Livro-texto - Unidade II

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Unidade II
Unidade II
5 INFLAÇÃO, CORREÇÃO MONETÁRIA E INDEXADORES
5.1 Inflação e correção monetária
A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços 
à disposição da sociedade. Quando ocorre o fenômeno inverso, ou seja, quando houver diminuição nos 
preços, tem-se a deflação.
Nenhum país está imune ao fenômeno da inflação. Ela é considerada baixa quando se encontra 
entre 2% e 5% ao ano, como ocorre nos países desenvolvidos. Porém, chega a atingir patamares 
acima de 1.000% anuais, como vivenciados pelo Brasil na década de 1990. A tabela a seguir mostra a 
variação inflacionária no Brasil desde 1980 até os dias atuais, considerando o IPCA (Índice de Preços 
ao Consumidor Amplo), medido mensalmente pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).
Tabela 17 – Variação inflacionária no Brasil 
de 1980 até os dias atuais, considerando o IPCA
 Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Acumulado 
no ano
1980 6,62 4,62 6,04 5,29 5,7 5,31 5,55 4,95 4,23 9,48 6,67 6,61 99,27%
1981 6,84 6,4 4,97 6,46 5,56 5,52 6,26 5,5 5,26 5,08 5,27 5,93 95,65%
1982 6,97 6,64 5,71 5,89 6,66 7,1 6,36 5,97 5,08 4,44 5,29 7,81 104,80%
1983 8,64 7,86 7,34 6,58 6,48 9,88 10,08 9,11 10,3 8,87 7,38 8,68 163,99%
1984 9,67 9,5 8,94 9,54 9,05 10,08 9,72 9,35 11,75 10,44 10,53 11,98 215,27%
1985 11,76 10,87 10,16 8,2 7,2 8,49 10,31 12,05 11,12 10,62 13,97 15,07 242,24%
1986 14,37 12,72 4,77 0,78 1,4 1,27 1,71 3,55 1,72 1,9 5,45 11,65 79,65%
1987 13,21 12,64 16,37 19,1 21,45 19,71 9,21 4,87 7,78 11,22 15,08 14,15 363,41%
1988 18,89 15,7 17,6 19,29 17,42 22 21,91 21,59 27,45 25,62 27,94 28,7 980,22%
1989 37,49 16,78 6,82 8,33 17,92 28,65 27,74 33,71 37,56 39,77 47,82 51,5 1.972,91%
1990 67,55 75,73 82,39 15,52 7,59 11,75 12,92 12,88 14,41 14,36 16,81 18,44 1.620,96%
1991 20,75 20,72 11,92 4,99 7,43 11,19 12,41 15,63 15,63 20,23 25,21 23,71 472,69%
1992 25,94 24,32 21,4 19,93 24,86 20,21 21,83 22,14 24,63 25,24 22,49 25,24 1.119,09%
1993 30,35 24,98 27,26 27,75 27,69 30,07 30,72 32,96 35,69 33,92 35,56 36,84 2.477,15%
1994 41,31 40,27 42,75 42,68 44,03 47,43 6,84 1,86 1,53 2,62 2,81 1,71 916,43%
1995 1,7 1,02 1,55 2,43 2,67 2,26 2,36 0,99 0,99 1,41 1,47 1,56 22,41%
1996 1,34 1,03 0,35 1,26 1,22 1,19 1,11 0,44 0,15 0,3 0,32 0,47 9,56%
1997 1,18 0,5 0,51 0,88 0,41 0,54 0,22 -0,02 0,06 0,23 0,17 0,43 5,22%
1998 0,71 0,46 0,34 0,24 0,5 0,02 -0,12 -0,51 -0,22 0,02 -0,12 0,33 1,66%
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
1999 0,7 1,05 1,1 0,56 0,3 0,19 1,09 0,56 0,31 1,19 0,95 0,6 8,94%
2000 0,62 0,13 0,22 0,42 0,01 0,23 1,61 1,31 0,23 0,14 0,32 0,59 5,97%
2001 0,57 0,46 0,38 0,58 0,41 0,52 1,33 0,7 0,28 0,83 0,71 0,65 7,67%
2002 0,52 0,36 0,6 0,8 0,21 0,42 1,19 0,65 0,72 1,31 3,02 2,1 12,53%
2003 2,25 1,57 1,23 0,97 0,61 -0,15 0,2 0,34 0,78 0,29 0,34 0,52 9,30%
2004 0,76 0,61 0,47 0,37 0,51 0,71 0,91 0,69 0,33 0,44 0,69 0,86 7,60%
2005 0,58 0,59 0,61 0,87 0,49 -0,02 0,25 0,17 0,35 0,75 0,55 0,36 5,69%
2006 0,59 0,41 0,43 0,21 0,1 -0,21 0,19 0,05 0,21 0,33 0,31 0,48 3,14%
2007 0,44 0,44 0,37 0,25 0,28 0,28 0,24 0,47 0,18 0,3 0,38 0,74 4,45%
2008 0,54 0,49 0,48 0,55 0,79 0,74 0,53 0,28 0,26 0,45 0,36 0,28 5,90%
2009 0,48 0,55 0,2 0,48 0,47 0,36 0,24 0,15 0,24 0,28 0,41 0,37 4,31%
2010 0,75 0,78 0,52 0,57 0,43 0 0,01 0,04 0,45 0,75 0,83 0,63 5,90%
2011 0,83 0,8 0,79 0,77 0,47 0,15 0,16 0,37 0,53 0,43 0,52 0,5 6,50%
2012 0,56 0,45 0,21 0,64 0,36 0,08 0,43 0,41 0,57 0,59 0,6 0,79 5,83%
2013 0,86 0,6 0,47 0,55 0,37 0,26 0,03 0,24 0,35 0,57 0,54 0,92 5,91%
2014 0,55 0,69 0,92 0,67 0,46 0,4 0,01 0,25 0,57 0,42 0,51 0,78 6,40%
2015 1,24 1,22 1,32 0,71 0,74 0,79 0,62 0,22 0,54 0,82 1,01 0,96 10,67%
2016 1,27 0,9 0,43 0,61 0,78 0,35 0,52 0,44 0,08 0,26 0,18 0,3 6,28%
2017 0,38 0,33 0,25 0,14 0,31 -0,23 0,24 0,19 0,16 0,42 0,28 0,44 2,94%
2018 0,29 0,32 0,09 0,22 0,4 1,26 0,33 -0,09 0,48 - - - 3,34%
Adaptado de: Portal Brasil ([s.d.]).
Com o objetivo de minimizar ou mesmo neutralizar as distorções causadas pela inflação na economia, 
foi institucionalizado no Brasil o princípio da correção monetária. Através desse princípio, os valores 
monetários (preços de bens e serviços, salários, empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, 
impostos etc.) podem ser reajustados com base na inflação ocorrida no período anterior, medida por um 
índice de preços calculado por uma entidade credenciada, normalmente pela FGV (Fundação Getúlio 
Vargas) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).
5.2 A evolução dos indexadores até o Plano Real
Indexador, tal como usado pelo mercado financeiro, pode ser entendido como qualquer valor ou 
índice utilizado como parâmetro para atualizar o valor da unidade monetária, depreciado em função da 
elevação sistemática dos níveis gerais de preços.
O primeiro indexador de uso generalizado que surgiu no mercado foi a Obrigação Reajustável do 
Tesouro Nacional (ORTN), criada pela Lei nº 4.357, de 16 de julho de 1964. Embora fosse um título de 
crédito, durante toda sua existência foi muito mais importante como indexador do que como título. Para 
obtenção de seu valor, ao longo do tempo, foram utilizadas sucessivas e complexas fórmulas de cálculo, 
quase todas baseadas no Índice de Preços por Atacado (IPA), calculado pela FGV. O valor da ORTN foi 
calculado até novembro de 1972 com base no IPA de até sete meses anteriores ao mês de referência. A 
partir dessa data, a equipe do ex-ministro Delfim Netto introduziu uma inovação importante na fórmula: 
o valor da ORTN passaria a sofrer influência da inflação projetada para o ano seguinte. Essa fórmula durou 
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pouco e foi rapidamente substituída. A partir de maio de 1976, entretanto, em plena era Simonsen, a 
inflação futura voltou a ter peso no cálculo do indexador: 20% do valor da ORTN seriam influenciados por 
uma inflação esperada de 15% ao ano e 80% pela inflação passada medida pelo IPA referente aos últimos 
cinco meses. Essa fórmula engenhosa tinha o dom de achatar a correção monetária.
Com a volta de Delfim Netto ao governo, tivemos novas modificações na fórmula de cálculo, e a partir 
de março de 1980 já era possível conhecer a correção monetária com até dois meses de antecedência.
Esse critério, inadmissível nos dias atuais, não trouxe grandes problemas para o mercado porque as taxas 
de inflação eram baixas e estáveis e porque a noção de rendimento real não era tão disseminada quanto 
hoje. Novas mudanças nas fórmulas de cálculo – como a adoção do IGP-DI da FGV em março de 1983, em 
substituição ao IPA – ainda foram processadas até a extinção desse título em março de 1986, ocasião 
em que se criou a Obrigação do Tesouro Nacional (OTN); em relação ao anterior, a única mudança nesse título 
ocorreu no nome: foi excluída a expressão “reajustável”. Durante todo o período em que esteve em vigor o 
“Plano Cruzado“, março de 1986 a fevereiro do ano seguinte, esse novo indexador teve seus valores mensais 
fixados com base em critérios polêmicos, de validade duvidosa. Principalmente em decorrência desse fato, 
outros títulos e índices passaram a ser utilizados como indexadores para a atualização de valores monetários, 
entre os quais a famigerada Letra do Banco Central (LBC), criada em 15 de maio de 1986, posteriormente 
substituída pela Letra Financeira do Tesouro (LFT); esses títulos, no entendimento do autor do livro adotado 
neste curso, causaram danos irreparáveis à economia brasileira, sendo alguns dos grandes responsáveis pela 
aceleração do processo inflacionário no final dos anos 1980 e começo da década de 1990.
Em janeiro de 1989, com a implantação do Plano Verão,0/
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Portanto, a fórmula para se calcular o montante S de uma série de N títulos de mesmo valor é:
+ −
= ⋅
n(1 i) 1
S R
i
onde o fator de acumulação de capital, representado por FAC(i,n), é dado por:
+ −
=
n(1 i) 1
FAC(i,n)
i
Assim, tem-se:
+ −
= ⋅
n(1 i) 1
S R
i
ou:
S = R . FAC(i,n)
O fator de acumulação de capital, assim como os outros fatores, é tabelado para diversas taxas 
e prazos. Ele representa o montante oriundo da aplicação de n parcelas de uma unidade de capital 
(real, dólar, salário mínimo etc.), em determinado intervalo de tempo (semana, quinzena, mês, trimestre, 
semestre, ano etc.) e a uma determinada taxa de juros.
Com a utilização do fator de acumulação de capital (FAC), que normalmente aparece tabelado na 
maioria dos livros de Matemática Financeira, a solução do problema é muito simples. Exemplificando, 
partindo-se dos dados do exemplo anterior, ou seja:
• R = R$ 10.000,00;
• n = 5 meses; e
• i = 7% ao mês.
pode-se calcular o montante S da forma indicada a seguir:
S = 10.000,00 . FAC(7%,5)
Na tabela financeira correspondente a uma taxa de 7%, na coluna FAC, e na linha referente 
a n = 5 (que neste caso representa cinco pagamentos mensais), encontra-se o valor 5,75074. 
Portanto, FAC(7%,5) = 5,75074. Substituindo esse valor em S = 10.000,00 . FAC(7%,5) tem-se 
S = 10.000,00 . 5,75074 = 5.7507,40, que corresponde ao valor já encontrado anteriormente.
Para fixar melhor o entendimento será apresentado outro exemplo:
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Um jovem resolve aplicar R$ 600,00 por mês durante 3 anos em uma instituição financeira que 
cobra 2,5% ao mês. Calcule o valor do montante.
Os valores conhecidos são:
• R = R$ 600,00;
• n = 3 anos = 36 meses; e
• i = 2,5% ao mês.
O problema pode ser esquematizado conforme o fluxo de caixa seguir:
R$ 600,00 R$ 600,00R$ 600,00 R$ 600,00R$ 600,00 R$ 600,00
0
1 2 3 34 35 36
S = ?
Figura 32 – Fluxo de caixa do problema
• Solução utilizando a fórmula:
+ −
= ⋅
+ −
= ⋅
= ⋅ = ⋅
=
n
36
(1 i) 1
S R
i
(1 0,025) 1
S 600,00
0,025
1,43254
R 600,00 600,00 57,30141
0,025
R R$ 34.380,85
• Solução utilizando a tabela:
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
S R FAC(i,n)
R 600,00 FAC(2,5%,36)
R 600,00 57,30141
R R$ 34.380,85
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Tabela 27 – Tabela financeira da taxa de juros de 2,5%
Taxa do período: 2,5%
n
Pagamento único
(simples)
Série de pagamentos iguais
(uniformes)
n
Fator de 
acumulação 
de capital
Fator 
de valor 
atual
Fator de 
acumulação 
de capital
Fator de 
formação de 
capital
Fator de valor 
atual
Fator de 
recuperação 
de capital
FAC FFC FVA FRC
(1 )ni+
1
(1 )ni+
(1 ) 1ni
i
+ −
(1 ) 1n
i
i+ −
(1 ) 1
(1 )
n
n
i
i i
+ −
+ ⋅
(1 )
(1 ) 1
n
n
i i
i
+ ⋅
+ −
1 1,02500 0,97561 1,00000 1,00000 0,97561 1,02500 1
2 1,05063 0,95181 2,02500 0,49383 1,92742 0,51883 2
3 1,07689 0,92860 3,07563 0,32514 2,85602 0,35014 3
4 1,10381 0,90595 4,15252 0,24082 3,76197 0,26582 4
5 1,13141 0,88385 5,25633 0,19025 4,64583 0,21525 5
6 1,15969 0,86230 6,38774 0,15655 5,50813 0,18155 6
7 1,18869 0,84127 7,54743 0,13250 6,34939 0,15750 7
8 1,21840 0,82075 8,73612 0,11447 7,17014 0,13947 8
9 1,24886 0,80073 9,95452 0,10046 7,97087 0,12546 9
10 1,28008 0,78120 11,20338 0,08926 8,75206 0,11426 10
12 1,34489 0,74356 13,79555 0,07249 10,25776 0,09749 12
18 1,55966 0,64117 22,38635 0,04467 14,35336 0,06967 18
24 1,80873 0,55288 32,34904 0,03091 17,88499 0,05591 24
30 2,09757 0,47674 43,90270 0,02278 20,93029 0,04778 30
36 2,43254 0,41109 57,30141 0,01745 23,55625 0,04245 36
48 3,27149 0,30567 90,85958 0,01101 27,77315 0,03601 48
50 3,43711 0,29094 97,48435 0,01026 28,36231 0,03526 50
60 4,39979 0,22728 135,99159 0,00735 30,90866 0,03235 60
6.4.4 Fator de formação de capital (FFC)
O fator de formação de capital, conhecido por FFC, é obtido facilmente a partir da expressão do 
montante S, ou seja, partindo-se da expressão
+ −
= ⋅
n(1 i) 1
S R
i
Essa expressão é utilizada para obter o montante quando são conhecidos o valor da prestação (R), a 
taxa de juros (i) e o número de prestações (n). Quando a incógnita do problema é o valor das prestações, 
basta evidenciar R em vez de S na expressão, obtendo-se:
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= ⋅
+ −n
i
R S
(1 i) 1
onde o fator de formação de capital, representado por FFC(i,n) é dado por:
=
+ −n
i
FFC(i,n)
(1 i) 1
Assim, tem-se
R = S . FFC(i,n)
Veja um exemplo:
Uma jovem deseja acumular R$ 100.000,00 em 5 anos aplicando mensalmente num fundo de renda 
fixa que proporciona um rendimento de 2,5% ao mês. Calcule o valor da prestação mensal para a jovem 
atingir seu objetivo.
Os valores conhecidos são:
• S = R$ 100.000,00;
• n = 5 anos = 60 meses; e
• i = 2,5% ao mês.
O problema pode ser esquematizado conforme o fluxo de caixa seguir:
R RR RR R
0
1 2 3 58 59 60
S = R$100.000,00
Figura 33 – Fluxo de caixa do problema
• Solução utilizando a fórmula:
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= ⋅
+ −
= ⋅
+ −
= ⋅ = ⋅
=
n
60
i
R S
(1 i) 1
0,025
R 100.000,00
(1 0,025) 1
0,025
R 20.000,00 100.000,00 0,00735
3,39979
R R$ 735,34
• Solução utilizando a tabela financeira da taxa de juros de 2,5%:
