Função Afim

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Engenharia de Controle e Automação 
 
 
 
 
 
 
1. Função Constante: 𝑓(𝑥) = 𝑐 
Definição: Uma aplicação 𝑓 de ℝ em ℝ recebe o nome de função constante 
quando a cada elemento x ∈ ℝ associa sempre o mesmo elemento c ∈ ℝ. 
 
 
2. Função Afim: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0 
Definição: Uma aplicação de ℝ em ℝ recebe o nome de função afim quando a cada 𝑥 ∈ ℝ associa sempre 
o mesmo elemento (𝑎𝑥 + 𝑏) ∈ ℝ, em que 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 são números reais dados. 
Teorema 1: No plano, o gráfico de uma função é uma reta não paralela aos eixos cartesianos se, e somente 
se, essa função é Afim. 
Teorema 2: O conjunto imagem da função afim 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, é ℝ. 
Teorema 3: A função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente 𝑎 for 
positivo (negativo). 
❖ Interpretação dos coeficientes 
𝑎: coeficiente angular 
1) 𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑡𝑔𝜃; 𝜃 é o ângulo orientado do eixo das abscissa em direção à reta. 
2) Em situações práticas, esse valor denota a taxa de variação (aumento ou diminuição) de y para cada 
unidade de x. Observe que essa taxa de variação é constante. 
𝑏: coeficiente linear 
1) Sendo 𝑏 = 𝑓(0), 𝑏 é o intercepto-y da reta. 
2) Na prática, para situações que o momento inicial é em 𝑥 = 0, b será o valor inicial da função. 
❖ Zero da função Afim 
Achar o zero da função 𝑓 é resolver a equação 𝑓(𝑥) = 0. Logo, o zero da função afim é 𝑥 = −
𝑏
𝑎
. Basta 
fazer 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 para confirmar isso. Graficamente, podemos dizer que o zero da função é o intercepto-
x da reta. 
Algumas Aplicações 
Matemática/Estatística: Equação de uma reta, progressão aritmética, Regressão Linear... 
 
Função Constante, função Afim e a reta 
Professor Anderson Pedrosa C
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Engenharia de Controle e Automação 
Física: Movimento Uniforme, relação entre escalas de temperatura, ... 
Problema motivador 
Os sistemas de cobrança dos serviços de internet móvel por duas empresas A e B são distintos. A empresa A 
cobra uma quantia fixa de R$ 5,45 pela habilitação mensal do serviço e mais R$ 2,05 por dia que a pessoa 
utilizar o serviço no mês. A empresa B cobra R$ 8,60 pela habilitação mensal e R$ 1,90 por dia utilizado no 
mês. Uma pessoa resolveu testar esses serviços e adquiriu o plano pelas duas empresas, utilizando-o por 20 
dias no mês. Quanto foi a diferença entre o valor pago para cada empresa? 
Exercícios de fixação 
1. Esboce o gráfico das funções: 
a) 𝑦 = 𝑥 + 4 
b) 𝑦 = 𝑥 − 5 
c) 𝑦 = 2𝑥 + 7 
d) 𝑦 = 3𝑥 − 4 
e) 𝑦 = −𝑥 + 4 
f) 𝑦 = −𝑥 − 6 
g) 3𝑦 = 7 − 𝑥 
h) 2𝑦 = 𝑥 − 2 
2. Resolva os sistemas de equações e desenhe as retas associadas às equações em cada caso: 
a) {
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
 
b) {
3𝑥 − 2𝑦 = −14
2𝑥 + 3𝑦 = 8
 
c) {
2𝑥 − 5𝑦 = 9
7𝑥 + 4𝑦 = 10
 
d) {
4𝑥 + 5𝑦 = 2
6𝑥 + 7𝑦 = 4
 
e) {
𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 2
 
f) {
3𝑥 − 6𝑦 = 3
𝑥 − 2𝑥 = 4
 
g) {
2𝑥 + 5𝑦 = 0
3𝑥 − 2𝑦 = 0
 
h) {
3
𝑥+𝑦+1
+
2
2𝑥−𝑦+3
=
5
12
2
𝑥+𝑦+1
+
3
2𝑥−𝑦+3
= 1
 
3. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos: 
a) (2, 3) 𝑒 (3, 5) 
 
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b) (1, −1) 𝑒 (−1,2) 
c) (3, −2) 𝑒 (2, −3) 
d) (1, 2) 𝑒 (2, 2) 
e) (−2, −3) 𝑒 (3, 2) 
4. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente angular igual a -3. 
5. Obtenha a equação da reta com coeficiente angular igual a − 1
2
 e passando pelo ponto (- 3, 1). 
6. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (- 2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4. 
7. Obtenha a equação da reta com coeficiente linear igual a - 3 e que passa pelo ponto (- 3, - 2) 
8. Estude, segundo os valores do parâmetro 𝑚, a variação (crescente, decrescente ou constante) das 
funções abaixo. 
a) 𝑦 = (𝑚 + 2)𝑥 − 3 
b) 𝑦 = (4 − 𝑚)𝑥 + 2 
c) 𝑦 = 4 − (𝑚 + 3)𝑥 
d) 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 1) + 3 − 𝑥 
9. (Estudo do sinal da função) Em cada caso, para que valores de x a função é positiva e para que valores 
de x ela é negativa? 
a) 𝑦 = 2𝑥 + 3 
b) 𝑦 = −3𝑥 + 2 
c) 𝑦 = 4 − 𝑥 
d) 𝑦 = 5 + 𝑥 
e) 𝑦 = 3 −
𝑥
2
 
f) 𝑦 = −𝑥 
10. Para que valores do domínio da função afim definida por 𝑓(𝑥) =
3𝑥−1
2
 a imagem é menor que 4? 
11. Sejam 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑔(𝑥) = 2 − 3𝑥 e ℎ(𝑥) =
4𝑥−1
2
 definidas em ℝ. Para que valores de 𝑥 ∈ ℝ, tem-
se: 
a) 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
b) 𝑔(𝑥) 2𝑥 − 3 
b) 5(𝑥 + 3) − 2(𝑥 + 1) ≤ 2𝑥 + 3 
 
