Relações e Operações

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RELAÇÕES E OPERAÇÕES
Profª.: Sarah Faria Monteiro Mazzini Costa
• Dados dois conjuntos não vazios 𝑨 e 𝑩, definimos o produto cartesiano
de 𝑨 por 𝑩 e por 𝑨 × 𝑩 = 𝒂, 𝒃 𝒂 ∈ 𝑨 𝒆 𝒃 ∈ 𝑩}.
• Chamamos de relação do conjunto 𝑨 no conjunto 𝑩, ou simplesmente
relação de 𝑨 em 𝑩, todo subconjunto de 𝑨 × 𝑩.
• Dados 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} e 𝑩 = {𝟔, 𝟕} , temos
𝑨 × 𝑩 = { 𝟏, 𝟔 , 𝟏, 𝟕 , 𝟐, 𝟔 , 𝟐, 𝟕 , 𝟑, 𝟔 , (𝟑, 𝟕)}
R= { 𝟏, 𝟔 , 𝟐, 𝟔 , (𝟑, 𝟕)} é uma relação de 𝑨 em 𝑩, pois R é um subconjunto de
𝑨 × 𝑩.
RELAÇÕES
Seja R uma relação sobre um conjunto não vazio A.
• Reflexividade: diremos que a relação 𝑹 é reflexiva quando para todo
𝒙 ∈ 𝑨, tivermos 𝒙𝑹𝒙, ou seja, todo elemento de 𝑨 se relaciona consigo
mesmo.
• Simetria: diremos que a relação 𝑹 é simétrica se dados 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨 tais
que 𝒙𝑹𝒚, então 𝒚𝑹𝒙.
• Transitividade: a relação 𝑹 é dita transitiva se dados 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑨 tais
que 𝒙𝑹𝒚 e 𝒚𝑹𝒛 então 𝒙𝑹𝒛.
• Uma relação 𝑹 sobre um conjunto 𝑿 é chamada relação de equivalência se
𝑹 for reflexiva, simétrica e transitiva.
• Tomando X como o conjunto das retas em ℝ2, a relação
𝑹𝟑 = 𝒓, 𝒔 ∈ 𝑿 × 𝑿 𝒓 // 𝒔}
é uma relação de equivalência.
• Seja Y o conjunto de todos os triângulos do plano ℝ2 a relação 𝑹
𝑹 = 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑿 × 𝑿 𝒂 é semelhante a 𝒃}.
é uma relação de equivalência.
OPERAÇÕES E SUAS PROPRIEDADES
Seja 𝐗 um conjunto não vazio. Uma operação ∗ em 𝐗 é uma aplicação que
associa a cada par ordenado 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐗 × 𝐗 o elemento 𝐱 ∗ 𝐲 que também
pertence a 𝐗.
• A multiplicação e a adição no conjuntoℝ dos números reais são operações
em ℝ.
• A subtração não é uma operação no conjunto ℕ dos números naturais pois
dados (𝒙, 𝒚) ∈ ℕ × ℕ, nem sempre temos 𝒙 − 𝒚 ∈ ℕ. De fato, 𝟑, 𝟕 ∈ ℕ, mas
𝟑 − 𝟕 ∉ ℕ.
Vejamos agora as propriedades de uma operação:
• Propriedade associativa: A operação ∗ é dita associativa se dados 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑿, 
tivermos 
𝒙 ∗ 𝒚 ∗ 𝒛 = 𝒙 ∗ 𝒚 ∗ 𝒛
• Propriedade comutativa: A operação ∗ é dita comutativa se dados 𝐚, 𝐛 ∈ 𝐗, 
tivermos
𝐚 ∗ 𝐛 = 𝐛 ∗ 𝐚
• Existência do elemento neutro: Dizemos que a operação ∗ no conjunto 𝐗
possui elemento neutro se existe um elemento 𝐞 ∈ 𝐗 tal que para todo 𝐱 ∈ 𝐗,
se tenha 𝐱 ∗ 𝐞 = 𝐞 ∗ 𝐱 = 𝐱.
• Elemento simetrizável: Um elemento 𝐱 ∈ 𝐗 é dito simetrizável se existir 𝐲 ∈ 𝐗
tal que
𝐱 ∗ 𝐲 = 𝐲 ∗ 𝐱 = 𝐞
O elemento 𝐲 é chamado simétrico de 𝐱 para a operação ∗.
Considere a operação de multiplicação no conjunto ℝ. Sejam 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ.