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
R S FFC(i,n)
R 100.000,00 FFC(2,5%,60)
R 100.000,00 0,00735
R R$ 735,00
A diferença de R$ 0,34 em relação à resposta anterior se deve a problemas de arredondamento. 
A resposta obtida por meio da utilização da fórmula básica normalmente apresenta um valor mais 
aproximado que aquele obtido por meio do fator tabelado. A razão reside no número de casas decimais, 
uma vez que os fatores estão tabelados com cinco casas decimais, enquanto as calculadoras utilizadas 
normalmente trabalham com um número de decimais muito maior.
Como os problemas de montante apresentam sempre quatro variáveis, das quais três são dadas, 
somente poderão surgir as seguintes situações:
• Dados R, i e n, achar S (já visto);
• Dados S, i e n, achar R (já visto);
• Dados R, S e i, achar n; e
• Dados R, S e n, achar i.
Na sequência será visto um caso em que n é a incógnita.
Uma jovem deseja acumular R$ 200.000,00 aplicando R$ 1.000,00 bimestralmente num fundo de 
renda fixa que proporciona um rendimento de 7% ao bimestre. Calcule quanto tempo ela precisará 
aplicar para atingir seu objetivo.
Os valores conhecidos são:
• S = R$ 200.000,00;
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Unidade II
• R = R$ 1.000,00; e
• i = 7% ao bimestre.
O problema pode ser esquematizado conforme o fluxo de caixa seguir:
R$ 1.000,00 R$ 1.000,00R$ 1.000,00 R$ 1.000,00R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
0
1 2 3 n-2 n-1 n
S = R$200.000,00
Figura 34 – Fluxo de caixa do problema
• Solução utilizando a fórmula:
+ −
= ⋅
+ −
= ⋅
− =
=
⋅ =
= =
n
n
n
n
(1 i) 1
S R
i
(1 0,07) 1
200.000,00 1.000,00
0,07
(1,07) 1 14
(1,07) 15
n log(1,07) log(15)
log(15)
n 40
log(1,07)
+ −
= ⋅
+ −
= ⋅
− =
=
⋅ =
= =
n
n
n
n
(1 i) 1
S R
i
(1 0,07) 1
200.000,00 1.000,00
0,07
(1,07) 1 14
(1,07) 15
n log(1,07) log(15)
log(15)
n 40
log(1,07)
A solução também pode ser conseguida através do processo iterativo de tentativa e erro, bastando, 
para isso, atribuir valores sucessivos ao expoente n até se obter (1,07)n = 15.
• Solução utilizando a tabela financeira da taxa de juros de 7%:
Esse processo também pode ser executado via tabela financeira a partir da equação básica S = R . 
FAC(i,n). Substituindo as variáveis dessa equação pelos respectivos valores (conhecidos), tem-se:
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
= ⋅
= ⋅
=
S R FAC(i,n)
200.000,00 1.000,00 FAC(7 %,n)
FAC(7 %,n) 200
Pesquisando na tabela correspondente a taxa de 7%, na coluna FAC, tem-se:
=
=
FAC(7%,36) 148,91346
FVA(7%,42) 230,63224
Chega-se no valor de n por interpolação:
( )
→
→
→
= ≈
36 148,91346
n 200
42 230,63224
n 39,75 n 40
Portanto, a resposta para o problema é a seguinte: são necessárias 40 prestações bimestrais de R$ 
1.000,00 cada uma para obter o valor desejado de R$ 200.000,00.
Por último, será visto um caso em que a taxa i é a incógnita:
Uma jovem deseja acumular R$ 114.051,54 aplicando R$ 1.000,00 mensalmente num fundo de 
renda fixa durante 5 anos. Calcule a que taxa essa aplicação deverá ser realizada para que a jovem 
atinja seu objetivo.
Os valores conhecidos são:
• n = 5 anos = 60 meses.
O problema pode ser esquematizado conforme o fluxo de caixa seguir:
R$ 1.000,00 R$ 1.000,00R$ 1.000,00 R$ 1.000,00R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
0
1 2 3 58 59 60
S = R$114.051,54
i = ?
Figura 35 – Fluxo de caixa do problema
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Unidade II
• Solução utilizando a fórmula:
+ −
= ⋅
+ −
= ⋅
+ −
=
n
60
60
(1 i) 1
S R
i
(1 i) 1
114.051,54 1.000,00
i
(1 i) 1
114,05154
i
A solução dessa equação somente pode ser conseguida através do processo iterativo de tentativa 
e erro. Mesmo as calculadoras financeiras que solucionam problemas como esse de forma simples 
e rápida utilizam esse processo. Ele consiste em atribuir valores sucessivos a i até que o resultado 
encontrado anteriormente, que é do fator de acumulação de capital (FAC), seja exatamente igual 
a 114,05154. Assim, para i = 1%, o valor daquela expressão é 81,66967, o que indica que a taxa 
procurada é maior. Para i = 3%, o resultado é 163,05344, o que significa que a taxa desejada deve ser 
menor. Fazendo-se i = 2% obtém-se 114,05154, que coincide com o valor informado. Portanto, a taxa 
procurada é de 2% ao mês.
• Solução utilizando as tabelas financeiras (veja o Apêndice D):
Esse processo também pode ser executado via tabela financeira a partir da equação básica 
S = R . FAC(i,n). Substituindo as variáveis dessa equação pelos respectivos valores, tem-se:
= ⋅
= ⋅
=
S R FAC(i,n)
114.051,54 1.000,00 FAC(i,60)
FAC(i,60) 114,05154
Para se determinar a taxa i, deve-se pesquisar na coluna FAC, na linha n = 60, tabela por tabela, até 
que seja encontrado o valor 114,05154. Caso seja feita a consulta na tabela de 1%, o valor encontrado 
será 81,66967. Portanto, a taxa tem de ser maior que 1%. Para a tabela de 3%, o fator correspondente a 
n = 60 é 163,05344; portanto, a taxa desejada deve ser menor. Ao pesquisar na tabela de 2%, verifica-se 
que FAC(2%,60) = 114,05154, tratando-se do mesmo valor obtido nos cálculos que acabamos de 
apresentar. Portanto, a taxa procurada é de 2% ao mês.
6.5 Série de pagamentos iguais com termos antecipados
No caso de série de pagamentos iguais com termos antecipados, cada termo da série de pagamentos 
ou recebimentos iguais ainda será representado por RA (A de antecipado), sendo que eles agora 
ocorrem no início de cada período unitário. Dessa forma, a primeira prestação sempre será devida 
na data zero, ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou de qualquer outra 
operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações. Além disso, o valor presente 
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
será representado por PA e o montante por SA e, com certeza, a principal conclusão dos seguintes 
desenvolvimentos é que eles poderão ser resolvidos a partir dos fatores definidos anteriormente para 
a série de pagamentos ou recebimentos com termos vencidos ou postecipados, bastando-se dividi-los 
ou multiplicá-los por (1 + i)n.
6.5.1 Valor presente PA, em função de RA, de uma série de pagamentos iguais com 
termos antecipados
Os problemas relacionados ao cálculo do valor presente PA, em função de RA, de uma série de 
pagamentos iguais com termos antecipados, além de envolver a multiplicação por (1 + i)n, envolve 
também o fator de valor atual (FVA), como será demonstrado a seguir.
Considera-se novamente, como caso prático, a situação em que se deseja saber qual o valor que, 
financiado a uma taxa de 7% ao mês, pode ser pago ou amortizado em uma série de 5 prestações 
mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 10.000,00 cada uma (RA = R$ 10.000,00). Portanto, 
deseja-se calcular o valor presente, designado aqui por PA, sabendo-se que a primeira parcela é 
devida sempre na data zero, e a última, no final do 4º mês. Portanto, os valores conhecidos são:
RA = R$ 10.000,00;
n = 5 parcelas; e
i = 7% ao mês.
O problema pode ser esquematizado conforme o fluxo de caixa seguir:
VALOR PRESENTE PT = ?
R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
Figura 36 – Fluxo de caixa para o cálculo do valor presente PA
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Unidade II
O ponto de partida é, novamente, a solução do problema por partes, admitindo-se que cada prestação 
corresponda a um financiamento isolado. No final, somam-se todos os valores presentes calculados 
encontrando o valor total PAT. No final, o valor presente PAT será dado por
PAT = P0 + P1 + P2 + P3 + P4
No problema, cada prestação RA = R$ 10.000,00 representa o montante (ou valor futuro) 
individual de um capital inicial desconhecido, aplicado à taxa de 7% ao mês e por prazos que vão 
de 1 a 5 meses. O que queremos é determinar o capital inicial ou o valor presente dessas prestações 
no momento zero. Portanto, a expressão S = P . (1 + i)n deve ser alterada para evidenciar P em vez 
de S, resultando:
= ⋅
+ n
1
P S
(1 i)
No presente desenvolvimento, todas as prestações são consideradas montantes em relação ao 
momento zero, ou seja, S = RA.
• Valor presente P0:
Como a primeira parcela é aplicada exatamente na data zero, ou seja, no dia em que se deseja 
calcular o valor presente, o valor de P0 será a própria prestação R. Assim, considerando = ⋅
+ n
1
P S
(1 i)
, o 
valor presente dessa prestação pode ser descrito da seguinte forma:
= ⋅ = ⋅ = =
++
0 n 0 00
1 1 10.000,00
P S 10.000,00 10.000,00
(1 0,07) (1,07)(1 i)
• Valor presente P1:
Considerando = ⋅
+ n
1
P S
(1 i)
 e a parcela devida no final do primeiro mês, chega-se no valor presente 
P1 da seguinte maneira:
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
1 n 11
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,93458 9.345,80
(1 0,07)(1 i)
onde o expoente 1 da expressão (1,07)1 representa o número de meses a decorrer entre a data 
tomada como base (data zero) e a data da primeira prestação. Esquematicamente, tem-se:
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
P1 = R$ 9.345,80
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4
1 mês
Figura 37 – Fluxo de caixa para o cálculo de P1
• Valor presente P2:
O valor presente P2, relativo à segunda prestação, é dado por:
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
2 n 22
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,87344 8.734,40
(1 0,07)(1 i)
O expoente 2 da expressão (1,07)2 representa o número de meses decorridos entre a data fixada para 
o cálculo do valor presente e a data do vencimento da segunda prestação. Esquematicamente, tem-se:
P2 = R$ 8.734,40
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4
2 meses
Figura 38 – Fluxo de caixa para o cálculo de P2
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Unidade II
• Valor presente P3:
O valor presente P3, relativo à terceira parcela, é dado por:
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
3 n 33
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,81630 8.163,00
(1 0,07)(1 i)
Esquematicamente, tem-se:
P3 = R$ 8.163,00R$ 10.000,00
0 1 2 3 4
3 meses
Figura 39 – Fluxo de caixa para o cálculo de P3
• Valor presente P4:
O valor presente P4, relacionado com a quarta parcela, é dado por:
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + −jan fev mar abr
acumulada
i i i i
i (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
100 100 100 100
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
4 n 44
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,76290 7.629,00
(1 0,07)(1 i)
. (6.63)
Esquematicamente, tem-se:
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
P4 = R$ 7.629,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4
4 meses
Figura 40 – Fluxo de caixa para o cálculo de P4
• Valor presente total PAT:
Em resumo, os valores presentes de cada um dos cinco cálculos são mostrados a seguir:
Tabela 28 – Valor presente total do fluxo de caixa da figura 
do fluxo de caixa para o cálculo do valor presente PA
Valor 
presente Expressão 
n
1
P S
(1 i)
= ⋅
+
 Total
P0
⋅
+ 0
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 1 10.000,00
P1
⋅
+ 1
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0,93458 9.345,80
P2
⋅
+ 2
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0,87344 8.734,40
P3
⋅
+ 3
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0,81630 8.163,00
P4
⋅
+ 4
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0, 76290 7.629,00
PAT PAT = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 43.872,20
Assim, dentro do conceito de série de pagamentos ou recebimentos iguais com termos antecipados 
e quando se tem, por exemplo, um financiamento que pode ser pago ou amortizado em 5 prestações 
iguais, mensais e consecutivas de R$ 10.000,00 cada uma, a uma taxa de 7% ao mês, o cálculo para se 
encontrar o valor financiado ou valor presente resulta em:
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Unidade II
PAT = R$ 43.872,20
Entretanto, o cálculo do valor presente, como foi feito, é muito trabalhoso para ser aplicado a uma 
quantidade maior de prestações, por exemplo, quando envolver 100, 150 ou 300 prestações. Mas, com 
base no cálculo de PAT, é possível deduzir a fórmula que possibilita obter o valor presente total, ou 
simplesmente o valor presente PA, para uma série de pagamentos ou recebimentos iguais, com termos 
antecipados e consecutivos, de forma simplificada e rápida. Assim, partindo-se do fato que o montante 
P é calculado como em PAT = P0 + P1 + P2 + P3 + P4, ou seja:
PA = P0 + P1 + P2 + P3 + P4
e, substituindo os valores de P1, P2, P3, P4 e P5, tem-se:
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ + +
⋅ + ⋅
+ +
A 0 1 2
3 4
1 1 1
P 10.000,00 10.000,00 10.000,00
(1 0,07) (1 0,07) (1 0,07)
1 1
10.000,00 10.000,00
(1 0,07) (1 0,07)
Verifica-se que, como o valor 10.000,00 é constante em todos os termos, ele pode ser colocado em 
evidência, resultando:
 
