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Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Lista II - Matemática I - 2024.2
Para a função abaixo, responda o que se pede.
f(x) =
x4 + 15x3 − 64x2 + 86x− 52
x2 − x− 2
1. (0, 33̄ pts) Encontre as assíntotas verticais de f .
2. (0, 33̄ pts) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f .
Dica: Se você derivou corretamente, x = −4 é uma das raízes do polinômio no numerador.
3. (0, 33̄ pts) Quais são os pontos de máximo e mínimos locais?
4. (0, 33̄ pts) Agora, limitando a função ao intervalo [0, 3], encontre os pontos de máximo e
mínimo globais.
5. (0, 33̄ pts) Mostre que essa função não tem uma assíntota oblíqua.
Na verdade, essa função tem uma assíntota parabólica na forma y = ax2+ bx+ c. A seguir,
vamos encontrá-la de três formas diferentes.
6. * (0,5 pts) Pode-se mostrar que os coeficientes da parábola são determinados pelos limites
abaixos. Calcule-os:
a = lim
x→∞
[
f(x)
x2
]
b = lim
x→∞
[
f(x)− ax2
x
]
c = lim
x→∞
[
f(x)− ax2 − bx
]
Suponha que você efetue a divisão entre polinômios do numerador (p(x)) e numerador (q(x)):
p(x) q(x)
r(x) d(x)
onde r(x) é o resto, d(x) é o quociente, q(x) o divisor e p(x) o dividendo. Então podemos
escrever
f(x) =
p(x)
q(x)
= d(x) +
r(x)
q(x)
.
7. * (0,5 pts) Encontre d(x) e verifique que é o mesmo polinômio encontrado no item anterior.
Além disso, mostre que
lim
x→∞
r(x)
q(x)
= 0.
Agora vamos aproximar o comportamento da função no infinito usando polinômios de Taylor
e verificar que encontramos a mesma parábola. Uma das condições para que o polinômio de
Taylor forneça uma boa aproximação é a de que o ponto x0 esteja próximo do valor x que
desejamos aproximar. No nosso caso, x = ∞; então, como poderíamos escolher x0 = ∞? A
ideia é aproximar o denominador na variável 1/x, pois assim, ao tomarmos x0 = ∞, 1/x0 → 0
e sobram apenas potências de x, já que qualquer termo na forma 1/xn, com n > 0, torna-se
arbitrariamente pequeno à medida que x aumenta.
Vamos fazer um exemplo. Você pode escrever, usando o método do problema anterior, a
função f abaixo de duas formas diferentes:
f(x) =
x2 + 8x+ 5
x+ 1
=x+ 7− 2
x+ 1
.
A última forma deixa claro qual é a assíntota oblíqua da função, já que o segundo termo é
insignificante frente ao primeiro quando x → ∞. Agora vamos obter novamente essa reta com
polinômios de Taylor no infinito. Como mencionado, a ideia é expandir a função em 1/x; vamos
fazer isso com o denominador. O primeiro passo é fatorar x de forma a surgir 1/x:
f(x) =
x2 + 8x+ 5
x+ 1
=
x2 + 8x+ 5
x(1 + 1
x
)
=
x2 + 8x+ 5
x
1
(1 + 1
x
)
=
(
x+ 8 +
5
x
)
1[
1−
(
− 1
x
)] .
O denominador nos lembra bastante a soma geométrica:
1
1− y
= 1 + y + y2 + y3 + . . . (1)
Cuja aplicação ao nosso caso (y = −1/x) nos leva a
1[
1−
(
− 1
x
)] = 1 + (−1
x
) + (−1
x
)2 + (−1
x
)3 + . . .
Voltando à expressão para f(x):
f(x) =
(
x+ 8 +
5
x
)[
1 + (−1
x
) + (−1
x
)2 + (−1
x
)3 + . . .
]
=x+ 8 +
5
x
+ x · (−1
x
)− 8
x
− 5
x2
+ . . .
=x+ 8− 1 +
5
x
− 8
x
− 5
x2
+ . . .
=x+ 7 +
5
x
− 8
x
− 5
x2
+ . . .
=x+ 7 +O
(
1
x
)
,
onde O(1/x) indica todos termos que “crescem” com potências maiores de 1/x, isto é, 1/x2,
1/x3 etc, que sabemos que vão a zero quando x → ∞. Bom, como podem ver, o único
termo sobrevivente é a assíntota da função f , obtida anteriormente pelo método da divisão de
polinômios.
8. * (0,5 pts) Agora é a sua vez de reproduzir os passos acima pra função f que viemos
estudando durante esse exercício!
9. * (0,5 pts) Estamos falando de polinômio de Taylor e simplesmente utilizamos a fórmula
de uma soma de PG (eq. 1). Como sabemos que é a mesma coisa? Prove1 que aquela
soma realmente representa a sucessão dos polinômios de Taylor centrados em x0 = 0 da
função f(x) = (1− x)−1.
10. (0, 33̄ pts) Com as informações obtidas e sabendo que f ′′(x) > 0 para x −1, esboce o gráfico de f .
1Você tem duas opções: força bruta (usando a fórmula de Taylor e achando um padrão da n−ésima derivada
de f(x)) ou argumentar usando o Teorema de Taylor.