• A multiplicação é associativa, pois 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄 = 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄;
• A multiplicação é comutativa, pois 𝒂 ⋅ 𝒃 = 𝒃 ⋅ 𝒂;
• 1 é o elemento neutro da multiplicação, pois 𝟏 ⋅ 𝒂 = 𝟏;
• Todo elemento de ℝ é simetrizável, pois existe
𝟏
𝒂
∈ ℝ tal que 𝒂 ⋅
𝟏
𝒂
= 𝟏.
CONGRUÊNCIAS E O CONJUNTO ℤ𝒎
Seja 𝐦 um número inteiro maior do que 𝟏. Dois números inteiros 𝐚 e 𝐛 são
congruentes módulo 𝐦 se 𝐚 e 𝐛 possuem o mesmo resto na divisão por 𝐦.
Denotaremos esse fato por
𝒂 ≡ 𝒃𝒎𝒐𝒅𝒎.
• 5 e 19 são congruentes módulo 7 pois, na divisão por 7, deixam resto 5.
Assim 𝟏𝟗 ≡ 𝟓𝒎𝒐𝒅 𝟕.
• 35 e 12 não são congruentes módulo 6, pois o resto da divisão de 35 por 6 é
5 enquanto o resto da divisão de 12 por 6 é zero. Então 𝟑𝟓 ≢ 𝟏𝟐𝒎𝒐𝒅 𝟔.
Proposição: Dado 𝐦 ∈ ℤ,𝐦 > 𝟏, temos que a relação 𝐑 de congruência módulo
𝐦 sobre ℤ é uma relação de equivalência.
De fato,
 Dado 𝒂 ∈ ℤ, temos 𝒂 ≡ 𝒂𝒎𝒐𝒅𝒎, ou seja, 𝒂𝑹𝒂. Logo 𝑹 é reflexiva.
 Dados 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ, se 𝒂𝑹𝒃, ou seja, 𝒂 ≡ 𝒃𝒎𝒐𝒅𝒎 então 𝒃 ≡ 𝒂𝒎𝒐𝒅𝒎, e daí 𝒃𝑹𝒂.
Logo 𝑹 é simétrica.
 Dados 𝒂, 𝒄, 𝒃 ∈ ℤ, se 𝒂𝑹𝒃 e 𝒃𝑹𝒄, ou seja, 𝒂 ≡ 𝒃𝒎𝒐𝒅𝒎 e 𝒃 ≡ 𝒄𝒎𝒐𝒅𝒎, temos
que 𝒂, 𝒃 e 𝒄 deixam o mesmo resto na divisão por 𝒎, logo 𝒂 ≡ 𝒄𝒎𝒐𝒅𝒎, isto
é, 𝒂𝑹𝒄. Portanto 𝑹 é transitiva.
Seja 𝐦 um número inteiro maior do que 𝟏 . Chamaremos o conjunto
quociente de ℤ módulo a relação de congruência módulo 𝐦 de conjunto das
classes de resto módulo 𝐦 e o denotaremos por ℤ𝐦. Temos então,
ℤ𝐦 = ഥ𝟎, 𝟏, ഥ𝟐,⋯ ,𝐦 − 𝟏 .
As operações em ℤ𝐦 são definidas da seguinte forma:
• Sejam ത𝐚 e ҧ𝐛 duas classes em ℤ𝐦. Chamamos de soma ത𝐚 + ҧ𝐛 a classe 𝐚 + 𝐛.
• Sejam ഥ𝒂 e ഥ𝒃 duas classes em ℤ𝒎. Chamamos de produto ഥ𝒂 ⋅ ഥ𝒃 a classe 𝒂 ⋅ 𝒃.
Considere o conjunto ℤ𝟔 = ഥ𝟎, ഥ𝟏, ഥ𝟐, ഥ𝟑, ഥ𝟒, ഥ𝟓 . Então:
• ഥ𝟑 + ഥ𝟒 = 𝟑 + 𝟒 = ഥ𝟕 = ഥ𝟏, pois 7 deixa resto 1 na divisão por 6.
• ഥ𝟓 ⋅ ഥ𝟑 = 𝟓 ⋅ 𝟑 = 𝟏𝟓 = ഥ𝟑, pois 15 deixa resto 3 na divisão por 6.
• A adição em ℤ𝐦 satisfaz as propriedades da associatividade,
comutatividade, existência de elemento neutro e simétrico.
• A multiplicação em ℤ𝐦 satisfaz as propriedades da associatividade,
comutatividade, existência de elemento neutro e inverso.