= ⋅ + + + + 
 
A 0 1 2 3 4
1 1 1 1 1
P 10.000,00
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
Como o tratamento de expressões fracionárias é um pouco mais complexo, é interessante transformar, 
com uma operação simples, essa série numa soma de mais fácil visualização e cálculo. Para tanto, 
aplica-se o conceito de MMC (mínimo múltiplo comum). Neste caso em particular, o MMC é (1,07)4, que 
é o número divisível por qualquer um dos denominadores da série. Efetuando os cálculos, obtém-se:
 + + + +
= ⋅  
  
4 3 2 1
A 4
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07) 1
P 10.000,00
(1,07)
ou
 + + + +
= ⋅  
  
1 2 3 4
A 4
1 (1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
P 10.000,00
(1,07)
onde o numerador da expressão entre colchetes constitui-se numa soma de termos de uma 
progressão geométrica (PG), cuja fórmula é dada por 
⋅ −
=
−
n
1 1
PG
a q a
S
q 1
.
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
Comparando-se o numerador de 
 + + + +
= ⋅  
  
1 2 3 4
A 4
1 (1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
P 10.000,00
(1,07)
 
com os parâmetros de uma PG, verifica-se que a razão é 1,07, com número de termos igual 
a 5 e o primeiro termo é o número 1, que pode ser escrito sem problemas como (1,07)0 
uma vez que qualquer número elevado a zero resulta unitário. Portanto, a análise da 
progressão geométrica (PG) cujo somatório dos termos é apresentado entre colchetes em 
 + + + +
= ⋅  
  
1 2 3 4
A 4
1 (1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
P 10.000,00
(1,07)
 resulta nos seguintes valores:
• a1 = (1,07)0 = 1;
• q = 1,07; e
• n = 5.
Substituindo-se o somatório dos termos entre colchetes em 
 + + + +
= ⋅  
  
1 2 3 4
A 4
1 (1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
P 10.000,00
(1,07)
 pela fórmula do somatório dos termos de 
uma PG, com os respectivos valores numéricos, tem-se:
  ⋅ −
   − −  = ⋅ = ⋅ =  ⋅ 
  
⋅ = ⋅ =
⋅
5
5
A 4 4
1 (1,07) 1
1,07 1 (1,07) 1
P 10.000,00 10.000,00
(1,07) (1,07) 0,07
0,40255
10.000,00 10.000,00 4,3872 43.872,00
1,3108 0,07
praticamente o mesmo resultado encontrado em (PAT = R$ 43.872,20). Não é exatamente igual por 
questões de arredondamento.
Portanto, a fórmula para se calcular o valor presente PA, de uma série de pagamentos ou recebimentos 
iguais e consecutivos com termos antecipados, é encontrada substituindo, na expressão 
  ⋅ −
   − −  = ⋅ = ⋅ =  ⋅ 
  
⋅ = ⋅ =
⋅
5
5
A 4 4
1 (1,07) 1
1,07 1 (1,07) 1
P 10.000,00 10.000,00
(1,07) (1,07) 0,07
0,40255
10.000,00 10.000,00 4,3872 43.872,00
1,3108 0,07
, os valores numéricos 
 
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Unidade II
pelos respectivos valores algébricos. Realizadas as substituições, chega-se na seguinte 
fórmula genérica:
− −
+ − + −
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅
+ ⋅ + + ⋅
n n
A A A An 1 1 n
(1 i) 1 1 (1 i) 1
P R R R (1 i) FVA(i,n)
(1 i) i (1 i) (1 i) i
onde se considerou:
• = + ⇒ − = + − =q 1 i q 1 (1 i) 1 i ;
• − −+ = + ⋅ +n 1 n 1(1 i) (1 i) (1 i) ; e
• 
+ −
=
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
FVA(i,n)
(1 i) i
.
Portanto, para resolver um problema no qual se deseja calcular o valor presente ou o valor atual de uma 
série de pagamentos com termos antecipados, basta multiplicar o valor obtido de P para termos postecipados 
por (1 + i). Assim, têm-se duas formas de se calcular o valor presente PA para termos antecipados, quais sejam:
+ −
= ⋅ + ⋅
+ ⋅
n
A A n
(1 i) 1
P R (1 i)
(1 i) i
ou
PA = RA . (1 + i) . FVA(i,n)
Como já se sabe, o fator de valor atual FVA(i,n) é tabelado, calculado para diversas taxas i e parcelas 
n. Ele representa o valor presente oriundo da aplicação de n parcelas de uma unidade de capital (real, 
dólar, euro etc.), em um determinado intervalo de tempo (semana, quinzena, mês, trimestre, semestre, 
ano etc.) e a uma determinada taxa de juros i.
6.5.2 Prestação RA, em função de PA, de uma série de pagamentos iguais com 
termos antecipados
O cálculo da prestação R que, neste caso, se refere à série de pagamentos iguais com termos antecipados 
e, por isso, está sendo representado por RA, além de ser função do valor presente PA, envolverá também o 
termo (1 + i)n, como também o fator de recuperação de capital (FRC), como será demonstrado a seguir.
A prestação RA é obtida facilmente a partir da expressão do valor presente PA deduzido no item 
anterior, ou seja, a partir de
+ −
= ⋅ + ⋅
+ ⋅
n
A A n
(1 i) 1
P R (1 i)
(1 i) i
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
Essa expressão é utilizada para obter o valor presente PA quando são conhecidos o valor da 
prestação RA, a taxa de juros i e o número de prestações n. Quando a incógnita do problema é o valor 
das prestações, basta evidenciar RA na expressão 
+ −
= ⋅ + ⋅
+ ⋅
n
A A n
(1 i) 1
P R (1 i)
(1 i) i
, obtendo-se:
+ ⋅
= ⋅ ⋅
+ + −
n
A A n
1 (1 i) i
R P
(1 i) (1 i) 1
onde:
• 
+ ⋅
+ −
n
n
(1 i) i
(1 i) 1
 é o fator de recuperação de capital, representado por FRC(i,n).
Portanto, as duas formas de se calcular a prestação RA para termos antecipados são:
+ ⋅
= ⋅ ⋅
+ + −
n
A A n
1 (1 i) i
R P
(1 i)(1 i) 1
ou
= ⋅ ⋅
+A A
1
R P FRC(i,n)
(1 i)
6.5.3 Montante SA, em função de RA, de uma série de pagamentos iguais com 
termos antecipados
Os problemas relacionados ao cálculo do montante SA, em função de RA, de uma série de pagamentos 
iguais com termos antecipados, além de envolver a multiplicação por (1 + i)n, envolve também o fator 
de acumulação de capital (FAC), como será demonstrado a seguir.
Considera-se uma vez mais, como caso prático, a situação em que um aplicador realizou uma série de 
cinco aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 10.000,00 cada uma (RA = R$ 10.000,00), 
a uma taxa de 7% ao mês. Deseja-se calcular o montante, designado aqui por SA, sabendo-se que a 
primeira parcela é devida sempre na data zero, e que a última, no final do 4º mês, o que, desta vez, não 
é coincidente com a data em que se deseja calcular o montante. Portanto, os valores conhecidos são:
• R = R$ 10.000,00;
• n = 5 parcelas; e
• i = 7% ao mês.
O problema pode ser esquematizado conforme o fluxo de caixa seguir:
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R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
MONTANTE = SAT ?
0 1 2 3 4 5
R$ 10.000,00
Figura 41 – Fluxo de caixa para o cálculo do montante SAT
Para a solução deste problema, ou seja, calcular o montante SAT, o ponto de partida é a expressão de juros 
compostos dada por S = P . (1 + i)n. Utilizando o mesmo raciocínio utilizado para resolver problemas com 
um único pagamento, pode-se calcular o montante total por partes, ou seja, calcular o montante de cada 
prestação no final do 5º mês, individualmente, para depois somá-los. No final, o montante SAT será dado por:
SAT = S0 + S1 + S2 + S3 + S4
• Montante S0:
Considerando S = P . (1 + i)n e a parcela devida na data zero, chega-se no montante S0 da 
seguinte maneira:
S0 = P . (1 + i)n = 10.000,00 . (1 + 0,07)5 = 10.000,00 . 1,40255 = 14.025,52
onde o expoente 5 da expressão (1,07)5 representa o número de meses a decorrer entre a data da 
primeira aplicação e a data fixada para o cálculo do seu montante. Esquematicamente, tem-se:
S0 = R$ 14.025,52
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
5 meses
Figura 42 – Fluxo de caixa para o cálculo de S0
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
• Montante S1:
O montante S1, relativo à segunda parcela, é dado por:
S1 = P . (1 + i)n = 10.000,00 . (1 + 0,07)4 = 10.000,00 . 1,31080 = 13.108,00
onde o expoente 4 da expressão (1,07)4 representa o número de meses a decorrer entre a data da 
primeira aplicação e a data fixada para o cálculo do seu montante. Esquematicamente, tem-se:
S1 = R$ 13.108,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
4 meses
Figura 43 – Fluxo de caixa para o cálculo de S1
Essa mesma consideração é válida para todas as demais prestações.
• Montante S2:
O montante S2, relativo à segunda parcela, é dado por:
S2 = 10.000,00 . (1,07)3 = 10.000,00 . 1,22504 = 12.250,40
Esquematicamente, tem-se
S2 = R$ 12.250,40
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
3 meses
Figura 44 – Fluxo de caixa para o cálculo de S2
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Unidade II
• Montante S3:
O montante S3, relativo à terceira parcela, é dado por:
S3 = 10.000,00 . (1,07)2 = 10.000,00 . 1,14490 = 11.449,00
Esquematicamente, tem-se
S3 = R$ 11.449,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
2 meses
Figura 45 – Fluxo de caixa para o cálculo de S3
• Montante S4:
O montante S4, relacionado com a quarta parcela, e dado por:
S4 = 10.000,00 . (1,07)1 = 10.000,00 . 1,07 = 10.700,00
Esquematicamente, tem-se
S3 = R$ 10.700,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
1 mês
Figura 46 – Fluxo de caixa para o cálculo de S4
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
● Montante total SAT:
Em resumo, os montantes de cada um dos cinco cálculos são calculados a seguir:
Tabela 29 – Montante total do fluxo de caixa da figura do fluxo de caixa 
para o cálculo do montante SAT
Montante Expressão 
nS P (1 i)= ⋅ + Total
S0 10.000,00 . (1,07)5 10.000,00 . 1,40255 14,025,52
S1 10.000,00 . (1,07)4 10.000,00 . 1,31080 13.108,00
S2 10.000,00 . (1,07)3 10.000,00 . 1,22504 12.250,43
S3 10.000,00 . (1,07)2 10.000,00 . 1,14490 11.449,00
S4 10.000,00 . (1,07)1 10.000,00 . 1,07000 10.700,00
SAT SAT = S0 + S1 + S2 + S3 + S4 61.532,95
Portanto, uma série de cinco aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 10.000,00 cada 
uma, a uma taxa de 7% ao mês, dentro do conceito de séries de pagamentos com termos antecipados, 
resulta em um montante no final do 5º mês de
SAT = R$ 61.532,95
Entretanto, o cálculo do montante, como foi feito, é muito trabalhoso para ser aplicado a uma 
quantidade maior de prestações, por exemplo, quando envolver 100, 150 ou 300 prestações. Com base 
no cálculo de SAT é possível deduzir a fórmula que possibilita obter o montante total, ou simplesmente 
o montante S, para uma série de pagamentos ou recebimentos iguais e consecutivos com termos 
antecipados, de forma simplificada e rápida. Assim, partindo-se do fato que o montante S é calculado 
como em SAT = S0 + S1 + S2 + S3 + S4, ou seja:
SA = S0 + S1 + S2 + S3 + S4
Substituindo os valores, tem-se:
SA = 10.000,00 . (1,07)5 + 10.000,00 . (1,07)4 + 10.000,00 . (1,07)3 + 10.000,00 . (1,07)2 + 10.000,00 . (1,07)1
Verifica-se que, como o valor 10.000,00 é constante em todos os termos, ele pode ser colocado em 
evidência, resultando:
SA = 10.000,00 . [(1,07)5 + (1,07)4 + (1,07)3 + (1,07)2 + (1,07)1]
ou, ainda,
SA = 10.000,00 . [(1,07)1 + (1,07)2 + (1,07)3 + (1,07)4 + (1,07)5]
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Unidade II
onde o somatório dos termos entre parênteses pode ser calculado utilizando-se da fórmula da soma 
dos termos de uma progressão geométrica (PG), dada por:
⋅ −
=
−
n
1 1
PA
a q a
S
q 1
onde:
• SPG representa o somatório dos termos entre colchetes;
• a1 representa o primeiro termo da série;
• q é a razão; e
• n é o número de termos.
A análise da progressão geométrica (PG) cujo somatório dos termos e apresentado entre colchetes 
em SA = 10.000,00 . [(1,07)1 + (1,07)2 + (1,07)3 + (1,07)4 + (1,07)5] leva aos seguintes valores:
• a1 = (1,07)1 = 1,07;
• q = 1,07; e
• n = 5.
Substituindo-se o somatório dos termos entre colchetes em SA = 10.000,00 . [(1,07)1 + (1,07)2 + 
(1,07)3 + (1,07)4 + (1,07)5] pela fórmula 
⋅ −
=
−
n
1 1
PA
a q a
S
q 1
 chega-se a:
 ⋅ −⋅ −  = ⋅ = ⋅ =
−
 −
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 
  