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c) 3(𝑥 + 1) − 2 ≥ 5(𝑥 − 1) − 3(2𝑥 − 1) 
d) 𝑥−1
2
−
𝑥−3
4
≥ 1 
e) 2𝑥−3
2
 –
5−3𝑥
3
 0 
b) (4 − 2𝑥)(5 + 2𝑥) 0 
f) (3𝑥 + 8)3 −1 
b) 𝑥−1
𝑥+1
≥ 3 
c) 6𝑥
𝑥+3
𝑥+3
𝑥+4
 
d) −
4
𝑥
+
3
2
≥ −
1
𝑥
 
 
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Exercícios teóricos 
13. Diz-se que uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é par se para todo valor de seu domínio 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) e é ímpar se 
para todo valor de seu domínio 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Nesse caso, classifique em par ou ímpar as funções 
a seguir: 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
b) 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 
14. Dizemos que 𝑓: ℝ → ℝ é injetiva se dois elementos quaisquer distintos do domínio gerar duas 
imagens distintas, em símbolos: 
𝑓 é 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔ 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2); 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 
Por outro lado, dizemos que uma função 𝑓 é sobrejetiva se o conjunto contra-domínio é igual ao conjunto 
imagem. E por fim, dizemos que 𝑓 é bijetiva se for injetiva e sobrejetiva. 
Assim sendo, mostre que a função afim é bijetiva. 
Situações problemas 
15. Um reservatório com capacidade para 10.000 L de água está completamente cheio quando é aberta 
uma torneira para esvaziá-lo. A quantidade de água no reservatório diminui a uma taxa de 200 L por 
minuto. Qual a função que relaciona a quantidade de água Q restante no reservatório após t minutos 
do momento em que a torneira foi aberta? 
16. O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função linear de x, com x ≥
0, cujo gráfico está representado abaixo. 
 
Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? 
17. Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisão: dividiria sua fortuna entre sua 
filha, que estava grávida, e a prole resultante dessa gravidez, dando a cada criança que fosse nascer o 
dobro daquilo que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo daquilo que caberia à mãe, se 
fosse do sexo feminino. Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina. Como veio a ser 
repartida a herança legada? 
18. Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do que um avião a hélice para ir de São Paulo até 
Boa Vista. O avião a jato voa a uma velocidade média de 660 km/h, enquanto o avião a hélice voa em 
média a 275 km/h. Qual é a distância entre São Paulo e Boa Vista? 
 
 
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19. Um administrador de bazar de fim de semana sabe por experiência que se cobrar x dólares pelo aluguel 
de espaço no bazar o número y de espaços que ele conseguirá alugar é dado pela equação 𝑦 = 200 −
4𝑥. 
(a) Esboce o gráfico dessa função afim. (Lembre-se de que o aluguel cobrado pelo espaço e o número de 
espaços alugados não podem ser quantidades negativas.) 
(b) O que representam a inclinação, a intersecção com o eixo y e a intersecção com o eixo x? 
20. A relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit (F) e Celsius(C) é dada pela função afim. 
(a) Esboce o gráfico dessa função. 
(b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa? O que representa a intersecção com o eixo F do gráfico? 
21. Kelly parte de Sobral às 14 h e dirige a uma velocidade constante para oeste na rodovia 222. Ela passa 
por Primavera, a 210 km de Sobral, às 16 h. 
(a) Expresse a distância percorrida em função do tempo decorrido. 
(b) Desenhe o gráfico da equação da parte (a). 
(c) Qual é a inclinação desta reta? O que ela representa? 
22. Biólogos notaram que a taxa de cricridos de uma certa espécie de grilo está relacionada com a 
temperatura de uma maneira que aparenta ser “quase linear”. Um grilo cricrila 112 vezes por minuto a 
20 ºC e 180 vezes por minuto a 29 ºC. 
(a) Encontre uma equação afim que modele a temperatura T como uma função dos números de cricridos por 
minuto N. 
(b) Qual é a inclinação do gráfico? O que ela representa? 
(c) Se os grilos estiverem cricrilando 150 vezes por minuto, estime a temperatura. 
23. Um administrador de uma fábrica de móveis descobre que custa R$ 2.200 para fabricar 100 cadeiras 
em um dia e R$ 4.800 para produzir 300 cadeiras em um dia. 
(a) Expresse o custo como uma função do número de cadeiras produzidas, supondo que ela seja afim. A seguir, 
esboce o gráfico. 
(b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa? 
(c) Qual a intersecção com o eixo y do gráfico e o que ela representa? 
 
 
 
“Saudade, o meu remédio é cantar” 
Que nem Jiló (Humberto Teixeira / Luiz Gonzaga)