue: 
a) 





−





− 2
3
.
4 1
3- 5
 b) 











− 3 0
1- 2
.
4 1
2 5
 c) 




















2 1 2
2 2 1
1 2 2
.
1 1 0
0 1 1
0 0 1
 
 
 
 
25) Dada a matriz A = 










1 0 0
0 0 1
0 1- 2
, calcule A2. 
26) Sendo A = 





1 5
2 3
 e B = 





0 2
1- 3
e C = 





4
1
, calcule: 
a) AB b) AC c) BC 
 
27) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 
4j e bij = -4i – 3j. Sabendo que C A + B, determine C2. 
 
 
28) Calcule os seguintes determinantes: 
a) 





3- 1
8 4-
 b) 








7- 3
3 8
 c) 










− 8 3 1
6 4 3-
9- 6 4-
 
 
29) Se a = 
4 3
1 2
−
, b = 
1 3
7 21
−
 e c = 
3 5
2- 1-
, determine A = a2 + b – c2. 
 
30) Resolva a equação 
 x5
x x
= -6. 
 
31) Se A = 





4 3
3 2
, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª. 
 
 
32) Sendo A = 





33 b 
b a
a
, calcule o valor do determinante de A e em seguida 
calcule o valor numérico desse determinante para a = 2 e b = 3. 
 
33) Calcule o valor do determinante da matriz A = 










3 1 2
6 7 5
0 1- 4
 
 
34) Resolva a equação 
2- 
1 4
2- 1 3 
5 1 
3 2 1
x
x
x
=
+
 
 
35) Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At. 
 
36) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 
500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da 
criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo 
determinante da matriz A, em que: 
3
22 0
x- 0 3
1 1- 1
, com base na fórmula p(x) = det A, 
determine: 
 
a) o peso médio de uma criança de 7 anos 
b) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg. 
 
 
37) Calcule o valor do determinante da matriz A= 





sen x- x cos
 xcos- x sen
. 
 
38) Resolva a equação 
1- 1 - 
1 3 
x
= 3. 
 
39) Se A = 





5 4
1- 2
, calcule o valor do determinante de 





− A
A
2
7
2
. 
 
40) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 
2x1 e 21  i . Determine o determinante de A. 
 
 
41) Determine o determinante da seguinte matriz 
1 2 0
 x1- 3
1 2x 
. 
 
42) Dada a matriz A = 
2 1 0
5 4 1-
3 2 1
e a = det A, qual o valor de det (2A) em função 
de a? 
 
43) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At. 
 
44) Calcule os determinantes das matrizes A = 










− 7- 1- 2
4 3 1- 
2 0 1 
 e B = 










7- 6- 1
2 4- 3
0 0 1
, usando o teorema de Laplace. 
 
45) Resolva as equações: 
 
a) 
7 5
2x x +
= 0 b) 
 x5
x x
= 0 c) 
1- x1
5 3x +
 = 0 
 
 
46) Sabendo – se a = 
1 5
2 3-
−
e b = 
10 4
6 2
, calcule o valor de 3a + b2. 
47) Dada a matriz A = 
3 1
4 2
, calcule: 
a) det A b) det A2 
 
48) Determine o valor de cada determinante: 
a) 
4 3 2
3 1 4
5 2 3
 b) 
5 2- 4
1 3 2-
0 3 0
 c) 
0 3 4
1 1 1
0 2 2
 
 
49) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P = 












2 2 0
1- 1 2
1 1- 2
. 
 
50) Na matriz 










9 3- 1
4 2 1
 x x1 2
, calcule: 
a) seu determinante 
b) os valores de x que anulam esse determinante 
 
 
51) Determine em IR a solução da equação: 
2 1 3
1- 2- 1-
 x x 2
= 8 – log8
4. 
 
52) Sabendo que a = 
2 2
3 1
e b = 
3 1 1
1 2 2
1 3 1
, efetue a2 – 2b. 
 
53) Determine a solução da equação: 
x- 2
8 x 3
−
= 0. 
 
54) Determine o determinante da matriz 





− sen x 2 x 2
 xcos sen x 
co
. 
 
55) Resolver a equação 
4 4 
4 x x 
 xx x 
x
= 0 
 
56) Resolva as equações: 
 
a) 
2 1 3
 x4 2
1 4 2
= 0 b) 
3- x 2
 x 1 0
2- 3 2
= 2 c) 
1- x2 
1 x 3 
 x3 1
x
x +
= 0