55
A
5
1,07 (1,07) 11,07 (1,07) 1,07
S 10.000,00 10.000,00
1,07 1 0,07
(1,07) 1
10.000,00 1,07 10.000,00 1,07 5,750739 61.532,91
0,07
praticamente o mesmo resultado encontrado em SAT = R$ 61.532,95. Não é exatamente igual por 
questões de arredondamento.
Portanto, a fórmula para se calcular o montante SA, de uma série de pagamentos ou 
recebimentos iguais e consecutivos com termos antecipados, é encontrada substituindo, na expressão 
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
 ⋅ −⋅ −  = ⋅ = ⋅ =
−
 −
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 
  
55
A
5
1,07 (1,07) 11,07 (1,07) 1,07
S 10.000,00 10.000,00
1,07 1 0,07
(1,07) 1
10.000,00 1,07 10.000,00 1,07 5,750739 61.532,91
0,07
, os valores numéricos 
pelos respectivos valores algébricos. Realizada as substituições, chega-se na seguinte fórmula genérica:
 + −
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ 
  
n
A A A
(1 i) 1
S R (1 i) R (1 i) FAC(i,n)
i
onde se considerou:
• = + ⇒ − = + − =q 1 i q 1 (1 i) 1 i ; e
• 
+ −
=
n(1 i) 1
FAC(i,n)
i
.
Portanto, para resolver um problema onde se deseja calcular o montante de uma série 
de pagamentos com termos antecipados,basta multiplicar o valor obtido de S para termos 
postecipados por (1 + i). Assim, têm-se duas formas de se calcular o montante SA para 
termos antecipados, quais sejam
 + −
= ⋅ + ⋅  
  
n
A A
(1 i) 1
S R (1 i)
i
ou
SA = RA . (1 + i) . FAC(i,n)
Como já se sabe, o fator de acumulação de capital FAC(i,n) é tabelado para diversas taxas i e parcelas 
n. Ele representa o valor presente oriundo da aplicação de n parcelas de uma unidade de capital (real, 
dólar, euro etc.), em um determinado intervalo de tempo (semana, quinzena, mês, trimestre, semestre, 
ano etc.) e a uma determinada taxa de juros i.
Com a utilização do fator de acumulação de capital (FAC), que normalmente aparece tabelado na 
maioria dos livros de Matemática Financeira, a solução do problema é muito simples. Exemplificando, 
partindo-se dos dados do exemplo acima, ou seja:
• R = R$ 10.000,00;
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Unidade II
• n = 5 parcelas; e
• i = 7% ao mês.
Pode-se calcular o montante S da forma indicada como segue:
S = 10.000,00 . 1,07 . FAC(7%,5)
Na tabela financeira da taxa de juros de 7% encontra-se FAC(7%,5) na coluna FAC, e na linha 
referente a n = 5 (que neste caso representa 5 pagamentos mensais). O valor de FAC(7%,5) é 5,41632.
6.5.4 Prestação RA, em função de SA, de uma série de pagamentos iguais com 
termos antecipados
O cálculo da prestação R, que, neste caso, se refere à série de pagamentos iguais com termos 
antecipados e, por isso, está sendo representado por RA, além de ser função do montante SA, 
envolverá também o termo (1 + i)n, como também o fator de formação de capital (FFC), como será 
demonstrado a seguir.
A prestação RA é obtida facilmente a partir da expressão do montante SA deduzido no item anterior, 
ou seja, a partir de:
 + −
= ⋅ + ⋅  
  
n
A A
(1 i) 1
S R (1 i)
i
Essa expressão é utilizada para obter o montante SA quando são conhecidos o valor da prestação 
(RA), a taxa de juros (i) e o número de prestações (n). Quando a incógnita do problema é o valor das 
prestações, basta evidenciar RA na expressão 
 + −
= ⋅ + ⋅  
  
n
A A
(1 i) 1
S R (1 i)
i
, obtendo-se:
 
= ⋅ ⋅  + + − 
A A n
1 i
R S
(1 i) (1 i) 1
onde:
• 
+ −n
i
(1 i) 1
 é o fator de formação de capital, representado por FFC(i,n).
Portanto, as duas formas de se calcular a prestação RA para termos antecipados, em função de SA, são
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
 
= ⋅ ⋅  + + − 
A A n
1 i
R S
(1 i) (1 i) 1
ou
= ⋅ ⋅
+A A
1
R S FFC(i,n)
(1 i)
6.6 Renda perpétua
Denomina-se renda a sucessão de depósitos (capitalizações) ou de prestações (amortizações), em 
épocas distintas, destinadas a compor um capital ou pagar uma dívida.
Além disso, denomina-se termo da renda a cada um dos pagamentos ou recebimentos 
(prestações ou depósitos) associados à renda. Outro conceito relacionado é o período da renda, 
relativo ao intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos. 
Quando a renda for destinada à formação de um capital, esse capital será denominado montante 
da renda. Se o objetivo da renda for o pagamento de uma dívida, o valor da dívida será designado 
por valor atual da renda.
As rendas podem ser classificadas:
• Quanto ao número de termos:
— Renda temporária: renda com número limitado de termos. Exemplo: venda de um terreno 
financiado em 15 parcelas.
— Renda perpétua: renda com número ilimitado de termos. Exemplo: pagamento de direitos autorais.
• Quanto à dependência de fatores aleatórios:
— Renda certa: o número de termos, seus vencimentos e respectivos valores podem ser previamente 
calculados. Exemplo: prestações de uma compra a prazo.
— Renda incerta: pelo menos um dos elementos da renda (número de termos, vencimentos, valores) 
não pode ser previamente estabelecido. Exemplo: pagamento de uma pensão vitalícia.
• Quanto ao vencimento dos termos:
— Renda postecipada: quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período.
— Renda antecipada: quando os pagamentos ocorrem no início de cada período.
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Unidade II
— Renda diferida: quando o pagamento (ou recebimento) dos termos passa a ocorrer após 
determinado período de tempo (prazo de carência).
• Quanto à relação entre período e taxa:
— Renda inteira: o período da renda e o período da taxa são coincidentes.
— Renda fracionada: os períodos da renda e da taxa não são coincidentes.
• Quanto à periodicidade:
— Renda periódica: é aquela em que a frequência entre pagamentos é constante. Exemplo: 
aluguéis mensais.
— Renda não periódica: é aquela em que a frequência entre os pagamentos não é constante. 
Exemplo: venda de um bem a prazo, com pagamento de uma parcela à vista, a segunda parcela 
em 30 dias e a terceira parcela em 50 dias.
• Quanto aos valores dos termos:
— Renda constante: é aquela em que todos os pagamentos são de um mesmo valor. Exemplo: 
financiamento de um veículo em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas.
— Renda variável: é aquela em que os pagamentos não são do mesmo valor. Exemplo: parcelas de 
um consórcio.
Analisando essa classificação, observa-se que se o número de termos de uma renda for ilimitado 
a renda terá a designação de perpétua, ou dir-se-á tratar-se de uma perpetuidade. O termo 
perpetuidade sugere fluxos de duração infinita. É mais apropriado dizer que uma perpetuidade 
se constitui de um conjunto de rendas cujo número não pode ser determinado exatamente, pois 
é muito grande e tende ao infinito. No caso de uma renda perpétua, falar de valor futuro ou 
acumulado não faz qualquer sentido.
Analogamente aos cálculos desenvolvidos anteriormente, para o cálculo de rendas perpétuas que, 
como o próprio nome define, não tem prazo para acabar ( → ∞n ) e, portanto, não há montante a ser 
calculado, deve-se efetuar o cálculo do capital inicial C necessário para gerar um valor R, denominado 
aqui por RP (iniciais de renda perpétua), tratando-se de uma renda periódica, baseada na taxa de juros 
i e no capital inicial C, capital este que não será capitalizado nem depreciado.
Portanto, partindo-se da expressão 
+ −
= ⋅
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
P R
(1 i) i
, com as devidas mudanças (P = C e R = RP) e 
com n tendendo ao infinito, tem-se:
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
→∞ →∞
−
+ − += ⋅ = ⋅ =
+ ⋅
n n
nn n
1
1
(1 i) 1 RP(1 i)
C lim RP lim RP
i i(1 i) i
Assim, a expressão que relaciona a renda perpétua RP e o capital C resulta:
RP = C . i
ou, no caso de C ser a incógnita, tem-se:
=
RP
C
i
Por exemplo, um agricultor arrendou um terreno por R$ 1.000,00/mês para sempre. Supondo uma 
taxa de juros seja de 12,69% ao ano, qual será o valor presente do terreno?
Os valores conhecidos são:
• RP = R$ 1.000,00; e
• i = 12,69% ao ano.
O primeiro passo é calcular a taxa equivalente mensal, conforme a seguir:
+ = +
+ = + =
+ =
+ =
= −
= =
12 1
m a
12
m
12
m
m
m
m
(1 i ) (1 i )
(1 i ) 1 0,1269 1,1269
1 i 1,1269
1 i 1,01
i 1,01 1
i 0,01 1% a.m.
Em seguida, substituímos os valores na expressão a seguir, resultando:
=
=
=
RP
C
i
R$1.000,00
C
0,01
C R$100.000,00
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Unidade II
Ressalta-se que o cálculo demonstrado em 
→∞ →∞
−
+ − += ⋅ = ⋅ =
+ ⋅
n n
nn n
1
1
(1 i) 1 RP(1 i)
C lim RP lim RP
i i(1 i) i
 
refere-se a uma série de pagamentos iguais com termos vencidos (ou postecipados), onde se considerou 
n tendendo ao infinito. Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos 
que somar uma parcela (prestação inicial) na expressão =RP
C
i
, resultando:
= + = ⋅ + = ⋅ +A
RP 1 RP
C RP RP (1 ) (1 i)
i i i
Caso fosse considerado, no exemplo anterior, que a prestação seria paga no início do período 
(antecipada), o valor seria:
= ⋅ + = ⋅ =A
RP
C (1 i) R$100.000,00 1,01 R$101.000,00
i
Outro problema importante refere-se à situação que envolve um período de carência de n períodos 
(tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada ao presente, utilizando a 
expressão = ⋅
+ n
1
P S
(1 i)
. A figura a seguir representa a situação, onde se tem dois períodos de carência.
RP RP RP RP
0
RP
i
RP
i
1
(1+i)2
1 2 3 4 5
∞
Figura 47 – Fluxo de caixa envolvendo de carência
Portanto, a expressão para o cálculo do capital inicial C necessário para gerar uma renda perpetua 
RP com n períodos de carência resulta:
−= ⋅ + nRP
C (1 i)
i
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
Finalmente, quando a renda for antecipada e existir um período de carência, tem-se:
− −= ⋅ + ⋅ + = ⋅ +n 1 n
A
RP RP
C (1 i) (1 i) (1 i)
i i
 Resumo
Considerando os índices fornecidos mensalmente e por existir a 
necessidade de se ter, por exemplo, o valor anual equivalente aos 12 valores 
mensais, existe uma expressão para o cálculo da taxa de juros acumulada:
= + ⋅ + ⋅ ⋅ + −1 2 n
acumulada
i i i
i (1 ) (1 ) ... (1 ) 1
100 100 100
Esse desenvolvimento pode ser estendido para o cálculo da inflação 
acumulada cac num determinado período, a partir da inflação em cada 
período (c1, c2, ..., cn), resultando:
= + ⋅ + ⋅ ⋅ + −1 2 n
ac
c c c
c (1 ) (1 ) ... (1 ) 1
100 100 100
A inflação média no período pode ser calculada utilizando-se os 
conceitos de equivalência, resultando:
 = + − 
 
1 n
ac
media
c
c 1 1
100
As taxas de juros são classificadas de formas diferentes de acordo com o 
tipo de avaliação percentual que está sendo feita. Neste livro enfatizam-se 
as taxas nominais e taxas reais. Considerando que os juros representam o 
rendimento real obtido, eles são denominados juros reais. Os juros reais 
somados à correção monetária são os juros nominais. A expressão que 
relaciona a taxa de juros nominal (iN), taxa de juros real (iac) e a correção 
monetária (cac), num determinado período, é:
(1 + iN) = (1 + iac) . (1 + cac)
Para o cálculo da taxa de juros nominal, num determinado período, tem-se:
iN = (1 + iac) . (1 + cac) – 1
Uma série de pagamentos é composta por operações financeiras, em 
um determinado período, definidas pela sucessão de recebimentos ou 
pagamentos (prestações), representando depósitos ou retiradas vinculados 
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a algum investimento ou dívida. Cada termo da série de pagamentos ou 
recebimentos iguais será representado por R. Além disso, S é o montante, 
expresso em unidades monetárias ($); P é o principal, capital inicial, valor 
atual ou valor presente, expresso em unidades monetárias ($); i é a taxa 
de juros expressa em forma percentual (%); e n é o número de prestações, 
podendo ser qualquer unidade de tempo. A tabela a seguir apresenta os 
fatores da série de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados:
Tabela 30 – Fatores da série de pagamentos iguais 
com termos vencidos ou postecipados
Fator de acumulação 
de capital
Fator de formação 
de capital Fator de valor atual Fator de recuperação 
de capital
FAC FFC FVA FRC
n(1 i) 1
i
+ −
n
i
(1 i) 1+ −
n
n
(1 i) 1
(1 i) i
+ −
+ ⋅
n
n
(1 i) i
(1 i) 1
+ ⋅
+ −
No caso de série de pagamentos iguais com termos antecipados, cada termo 
da série de pagamentos ou recebimentos iguais será representado por RA (A de 
antecipado), sendo que eles agora ocorrem no início de cada período unitário 
(primeira prestação devida na data zero). Além disso, o valor presente será 
representado por PA e o montante por SA. A tabela a seguir apresenta as expressões 
para os cálculos da série de pagamentos iguais com termos antecipados.
Tabela 31 – Fatores da série de pagamentos iguais com termos antecipados
Valor presente PA
em função de RA
 + −
= ⋅ + ⋅  
+ ⋅  
n
A A n
(1 i) 1
P R (1 i)
(1 i) i
= ⋅ + ⋅A AP R (1 i) FVA(i,n)
Prestação RA,
em função de PA
 + ⋅
= ⋅ ⋅  
+ + −  
n
A A n
1 (1 i) i
R P
(1 i) (1 i) 1
= ⋅ ⋅
+A A
1
R P FRC(i,n)
(1 i)
Montante SA,
em função de RA
 + −
= ⋅ + ⋅  
  
n
A A
(1 i) 1
S R (1 i)
i
= ⋅ + ⋅A AS R (1 i) FAC(i,n)
Prestação RA,
em função de SA,
 
= ⋅ ⋅  + + − 
A A n
1 i
R S
(1 i) (1 i) 1
= ⋅ ⋅
+A A
1
R S FFC(i,n)
(1 i)
Denomina-se renda a sucessão de depósitos (capitalizações) ou de 
prestações (amortizações), em épocas distintas, destinadas a compor um 
capital ou pagar uma dívida. Observa-se que, se o número de termos de 
uma renda for ilimitado, a renda terá a designação de perpétua, ou dir-se-á 
tratar-se de uma perpetuidade. O termo perpetuidade sugere fluxos 
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
de duração infinita. É mais apropriado dizer que uma perpetuidade se 
constitui de um conjunto de rendas cujo número não pode ser determinado 
exatamente, pois é muito grande e tende ao infinito. No caso de uma renda 
perpétua, falar de valor futuro ou acumulado não faz qualquer sentido. 
A expressão que relaciona a renda perpétua RP e o capital C é:
RP = C . i
ou, no caso de C ser a incógnita, tem-se:
=
RP
C
i
 Exercícios
Questão 1 (Enade 2012). As decisões de investimentos e financiamentos de uma empresa são 
tomadas usando as técnicas tanto do valor futuro quanto do valor presente, isto é, levando-se para 
uma mesma data-base os valores financeiros já ocorridos e os valores ainda por ocorrer, mediante a 
aplicação de uma taxa de atratividade.
ASSAF NETO, A.; LIMA, F.G. Fundamentos de administração financeira.
São Paulo: Atlas, 2010, p. 40 (com adaptações).
Suponha que, há exatamente três meses, uma empresa contraiu um empréstimo de determinado 
valor para ser quitado no prazo de cinco meses, em duas parcelas, sendo uma parcela de valor R1 
no 2º mês e outra parcela de valor R2 no final do 5º mês. Em ambas as parcelas, já estão incluídos 
os juros praticados na operação, calculados a uma taxa de juros compostos i, a mesma utilizada 
para reajustar parcelas em atraso e realizar desconto em parcelas pagas antecipadamente. Devido a 
imprevistos surgidos, a primeira parcela ainda não foi paga, mas a empresa está disposta a quitá-la 
hoje, juntamente com a parcela R2 ainda por vencer, de modo que as duas parcelas, somadas, resultem 
no valor total Rt.
Tendo em vista que parte do total Rt é valor futuro em relação à parcela R1 e a outra parte é valor 
presente em relação à parcela R2, o valor Rt é obtido pela expressão:
A) ( )= + +
+
3 2
t 1
R
R R 1 i
1 i
B) ( )
( )
= + +
+
1
t 2 3
R
R R 1 i
1 i
C) ( )
( )
= + +
+
3 2
t 1 2
R
R R 1 i
1 i
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D) ( ) ( )
= + +
+
2 1
t 2
R
R R 1 i
1 i
E) ( )
( )
= + +
+
2
t 1 2
R
R R 1 i
1 i
Resposta correta: alternativa E.
Resolução da questão
Inicialmente, construímos um diagrama de fluxo de caixa para representar o empréstimo 
contraído C e o pagamento das parcelas. Temos o empréstimo contraído no mês 0, a primeira 
parcela R1, com pagamento para o mês 2, e a segunda parcela R2, para o mês 5, conforme 
indicado a seguir.
C
0 1 2
R1 R2
3 4 5
Figura 48 
A empresa deseja pagar as duas parcelas no mês 3. Logo, devemos calcular o valor futuro da parcela R1 no 
mês 3 e o valor presente da parcela R2 no mesmo mês. A correção por juros compostos é feita à taxa de juros i.
Para o cálculo do valor futuro da parcela R1, devemos considerar um período de um mês, do mês 2 
para o mês 3. Logo:
= + = +1
1 1 1S R (1 i) R (1i)
Para o cálculo do valor presente da parcela R2, devemos considerar um período de dois meses, do 
mês 5 para o mês 3. Logo:
= + ⇔ =
+
2 2
2 2 2 2
R
R S (1 i) S
(1 i)
Somando-se a contribuição devido à quitação de cada parcela, chegamos à parcela total Rt, que 
deve ser paga no mês 3, conforme indicado a seguir:
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
= + = + +
+
2
t 1 2 1 2
R
R S S R (1 i)
(1 i)
Questão 2 (Enade 2012). A taxa real e a taxa nominal ou aparente estão diretamente ligadas ao 
fenômeno da inflação. Denomina-se taxa de juros real aquela obtida após se eliminar o efeito da inflação, 
e taxa de juros aparente (nominal) aquela com inflação embutida.
PUCCINI, A. de L., PUCCINI, A. Matemática financeira: objetiva e aplicada.
São Paulo: Saraiva, 2006, p. 68 (adaptado).
Considerando os conceitos descritos acima, suponha que um capital de R$100,00 seja aplicado 
durante 1 mês, à taxa de juros reais de 10% ao mês. Se ocorrer inflação de 20% no mesmo período, o 
ganho aparente proporcionado por essa aplicação ao final do mês será de:
A) R$ 8,00.
B) R$ 10,00.
C) R$ 20,00.
D) R$ 30,00.
E) R$ 32,00.
Resolução desta questão na plataforma.o governo extinguiu a OTN e proibiu a indexação. 
Durou pouco. No mês de maio daquele ano, criou o Bônus do Tesouro Nacional (BTN), com valor de Cr$ 1,00 
retroativo ao mês de fevereiro, que seria utilizado pelos agentes do mercado financeiro como o principal 
indexador da economia até sua extinção em fevereiro de 1991. Além do BTN, vários outros indexadores 
passaram a ser utilizados naquela época, destacando-se o Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M), 
calculado pela FGV a partir de junho de 1989 a pedido da Federação Brasileira de Bancos (Febraban), a taxa 
CDI (taxa média de variação dos negócios realizados com Certificados de Depósitos Interbancários) e a Taxa 
Anbid (taxa média dos negócios realizados com Certificados de Depósitos Bancários – CDB calculada pela 
Associação Nacional dos Bancos de Investimentos e Desenvolvimento). Com exceção do IGP-M, todos os 
indexadores relacionados tinham variações diárias. Em fevereiro de 1991, o governo decidiu novamente 
acabar com a indexação para prazos inferiores a um ano, extinguindo o BTN. Obviamente, não deu certo. 
Criou então a chamada Taxa Referencial de Juros, popularmente conhecida por TR. Tratava-se de uma 
taxa mensal calculada com base nas taxas médias praticadas pelo mercado em negócios com CDB e RDB 
com rendimentos prefixados, realizados nos seis primeiros dias úteis de cada mês de referência, 
excluído um rendimento real de 2%; a taxa equivalente ao dia, considerando-se o número de dias 
úteis contidos no mês, foi denominada Taxa Referencial Diária (TRD).
Esse novo indexador diário, sem dúvida o mais importante no período contado desde sua criação até 
sua extinção em maio de 1993, somente não teve utilização mais ampla devido a uma decisão equivocada 
do Supremo Tribunal Federal (STF), que considerou a TR uma taxa de juro e não um indexador. Em janeiro 
de 1992, o governo criou mais um indexador diário: a Unidade Fiscal de Referência (UFIR) que, como o 
próprio nome já diz, seria utilizada para efeitos do fisco, ou seja, para atualizar impostos ou valores de 
ativos e passivos, de pessoas físicas ou jurídicas, para controle do patrimônio e incidência do Imposto de 
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Renda; o valor inicial da UFIR, de Cr$ 597,06, foi obtido a partir do último valor publicado para o BTN, 
de Cr$ 126,8621, atualizado pela variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), do IBGE. 
Portanto, o governo apenas mudou o nome do indexador de BTN para UFIR e limitou sua utilização.
Em maio de 1993, o Banco Central extinguiu a TR mensal e a diária, mas criou uma nova. Essa nova 
TR consistia numa média móvel das taxas praticadas pelo mercado financeiro em negócios realizados 
com CDB/RDB referentes a três dias úteis consecutivos, excluído um rendimento real de 1,8%; essa nova 
TR seria utilizada apenas para atualizar valores nas respectivas datas-bases, ou seja, se um empréstimo 
fosse contratado no dia 5 de certo mês, somente no dia 5 do mês seguinte esse empréstimo assumiria a 
variação integral representada pela TR.
Em 27 de julho de 1994, o Banco Central processou mais uma mudança no critério de cálculo da 
TR, o qual vigora até os dias atuais: passou a ser calculada com base a média das taxas praticadas pelo 
mercado com CDB/RDB, correspondente ao dia de referência, excluído um rendimento real de 1,2%. As 
duas últimas modificações introduzidas no cálculo desse indexador aumentaram ainda mais o grau de 
confusão existente. Finalmente, em março de 1994, o governo criou mais um indexador, a Unidade Real 
de Valor (URV), com valor inicial de CR$ 547,50, correspondente a 1 dólar comercial na data de 1º de 
março de 1994, e que no dia 1° de julho de 1994 se transformou em moeda, ganhando o nome de Real.
5.3 Índices atuais
Como já foi mencionado, os índices de inflação são usados para medir a variação dos preços e o impacto 
no custo de vida das pessoas. É importante ressaltar que a inflação que as pessoas percebem no dia a dia é, 
de uma maneira geral, bem maior que o índice oficial divulgado periodicamente. Isso é normal e não quer 
dizer que o dado oficial seja manipulado. A explicação está no fato que o índice geral é calculado com base 
numa cesta de centenas de produtos, como produtos alimentícios (banana, cebola, tomate, arroz, feijão etc.), 
produtos de higiene pessoal (sabonete, pasta de dente etc.) e produtos eletrônicos (celular, por exemplo). Essa 
cesta varia conforme o índice (IPCA, INPC, IGP-M). Por exemplo, no IPCA, a inflação “oficial” do país, são mais 
de 400 itens. Cada item dessa lista tem um peso relativo no índice geral. Se o preço do feijão sobe 50%, o 
consumidor paga esse aumento, mas a inflação geral não será de 50%, porque o feijão tem uma determinada 
influência na cesta, mas existem muitos outros produtos a serem considerados nessa conta.
Existem diferentes índices no Brasil. Além de cada um ter uma metodologia diferente de medição, 
ela é feita por diversos órgãos especializados, como o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
(IBGE), a Fundação Getúlio Vargas (FGV) e a Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe). Entre 
as diferenças de método estão os dias em que os índices são apurados, os produtos incluídos, o peso 
relativo de cada item na composição geral e a faixa de população estudada.
Por exemplo, o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) é medido pelo IBGE entre os 
dias 1º e 30 de cada mês. A pesquisa é realizada em estabelecimentos comerciais, prestadores de serviços, 
domicílios (para verificar valores de aluguel) e concessionárias de serviços públicos. Os preços obtidos 
são os efetivamente cobrados ao consumidor, para pagamento à vista. São considerados nove grupos 
de produtos e serviços: alimentação e bebidas; artigos de residência; comunicação; despesas pessoais; 
educação; habitação; saúde e cuidados pessoais; transportes e vestuário. Eles são subdivididos em outros 
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Unidade II
itens. Ao todo, são consideradas as variações de preços de 465 subitens. O indicador reflete o custo de 
vida de famílias com renda mensal de 1 a 40 salários mínimos, qualquer que seja a fonte, residentes nas 
regiões metropolitanas de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Porto Alegre, Curitiba, Salvador, 
Recife, Fortaleza, Belém e Vitória, além dos municípios de Goiânia, Campo Grande, Rio Branco, São Luís, 
Aracaju e de Brasília. É utilizado pelo Banco Central como medidor oficial da inflação do país. O governo 
usa o IPCA como referência para verificar se a meta estabelecida para a inflação está sendo cumprida.
O Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) é medido pelo IBGE desde 1979. Ele é obtido 
a partir dos Índices de Preços ao Consumidor regionais e tem como objetivo oferecer a variação dos 
preços no mercado varejista, mostrando, assim, o aumento do custo de vida da população. Como 
esse índice mede uma faixa salarial mais baixa que o IPCA (até 5 salários mínimos, diante dos 40 
salários mínimos do IPCA), a alteração de preços de serviços e produtos mais básicos é mais sentida 
nesse índice. O peso do grupo alimentos (arroz, feijão, leite, frutas, refeições feitas em restaurantes, 
lanchonetes) é maior no INPC que no IPCA. Logo, uma variação nesse grupo tem um impacto maior 
no INPC. Além disso, o gás de cozinha (dentro do grupo habitação) e o preço das passagens de 
ônibus (dentro do grupo transporte) também têm maior peso no INPC. Já os aumentos ou quedas 
nos preços de automóveis e da gasolina têm maior peso no IPCA, porque não são itens de consumo 
tão importante nas faixas de menor renda. O período de coleta do INPC vai do dia 1º ao dia 30 ou 31, 
dependendo do mês. A pesquisa é realizada em estabelecimentos comerciais, prestadores de serviços, 
domicílios (para verificar valores de aluguel) e concessionáriasde serviços públicos. Os preços obtidos 
são os efetivamente cobrados do consumidor, para pagamento à vista. São considerados nove grupos 
de produtos e serviços: alimentação e bebidas; artigos de residência; comunicação; despesas pessoais; 
educação; habitação; saúde e cuidados pessoais; transportes e vestuário. Eles são subdivididos em 
outros itens. Ao todo, são consideradas as variações de preços de 465 subitens.
Outro exemplo é o Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M), monitorado pela FGV. Ele registra a inflação 
de preços variados, desde matérias-primas agrícolas e industriais até bens e serviços finais, sendo muito 
utilizado na correção de aluguéis e tarifas públicas, como conta de luz. Serve para todas as faixas de renda.
Existem outros índices que não estão descritos aqui, mas também são importantes. Por exemplo, 
o Índice Nacional de Custo da Construção (INCC), produzido pela Fundação Getúlio Vargas (FGV), 
é o principal indicador de custo da construção civil no Brasil. O índice mede a evolução dos custos 
de construções habitacionais nas 18 principais capitais de estados do país.
 Saiba mais
O site do Banco Central do Brasil apresenta diversas informações 
econômicas, inclusive um acervo muito relevante dos índices 
financeiros brasileiros:
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5.4 Cálculo da taxa de juros acumulada
Como já foi mencionado, algumas situações cotidianas envolvem a variação dos preços de 
mercadorias. As variações podem ocorrer no sentido de os preços aumentarem ou diminuírem, ocorrendo, 
respectivamente, inflação ou deflação. É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços, 
envolvendo índices percentuais. Caso um determinado produto seja reajustado continuamente, temos a 
incidência de vários índices percentuais sobre o preço original. Nesse caso, dizemos que a incidência desses 
índices, sucessivas vezes, é chamada de taxa de juros acumulada. Existe uma expressão matemática para o 
cálculo da taxa de juros acumulada que, na verdade, é utilizada no cálculo de qualquer índice acumulado.
A dedução da expressão do cálculo da taxa de juros acumulada pode ser conduzida considerando 
uma situação hipotética envolvendo, por exemplo, os valores de um índice qualquer durante os quatro 
primeiros meses do ano, conforme mostrado na tabela a seguir:
Tabela 18 – Valores de um índice genérico durante os 
 quatro primeiros meses do ano
Mês Índice (%)
Janeiro jani
Fevereiro fevi
Março mari
Abril abri
Ressalta-se que sempre será considerada a expressão geral para cálculo de juros compostos, dada por:
M = C . (1 + i)n
onde:
• M é o montante, expresso em unidades monetárias ($);
• C é o capital inicial ou principal, expresso em unidades monetárias ($);
• i é a taxa de juros, expressa em forma percentual (%); e
• n é o número de períodos em que o capital C (capital inicial) foi aplicado, podendo ser qualquer 
unidade de tempo (dia, mês, bimestre, semestre, ano, entre outros).
Como o cálculo será realizado mês a mês, ou seja, n = 1, tem-se:
M = C . (1 + i)
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ou, evidenciando a taxa de juros (i), pode-se escrever:
= −
M
i 1
C
Considerando, ainda, que em cada período (neste caso o período é mensal) pode-se considerar 
M = VFINAL = VF e C = VINICIAL = VI (V de valor), tem-se:
= −F
I
V
i 1
V
A ideia é encontrar uma expressão para VF/VI utilizando os valores da tabela anterior. O cálculo é 
mostrado a seguir:
Tabela 19 – Cálculo da taxa acumulada
Mês Cálculo da taxa Acumulada
Janeiro
Início 
do mês = =( jan)
IIV V Valor Inicial ou Capital Inicial
Final 
do mês = ⋅ + = ⋅ +jan jan( jan) ( jan)
IF I
i i
V V (1 ) V (1 )
100 100
Fevereiro
Início 
do mês = = ⋅ + jan(fev) ( jan)
I IF
i
V V V (1 )
100
Final 
do mês = ⋅ + = ⋅ + ⋅ +jan(fev) (fev) fev fev
F I I
ii i
V V (1 ) V (1 ) (1 )
100 100 100
Março
Início 
do mês = = ⋅ + ⋅ +jan(mar) (fev) fev
I F I
i i
V V V (1 ) (1 )
100 100
Final 
do mês = ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ +jan(mar) (mar) mar fev mar
F I I
ii i i
V V (1 ) V (1 ) (1 ) (1 )
100 100 100 100
Abril
Início 
do mês = = ⋅ + ⋅ + ⋅ +jan(abr) (mar) fev mar
I F I
i i i
V V V (1 ) (1 ) (1 )
100 100 100
Final 
do mês = ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +jan(abr) (abr) abr fev mar abr
F I I
ii i i i
V V (1 ) V (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
100 100 100 100 100
Como essa dedução considera apenas os quatro primeiros meses do ano, =(abr)
F FV V . Ao se fazer a 
substituição na última expressão da tabela que acabamos de apresentar, tem-se:
= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +jan(abr) fev mar abr
F F I
i i i i
V V V (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
100 100 100 100
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ou
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +jan fev mar abrF
I
i i i iV
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
V 100 100 100 100
Substituindo = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +jan fev mar abrF
I
i i i iV
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
V 100 100 100 100
 em = −F
I
V
i 1
V
 e considerando que a taxa 
obtida é a taxa acumulada no período (iacumulada), obtêm-se:
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + −jan fev mar abr
acumulada
i i i i
i (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
100 100 100 100
Generalizando para n períodos, tem-se:
= + ⋅ + ⋅ ⋅ + −1 2 n
acumulada
i i i
i (1 ) (1 ) ... (1 ) 1
100 100 100
A tabela a seguir apresenta o Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M) para os quatro primeiros 
meses de um determinado ano. Deseja-se calcular o IGP-M acumulado nesses quatro meses.
Tabela 20 – Valores de um índice genérico durante os quatro primeiros meses do ano
Mês Índice (%)
Janeiro 1,14
Fevereiro 1,29
Março 0,51
Abril 0,33
Solução:
Substituindo os valores da tabela na expressão = + ⋅ + ⋅ ⋅ + −1 2 n
acumulada
i i i
i (1 ) (1 ) ... (1 ) 1
100 100 100
, tem-se:
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + −
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + −
= ⋅ ⋅ ⋅ −
= − =
jan fev mar abr
acumulada
acumulado
acumulado
acumulado
i i i i
i (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
100 100 100 100
1,14 1,29 0,51 0,33
IGPM (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
100 100 100 100
IGPM 1,0114 1,0129 1,0051 1,0033 1
IGPM 1,03307 1 0,03307
IGP =acumuladoM 3,307 %
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É importante observar que esse resultado é diferente da soma dos quatro valores, que resulta: 
= + + + =∑índices 1,14 1,29 0,51 0,33 3,27 % .
O desenvolvimento que acabamos de demonstrar serve para calcular a inflação acumulada num 
determinado período, ao considerar:
• cac = inflação acumulada no período (n) em questão, expressa na forma percentual (%); e
• cj = inflação em cada período (c1, c2, ..., cn), também expressa na forma percentual (%).
Assim, a expressão = + ⋅ + ⋅ ⋅ + −1 2 n
acumulada
i i i
i (1 ) (1 ) ... (1 ) 1
100 100 100
torna-se:
= + ⋅ + ⋅ ⋅ + −1 2 n
ac
c c c
c (1 ) (1 ) ... (1 ) 1
100 100 100
A inflação média no período pode ser calculada utilizando-se os conceitos de equivalência, resultando:
 = + − 
 
1 n
ac
media
c
c 1 1
100
Além disso, pode-se calcular o montante relativo à correção monetária em um determinado período 
utilizando-se da expressão de juros compostos, dada por M = C . (1 + i), resultando:
M = C . (1 + cac)
A tabela a seguir apresenta os índices do IPCA para o primeiro semestre de 2018. Considerando esse 
índice como parâmetro para o cálculo da inflação, deseja-se calcular o IPCA acumulado no período 
(inflação acumulada), a inflação média no período e a correção monetária de um valor de R$ 1.000,00, 
de 31 de dezembro de 2017 a 30 junho de 2018.
Tabela 21 – IPCA do primeiro semestre de 2018
Mês IPCA (%)
Janeiro 0,29
Fevereiro 0,32
Março 0,09
Abril 0,22
Maio 0,40
Junho 1,26
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Solução:
•Inflação acumulada:
Substituindo os valores da tabela na expressão = + ⋅ + ⋅ ⋅ + −1 2 n
ac
c c c
c (1 ) (1 ) ... (1 ) 1
100 100 100
, tem-se:
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + −
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + −
= − =
=
3 5 61 2 4
ac
ac
ac
ac
c c cc c c
c (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
100 100 100 100 100 100
0,29 0,32 0,09 0,22 0,40 1,26
c (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
100 100 100 100 100 100
c 1,026034 1 0,026034
c 2,6034 %
Inflação média:
A inflação média é calculada utilizando 
 = + − 
 
1 n
ac
media
c
c 1 1
100
, com n = 6, resultando:
 = + − 
 
 = + − 
 
=
=
1 n
ac
media
1 6
media
media
media
c
c 1 1
100
2,6034
c 1 1
100
c 0,0043
c 0,43 %
 = + − 
 
 = + − 
 
=
=
1 n
ac
media
1 6
media
media
media
c
c 1 1
100
2,6034
c 1 1
100
c 0,0043
c 0,43 %
• Correção monetária:
A correção monetária de um valor de R$ 1.000,00, de 31 de dezembro de 2017 a 30 junho de 2018, 
é calculada utilizando-se M = C . (1 + cac). Portanto, substituindo-se os valores, obtém-se:
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
=
acM C (1 c )
2,6034
M 1.000,00 (1 )
100
M 1.000,00 1,026034
M R$1.026,03
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5.5 Taxa de juros nominal e taxa de juros real
Um dos elementos principais em Matemática Financeira e Engenharia Econômica é a taxa de juros. 
Ela corresponde à taxa de remuneração do capital em um determinado período.
As taxas de juros são classificadas de formas diferentes de acordo com o tipo de avaliação percentual 
que está sendo feita. Neste livro enfatizam-se as taxas nominais e taxas reais.
A taxa nominal é a taxa calculada com base no valor nominal da aplicação ou do empréstimo, ou 
seja, com base no valor explicitado no título ou no contrato. Caso ela seja conhecida, pode-se afirmar 
que é a taxa que incide sobre o valor nominal da aplicação ou do empréstimo. Por exemplo, se um banco 
lhe oferece um fundo de investimento que remunera 20% ao ano, essa é a taxa nominal.
A taxa real é a taxa calculada com base no valor efetivamente aplicado ou emprestado, corrigido 
monetariamente pela inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do empréstimo até o dia 
do seu resgate ou vencimento.
Considerando que os juros representam o rendimento real obtido, eles são denominados juros reais. 
Os juros reais somados à correção monetária são os juros nominais.
Juros nominal
Juros real
Correção monetária
+
Figura 11 – Relação entre juros nominal, juros real e correção monetária
A expressão que relaciona a taxa de juros nominal (iN), taxa de juros real (iac) e a correção monetária 
(cac), num determinado período, é:
(1 + iN) = (1 + iac) . (1 + cac)
Para o cálculo da taxa de juros nominal, num determinado período, deve-se colocar em evidência iN 
em (1 + iN) = (1 + iac) . (1 + cac), resultando:
iN = (1 + iac) . (1 + cac) – 1
Veja um exemplo:
Considerando novamente a tabela com os índices do IPCA para o primeiro semestre de 2018 e 
sabendo-se que determinada aplicação rende juros reais de 0,5% ao mês mais correção monetária 
segundo o IPCA, deseja-se calcular:
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• Taxa de juros nominal em maio de 2018:
Substituindo na expressão iN = (1 + iac) . (1 + cac) – 1, o valor do IPCA de maio e o valor dos juros reais 
(iac = 0,5%), tem-se:
= + ⋅ + −
= + ⋅ + −
= ⋅ − = −
= =
N ac ac
N
N
N
i (1 i ) (1 c ) 1
i (1 0,005) (1 0,004) 1
i (1,005) (1,004) 1 1,00902 1
i 0,00902 0,902%
• Taxa de juros real acumulada no primeiro semestre de 2018:
Utilizando o conceito de equivalência, tem-se:
 
= + −  
 
 = + − = − 
 
=
=
6(m)
(s) ac
ac
6
(s)
ac
(s)
ac
(s)
ac
i
i 1 1
100
0,5
i 1 1 1,03038 1
100
i 0,03038
i 3,038 %
 
= + −  
 
 = + − = − 
 
=
=
6(m)
(s) ac
ac
6
(s)
ac
(s)
ac
(s)
ac
i
i 1 1
100
0,5
i 1 1 1,03038 1
100
i 0,03038
i 3,038 %
• Taxa de juros nominal acumulada no primeiro semestre de 2018:
Considerando (S)
acc 2,6034%= , calculado no exemplo anterior, bem como =(s)
aci 3,038 % , que 
acabamos de calcular, basta substituir esses valores em iN = (1 + iac) . (1 + cac) – 1 para calcular a taxa de 
juros nominal acumulada no primeiro semestre de 2018. Portanto, substituindo-se os valores, obtém-se
= + ⋅ + −
= + ⋅ + −
= ⋅ − = −
= =
N ac ac
N
N
N
i (1 i ) (1 c ) 1
i (1 0,03038) (1 0,026034) 1
i (1,03038) (1,026034) 1 1,057205 1
i 0,057205 5,7205 %
• Montante em 30 de junho de 2018 para um capital de R$ 1.000,00 aplicado em 31 de dezembro 
de 2017:
Considerando o resultado anterior (iN = 5,7205%) e a expressão M = C . (1 + cac), tem-se
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= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
=
NM C (1 i )
M 1.000,00 (1 0,057205)
M 1.000,00 1,057205
M R$1.057,20
6 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Uma série de pagamentos é composta por operações financeiras, em um determinado período, 
definidas pela sucessão de recebimentos ou pagamentos (prestações), representando depósitos 
ou retiradas vinculados a algum investimento ou dívida. O fluxo dessas operações financeiras é 
chamado de fluxo de caixa e é representado por uma linha no tempo, com as respectivas retiradas 
e inserções de capital. Em geral, essas séries estão sujeitas a uma taxa de juros específica e fixa, 
mas pode haver variação na taxa, de acordo com a série.
As séries uniformes são aquelas em que os pagamentos ocorrem periodicamente (a cada período 
fixo) e estão sujeitas à mesma taxa de juros. Quando uma pessoa financia um automóvel, uma 
televisão, um fogão, uma geladeira, um pacote de viagens ou qualquer outro bem ou serviço em 
prestações mensais e iguais, por exemplo, a série de pagamentos é dita uniforme. De maneira geral, 
uma série de pagamentos é dita uniforme quando as quantias têm o mesmo valor e estão igualmente 
distribuídas no tempo.
6.1 Fluxo de caixa
O fluxo das operações financeiras conforme mencionado é chamado de fluxo de caixa. Entende-se, 
portanto, que fluxo de caixa é uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos, em dinheiro, previstos 
para determinado período de tempo. Essa relação de pagamentos e recebimentos envolve o compromisso 
que uma organização (pessoa jurídica) ou mesmo uma pessoa física deverá honrar ou ao qual deverá 
fazer jus num determinado intervalo de tempo.
 Observação
Um conceito essencial para a solução de problemas da Matemática 
Financeira, discutidos ao longo deste livro, é o fluxo de caixa. A maioria 
das questões, exemplos e exercícios pode ser discutida ou demonstrada sob 
duas formas básicas de representação: representação gráfica do fluxo de 
caixa e representação algébrica do fluxo de caixa.
De acordo com Pilão e Hummel (2013), no diagrama do fluxo de caixa o tempo (n) é representado 
por uma reta (escala de tempo horizontal) orientada da esquerda para a direita, que tem sua origem na 
extrema esquerda com a data 0 (zero), normalmente considerada como data presente, se projetando 
para a direita em direção ao futuro. Todos os pontos são considerados como momentos futuros em 
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relação ao ponto zero. A reta horizontal que representa o fluxo de caixa é interceptada por pontos, 
sendo o espaço entre cada ponto considerado uma unidade de tempo, ou um período de capitalização, 
que será aqui considerado como qualquer unidade preestabelecida em contrato: um dia, uma semana, 
um mês, um semestre, um ano etc.
Assim, ainda segundo esses autores, o primeiro período tem seu início na data 0 e seu término no 
ponto imediatamente posterior, ou seja, na data 1. A data 1, por sua vez, é considerada o início do 
segundo período, que tem seu final na data 2, que será o iníciodo 3° período, cujo final será a data 3, e 
assim sucessivamente até o período de ordem n – 1, que será o início do período de ordem n, o qual por 
sua vez terá seu final no enésimo período, que será normalmente o final da vida útil do investimento a 
ser analisado, ou o horizonte de tempo considerado na análise. A figura a seguir ilustra esse raciocínio.
0 n - 31 n - 22 n - 13 n
Início do 1º período Final do 2º período
e
Início do 3º período
Final do período (n-3) 
e
Início do período (n-2)
Final do período (n-1) 
e
Início do período n
Final do 1º período
e
Início do 2º período
Final do 3º período
e
Início do 4º período
Final do período (n-2) 
e
Início do período (n-1)
Final do enésimo periodo
Figura 12 – Fluxo de caixa
Outra convenção importante associada à representação gráfica do fluxo de caixa é que os 
valores referentes a desembolsos, ou saídas de dinheiro, são considerados algebricamente negativos 
e representados por uma seta orientada para baixo. Por outro lado, as entradas de dinheiro, ou 
receitas, serão valores considerados algebricamente positivos, e sua representação gráfica será 
feita mediante uma seta orientada para cima. A taxa de juros a que o fluxo se encontra submetido 
e que deverá corresponder preferencialmente ao mesmo período n ficará ao lado direito do fluxo.
Entradas de caixa
Economia
Receitas
Saídas de caixa
Despesas
Custos
0 1 2 3 n - 3 n - 2 n - 1 n
$
$
$
$
i %
Figura 13 – Entradas e saídas em um fluxo de caixa
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A fim de facilitar o entendimento, o exemplo a seguir representa o fluxo de caixa de um orçamento 
doméstico correspondente a um fluxo mensal.
Tabela 22 – Orçamento mensal
Recebimentos previstos
Dia Descrição Valor (R$)
2 Salário 6.000,00
5 Aluguel do apartamento velho 1.000,00
Pagamentos previstos
Dia Descrição Valor (R$)
5 Condomínio 500,00
8 Cartão de crédito 2.500,00
12 Prestação do apartamento novo 1.500,00
15 Água 50,00
19 Energia 100,00
23 Prestação do carro 500,00
27 Celular 100,00
R$ 6.000,00
R$ 1.000,00
R$ 500,00
R$ 2.500,00
R$ 1.500,00
R$ 50,00
R$ 100,00
R$ 500,00
R$ 100,00
0
5
19 20 23 25 27 301512108
Figura 14 – Fluxo de caixa de um orçamento mensal conforme a tabela
Conforme detalhado anteriormente, no eixo horizontal do fluxo de caixa dessa figura é representado 
o tempo, subdividido em dias do mês, orientados da esquerda para a direita. Os recebimentos (entradas de 
caixa) são indicados por setas orientadas para cima, na parte superior do eixo horizontal. Os pagamentos 
(saídas de caixa) são representados na parte inferior do mesmo eixo, indicados por setas orientadas 
para baixo. Caso haja pagamentos e recebimentos num mesmo ponto, pode-se representar somente a 
diferença entre os dois. Assim, no exemplo dado, no dia 5, as duas setas, orientadas em sentidos opostos, 
poderiam ser substituídas por uma orientada para cima, indicando o saldo a receber de R$ 500,00. 
Os recebimentos estão associados ao sinal (+) e os pagamentos estão associados ao sinal (-).
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A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados apresentados em cada 
caso, sendo as setas orientadas em função da interpretação do enunciado do problema. Considera-se, 
para ilustrar, a situação em que uma instituição financeira, por exemplo, um banco, concede um 
empréstimo de R$ 41.002,00 a um cliente, para pagamento em 5 prestações iguais de R$ 10.000,00. 
O porquê de o valor emprestado ser R$ 41.002,00 (e não R$ 41.000,00) será explicado posteriormente. 
A representação gráfica por meio do fluxo de caixa pode ser feita considerando dois pontos de vista: 
ponto de vista da instituição financeira (banco, por exemplo) e ponto de vista do cliente.
Do ponto de vista da instituição financeira (banco), a representação gráfica do fluxo de caixa 
é a seguinte:
R$ 41.002,00
R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
Figura 15 – Fluxo de caixa: ponto de vista do banco
Interpretando esse fluxo de caixa, verifica-se que há uma saída inicial de caixa do banco no valor de 
R$ 41.002,00 e as entradas de parcelas de R$ 10.000,00 cada uma nos meses seguintes.
Do ponto de vista do cliente, as setas são orientadas no sentido inverso, conforme pode ser 
visto a seguir:
R$ 41.002,00
R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
Figura 16 – Fluxo de caixa: ponto de vista do cliente
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Interpretando esse fluxo de caixa, verifica-se que o cliente recebe do banco o valor do empréstimo 
de R$ 41.002,00 na data 0 (zero) e nos períodos seguintes há saídas do cliente correspondentes ao 
pagamento das 5 prestações iguais de R$ 10.000,00 acordadas com o banco.
Nos exemplos apresentados neste livro, a representação gráfica será feita do ponto de 
vista do tomador ou do aplicador de recursos, de acordo com o que estiver mais evidente no 
enunciado do problema. Para exemplificar, suponha que uma pessoa resolva aplicar, em uma 
instituição financeira, R$ 10.000,00 por mês durante 5 meses, ou seja, 5 parcelas iguais, mensais 
e consecutivas de R$ 10.000,00. Sabendo-se que a primeira parcela será efetivada hoje (data 0, 
normalmente considerada como data presente ou simplesmente hoje) e que a pessoa deseja saber 
o valor do montante no final do 5º mês, a representação gráfica será a seguinte:
MONTANTE = ?
R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
Figura 17 – Fluxo de caixa: ponto de vista do aplicador
Neste caso fica evidente que o problema é colocado do ponto de vista do aplicador. Portanto, as setas 
correspondentes às parcelas mensais de aplicação devem ser orientadas para baixo, pois representam 
saídas de caixa. A seta correspondente ao valor do montante é orientada para cima porque, por ocasião 
do resgate, esse valor representará uma entrada de caixa para o aplicador.
6.2 Triângulo de equivalência
Uma vez entendido o conceito de fluxo de caixa, torna-se importante entender onde os problemas 
envolvendo séries de pagamentos se encaixam dentro da Matemática Financeira e Engenharia Econômica. 
Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será representado por R. As demais variáveis 
serão representadas pelos símbolos já conhecidos:
• S é o montante, expresso em unidades monetárias ($);
• P é o principal, capital inicial, valor atual ou valor presente, expresso em unidades monetárias ($);
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• i é a taxa de juros expressa em forma percentual (%); e
• n é o número de prestações, podendo ser qualquer unidade de tempo (dia, mês, bimestre, semestre, 
ano, entre outros).
O mesmo conceito usado no que tange a equivalência entre P e S cabe também para R, ou 
seja, a série uniforme que R representa será equivalente a P ou a S quando sujeitos a determinada 
taxa de juros e a determinado número de períodos. Por exemplo, suponha que uma pessoa, ao 
comprar uma televisão, tenha duas opções: pagar à vista o preço da etiqueta ou pagar em 
12 parcelas mensais, iguais e consecutivas ao longo de 1 ano, sujeitas a uma taxa de juros 
mensal acordada entre as partes (cliente e loja). O valor de cada parcela a ser paga seria um R. 
Portanto, R será a prestação que o vendedor receberá pela venda da TV (que pode ser representada 
para o vendedor por seu valor financeiro como um P) ou a prestação que o comprador da TV pagará ao 
vendedor para quitá-la.
( )
Fatores
Valor que eu tenho Valor que eu quero
Exemplos
( P S ) ( S P )
( R P ) ( PR )
( R S ) ( S R )
Figura 18 – Fatores da Matemática Financeira e Engenharia Econômica
Considera-se, na notação mostrada, que à esquerda dos parênteses estará sempre referenciada a 
variável cujo valor, expresso em unidades monetárias ($), é conhecida. No centro há uma seta apontada 
para a variável cujo valor se deseja calcular, que ficará sempre à direita. Portanto, o raciocínio sempre 
se dará a partir do que se tem para o que se quer calcular. Na figura a seguir é mostrado o triângulo de 
equivalência, no qual é possível observar as variáveis – P, S, R − em cada vértice e as possíveis relações 
existentes entre elas (fatores) .
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Unidade II
P
S R 
( R S )
( S R )
( R P )
( P R )
( S P )
( P S )
i % n
Figura 19 – Triângulo de equivalência
Esse triângulo será a base da notação algébrica, já que com ele poderemos interligar todos os valores 
que possam existir no fluxo de caixa.
Uma vez que já foi apresentado o conceito sobre juros compostos, ele servirá de exemplo para o 
entendimento da notação e do significado dos fatores. O ponto de partida é a expressão de juros compostos 
dada por M = C . (1 + i)n, com a alteração das letras simbolizando o capital inicial (P) e o montante (S), ou seja:
S = P . (1 + i)n
Considerando que temos, por exemplo, o valor presente, ou seja, P, além da taxa de juros i e número 
de prestações n, o valor que queremos calcular corresponde ao S. Portanto, o fator correspondente a essa 
situação é →(P S) . Multiplicando-se P pelo fator →(P S) , temos que encontrar o valor de S, ou seja:
= ⋅ →S P (P S)
Comparando S = P . (1 + i)n com = ⋅ →S P (P S) , chega-se à expressão para se calcular o fator 
→(P S) , resultando:
→ = + n(P S) (1 i)
E o fator →(S P) ?
Partindo-se da expressão S = P . (1 + i)n, ao colocar em evidência S em vez de P, tem-se:
= ⋅
+ n
1
P S
(1 i)
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
Considerando um raciocínio análogo ao anteriormente descrito, mas com a alteração no valor que 
temos, que agora é o montante – ou seja, temos S, além da taxa de juros (i) e o número de prestações 
(n) –, o valor que queremos calcular corresponde ao P. Portanto, o fator correspondente a essa situação 
é →(S P) . Multiplicando-se S pelo fator →(S P) , temos que encontrar o valor de P, ou seja,
= ⋅ →P S (S P)
Comparando = ⋅
+ n
1
P S
(1 i)
com = ⋅ →P S (S P) , chega-se à expressão para se calcular o fator 
→(S P) , resultando:
→ =
+ n
1
(S P)
(1 i)
Com isso, as expressões para os cálculos de dois fatores integrantes do triângulo de equivalência − 
→(P S) e →(S P) − foram descritas. Os outros fatores estão relacionados com a série de pagamentos 
e, portanto, com a variável R, e serão apresentados a partir da próxima seção.
 Observação
Vale a pena ressaltar que neste livro não será abordado um outro fator, 
conhecido como gradiente (G), que representa uma série em gradiente 
de pagamentos e/ou recebimentos. Ao abordar o fator gradiente (G) e 
suas relações com P, S e R, o triângulo de equivalência se transforma em 
pirâmide de equivalência.
 Saiba mais
A referência a seguir apresenta detalhes sobre o fator gradiente (G), o 
triângulo de equivalência e a pirâmide de equivalência:
PILÃO, N. E.; HUMMEL, P. R. V. Matemática Financeira e Engenharia 
Econômica. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
6.3 Série de pagamentos
As séries de pagamentos, já definidas no início do capítulo, representam uma sucessão de recebimentos 
ou pagamentos (prestações) de valor V1, V2, V3,..., Vn, representando depósitos ou retiradas, vinculados a 
algum investimento ou dívida, e com vencimentos sucessivos denominados t1, t2, t3, ..., tn. A classificação 
das séries de pagamentos é muito ampla e complexa.
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Unidade II
Abordaremos as séries com as seguintes características:
• a diferença de prazo entre cada termo e o seguinte é constante, ou seja, os vencimentos dos 
termos, a partir do primeiro, variam de 30 em 30 dias, de 6 em 6 meses, de 1 em 1 ano, e 
assim por diante;
• o número de termos pode ser: finito (representado pelo prazo n) e infinito (conhecido por 
rendas perpétuas);
• os valores dos termos que compõem a série são constantes (iguais ou uniformes);
• os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no final de cada período 
(termos vencidos ou postecipados) ou no início (termos antecipados).
 Observação
As séries uniformes podem ser antecipadas, ou seja, séries em que 
o depósito ou a retirada é feito no início de cada período (semana, 
quinzena, mês, ano etc.). Por outro lado, as séries também podem ser 
postecipadas, ou seja, séries em que as operações são realizadas no final 
do período (semana, quinzena, mês, ano etc.). O entendimento desta 
classificação é de fundamental importância na solução dos problemas 
de séries de pagamentos.
Com base nessas características, vamos desenvolver séries de pagamentos de acordo com a 
seguinte classificação:
1. série de pagamentos iguais com termos vencidos;
2. série de pagamentos iguais com termos antecipados; e
3. rendas perpétuas.
 Lembrete
Conforme mencionado, o regime de capitalização composto é 
amplamente utilizado em virtude de o crescimento dos juros ser 
exponencial. Inclusive já apresentamos um gráfico com a comparação entre 
juros simples (linear) e composto (exponencial). Nesse sentido, ressalta-se 
que todo desenvolvimento deste capítulo será com base no conceito de 
capitalização composta.
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
6.4 Série de pagamentos iguais com termos vencidos (ou postecipados)
No caso de série de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados, cada termo da série 
de pagamentos ou recebimentos iguais será representado por R. As demais variáveis serão representadas 
pelos símbolos já conhecidos (P, S, i, n). Deseja-se calcular os fatores mostrados no triângulo de 
equivalência e que ainda não foram analisados: →(R P) , →(P R) , →(R S) e →(S R) . Na verdade, 
neste livro, esses fatores são conhecidos por outros nomes, quais sejam:
• fator de valor atual (FVA), correspondente ao →(R P) ;
• fator de recuperação de capital (FRC), correspondente ao →(P R) ;
• fator de acumulação de capital (FAC), correspondente ao →(R S) ; e
• fator de formação de capital (FFC), correspondente ao →(S R) .
6.4.1 Fator de valor atual (FVA)
Na determinação das expressões que relacionam as variáveis P, S e R, o caminho mais adequado para o 
melhor entendimento é considerar um caso prático e construir o raciocínio, baseado nos conhecimentos 
de matemática financeira apresentados neste livro e em noções de matemática elementar, de forma 
a encontrar uma expressão que relacione duas variáveis das três existentes. No caso do fator de valor 
atual (FVA), deseja-se relacionar P e R, sendo que o valor conhecido é R e deseja-se calcular o valor 
presente P. Essa situação corresponde ao fator →(R P) do triângulo de equivalência. Portanto, pode-se 
afirmar que:
Fator de valor atual (FVA) = →(R P)
Considera-se, como caso prático, a situação em que se deseja saber qual o valor que, financiado a 
uma taxa de 7% ao mês, pode ser pago ou amortizado em uma série de 5 prestações mensais, iguais 
e consecutivas, no valor de R$ 10.000,00 cada uma (R = R$ 10.000,00). Portanto, deseja-se calcular o 
valor presente P, sabendo-se que a primeira parcela é devida no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias 
da data tomada como base (data zero), e que a última é devida no final do 5º mês. Portanto, os valores 
conhecidos são:
• R = R$ 10.000,00;
• n = 5 meses; e
• i = 7% ao mês.
O problema pode ser esquematizadoconforme o fluxo de caixa seguir:
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Unidade II
VALOR PRESENTE PT= ?
R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
Figura 20 – Fluxo de caixa para o cálculo do fator de valor atual (FVA)
Até este momento, sabe-se somente calcular o valor presente ou atual, para os casos com pagamentos 
simples, ou seja, aqueles que apresentam um único pagamento. Portanto, o que será feito a seguir é 
resolver o problema por partes, admitindo-se que cada prestação corresponda a um financiamento 
isolado. No final, somam-se todos os valores presentes calculados encontrando o valor total PT. No final, 
o montante PT será dado por:
PT = P1 + P2 + P3 + P4 + P5
Assim, para a solução desse problema, ou seja, calcular o valor presente PT, o ponto de partida é a 
expressão de juros compostos dada por M = C . (1 + i)n, com a alteração das letras simbolizando o capital 
inicial e o montante, ou seja:
S = P . (1 + i)n
onde:
• S é o montante, expresso em unidades monetárias ($);
• P é o capital inicial ou principal, expresso em unidades monetárias ($);
• i é a taxa de juros expressa em forma percentual (%); e
• n é o número de períodos em que o capital P (capital inicial) foi aplicado, podendo ser qualquer 
unidade de tempo (dia, mês, bimestre, semestre, ano, entre outros).
Neste problema, cada prestação R = R$ 10.000,00 representa o montante (ou valor futuro) 
individual de um capital inicial desconhecido, aplicado à taxa de 7% ao mês e por prazos que vão 
de 1 a 5 meses. O que se quer é determinar o capital inicial ou o valor presente dessas prestações 
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
no “momento zero”. Portanto, a expressão S = P . (1 + i)n deve ser alterada para evidenciar P em vez 
de S, resultando:
= ⋅
+ n
1
P S
(1 i)
●• Valor presente P1:
Assim, considerando = ⋅
+ n
1
P S
(1 i)
e a parcela devida no final do primeiro mês chega-se no valor 
presente P1 da seguinte maneira:
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
1 n 11
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,93458 9.345,80
(1 0,07)(1 i)
onde o expoente 1 da expressão (1,07)1 representa o número de meses a decorrer entre a data 
tomada como base (data zero) e a data da primeira prestação. Esquematicamente, tem-se:
P1 = R$ 9.345,80
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
1 mês
Figura 21 – Fluxo de caixa para o cálculo de P1
Essa mesma consideração é válida para todas as demais prestações.
• Valor presente P2:
O valor presente P2, relativo à segunda prestação, é dado por:
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
2 n 22
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,87344 8.734,40
(1 0,07)(1 i)
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Unidade II
O expoente 2 da expressão (1,07)2 representa o número de meses decorridos entre a data fixada para 
o cálculo do valor presente e a data do vencimento da segunda prestação. Esquematicamente, tem-se:
P2 = R$ 8.734,40
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
2 meses
Figura 22 – Fluxo de caixa para o cálculo de P2
• Valor presente P3:
O valor presente P3, relativo à terceira parcela, é dado por:
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
3 n 33
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,81630 8.163,00
(1 0,07)(1 i)
. (6.12)
Esquematicamente, tem-se:
P3 = R$ 8.163,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
3 meses
Figura 23 – Fluxo de caixa para o cálculo de P3
• Valor presente P4:
O valor presente P4, relativo à quarta parcela, é dado por:
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
4 n 44
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,76290 7.629,00
(1 0,07)(1 i)
Esquematicamente, tem-se:
P4 = R$ 7.629,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
4 meses
Figura 24 – Fluxo de caixa para o cálculo de P4
• Valor presente P5:
O valor presente P5, correspondente à quinta parcela, é dado por:
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
++
5 n 55
1 1
P S 10.000,00 10.000,00 0,71298 7.129,80
(1 0,07)(1 i) . (6.14)
Esquematicamente, tem-se:
P5 = R$ 7.129,80
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
5 meses
Figura 25 – Fluxo de caixa para o cálculo de P5
• Valor presente total PT:
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Unidade II
Em resumo, os valores presentes de cada um dos cinco cálculos são mostrados a seguir:
Tabela 23 – Valor presente do fluxo de caixa da figura anterior
Valor presente Expressão n
1
P S
(1 i)
= ⋅
+ Total
P1
⋅
+ 1
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0,93458 9.345,80
P2
⋅
+ 2
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0,87344 8.734,40
P3
⋅
+ 3
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0,81630 8.163,00
P4
⋅
+ 4
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0,76290 7.629,00
P5
⋅
+ 5
1
10.000,00
(1 0,07)
10.000,00 . 0,71298 7.129,80
PT PT = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 41.002.00
Assim, em um financiamento que pode ser pago ou amortizado em 5 prestações iguais, mensais e 
consecutivas de R$ 10.000,00 cada uma, a uma taxa de 7% ao mês, o cálculo para se encontrar o valor 
financiado ou valor presente resulta em:
PT = R$ 41.002,00
Entretanto, o cálculo do valor presente, como foi feito, é muito trabalhoso para ser aplicado a uma 
quantidade maior de prestações, por exemplo, quando envolver 100, 200 ou 300 prestações. Mas, com 
base no cálculo de PT, é possível deduzir uma expressão que possibilita obter o valor presente total, ou 
simplesmente o valor presente P, para uma série de pagamentos ou recebimentos iguais e consecutivos 
com termos vencidos ou postecipados, de forma simplificada e rápida. Assim, partindo-se do fato que o 
valor presente P é calculado como visto a seguir:
P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5
Substituindo os valores de P1, P2, P3, P4 e P5, tem-se:
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ + +
⋅ + ⋅
+ +
1 2 3
4 5
1 1 1
P 10.000,00 10.000,00 10.000,00
(1 0,07) (1 0,07) (1 0,07)
1 1
10.000,00 10.000,00
(1 0,07) (1 0,07)
Verifica-se que como o valor 10.000,00 é constante em todos os termos, ele pode ser colocado em 
evidência, resultando:
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 
= ⋅ + + + + 
 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
P 10.000,00
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
Como o tratamento de expressões fracionárias é um pouco mais complexo, é interessante 
transformar essa série, com uma operação simples, numa soma de mais fácil visualização e cálculo. 
Para tanto, aplica-se o conceito de mínimo múltiplo comum, conhecido como MMC. Neste caso em 
particular, o MMC é (1,07)5, que é o número divisível por qualquer um dos denominadores da série em 
 
= ⋅ + + + + 
 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
P 10.000,00
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
. Efetuando os cálculos, obtém-se:
 + + + +
= ⋅  
  
4 3 2 1
5
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07) 1
P 10.000,00
(1,07)
onde o numerador da expressão entre colchetes constitui-se numa soma de termos de uma 
progressão geométrica (PG), cuja fórmula é dada por:
⋅ −
=
−
n
1 1
PG
a q a
S
q 1
onde:
• SPG representa o somatório dos termos entre parênteses;
• a1 representa o primeiro termo da série;
• q é a razão; e
• n é o número de termos.
Comparando-se o numerador de 
⋅ −
=
−
n
1 1
PG
a q a
S
q 1
 com os parâmetros de uma PG, verifica-se que a 
razão é 1,07, com o número de termos igual a 5, e como o somatório está posicionado em ordem inversa, 
o primeiro termo é o número 1, que pode ser escrito sem problemas como (1,07)0, pois qualquer número 
elevado a zero resulta unitário. Portanto, a análise da progressão geométrica (PG) relativa ao somatório 
dos termos é apresentado entre colchetes em 
 + + + +
= ⋅  
  
4 3 2 1
5
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07) 1
P 10.000,00
(1,07)
 
e resulta nos seguintes valores:
• a1 = (1,07)0 = 1;
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Unidade II
• q = 1,07; e
• n = 5.
Substituindo-se o somatório dos termos entre colchetes em 
 + + + +
= ⋅  
  
4 3 2 1
5
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07) 1
P 10.000,00
(1,07)
 pela fórmula 
⋅ −
=
−
n
1 1
PG
a q a
S
q 1
, com os 
respectivos valores, resulta em:
  ⋅ −
   − −  = ⋅ = ⋅ =  ⋅ 
  
⋅ = ⋅ =
⋅
5
5
5 5
1 (1,07) 1
1,07 1 (1,07) 1
P 10.000,00 10.000,00
(1,07) (1,07) 0,07
0,40255
10.000,00 10.000,00 4,1002 41.002,00
1,40255 0,07
o mesmo resultado encontrado em PT = R$ 41.002,00.
Portanto, a expressão para se calcular o valor presente P, de uma série de pagamentos ou recebimentos 
iguais e consecutivos com termos vencidos ou postecipados, é encontrada substituindo, na expressão 
  ⋅ −
   − −  = ⋅ = ⋅ =  ⋅ 
  
⋅ = ⋅ =
⋅
5
5
5 5
1 (1,07) 1
1,07 1 (1,07) 1
P 10.000,00 10.000,00
(1,07) (1,07) 0,07
0,40255
10.000,00 10.000,00 4,1002 41.002,00
1,40255 0,07
, os valores numéricos pelas 
respectivas notações. Realizadas as substituições, chega-se na seguinte expressão genérica
+ −
= ⋅
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
P R
(1 i) i
onde se considerou, uma vez que q = 1 + i, o seguinte resultado:
q – 1 = (1 + i) – 1 = i
O fator de valor atual, representado por FVA(i,n), é dado pela fração que está multiplicando R em
 
+ −
= ⋅
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
P R
(1 i) i
, ou seja, é dado por:
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
+ −
=
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
FVA(i,n)
(1 i) i
Assim, existem duas formas de se calcular o valor presente P, quais sejam
+ −
= ⋅
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
P R
(1 i) i
ou
P = R . FVA(i,n)
O fator de valor atual FVA(i,n) é tabelado para diversas taxas i e parcelas n. Ele representa o valor 
presente oriundo da aplicação de n parcelas de uma unidade de capital (real, dólar, euro etc.), em 
um determinado intervalo de tempo (semana, quinzena, mês, trimestre, semestre, ano etc.) e a uma 
determinada taxa de juros (i). A tabela a seguir é um exemplo de tabela financeira. Ela apresenta os 
resultados para a taxa de juros de 7%.
Tabela 24 – Tabela financeira da taxa de juros de 7%
Taxa do período: 7%
n
Pagamento único (simples) Série de pagamentos iguais (uniformes)
n
Fator de 
acumulação 
de capital
Fator 
de valor 
atual
Fator de 
acumulação 
de capital
Fator de 
formação de 
capital
Fator de valor 
atual
Fator de 
recuperação 
de capital
FAC FFC FVA FRC
(1 )ni+
1
(1 )ni+
(1 ) 1ni
i
+ −
(1 ) 1n
i
i+ −
(1 ) 1
(1 )
n
n
i
i i
+ −
+ ⋅
(1 )
(1 ) 1
n
n
i i
i
+ ⋅
+ −
1 1,07000 0,93458 1,00000 1,00000 0,93458 1,07000 1
2 1,14490 0,87344 2,07000 0,48309 1,80802 0,55309 2
3 1,22504 0,81630 3,21490 0,31105 2,62432 0,38105 3
4 1,31080 0,76290 4,43994 0,22523 3,38721 0,29523 4
5 1,40255 0,71299 5,75074 0,17389 4,10020 0,24389 5
6 1,50073 0,66634 7,15329 0,13980 4,76654 0,20980 6
7 1,60578 0,62275 8,65402 0,11555 5,38929 0,18555 7
8 1,71819 0,58201 10,25980 0,09747 5,97130 0,16747 8
9 1,83846 0,54393 11,97799 0,08349 6,51523 0,15349 9
10 1,96715 0,50835 13,81645 0,07238 7,02358 0,14238 10
12 2,25219 0,44401 17,88845 0,05590 7,94269 0,12590 12
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18 3,37993 0,29586 33,99903 0,02941 10,05909 0,09941 18
24 5,07237 0,19715 58,17667 0,01719 11,46933 0,08719 24
30 7,61226 0,13137 94,46079 0,01059 12,40904 0,08059 30
36 11,42394 0,08754 148,91346 0,00672 13,03521 0,07672 36
48 25,72891 0,03887 353,27009 0,00283 13,73047 0,07283 48
50 29,45703 0,03395 406,52893 0,00246 13,80075 0,07246 50
60 57,94643 0,01726 813,52038 0,00123 14,03918 0,07123 60
72 130,50646 0,00766 1850,09222 0,00054 14,17625 0,07054 72
84 293,92554 0,00340 4184,65058 0,00024 14,23711 0,07024 84
96 661,97663 0,00151 9442,52329 0,00011 14,26413 0,07011 96
100 867,71633 0,00115 12381,66179 0,00008 14,26925 0,07008 100
120 3357,78838 0,00030 47954,11976 0,00002 14,28146 0,07002 120
Com a utilização do fator de valor atual (FVA), normalmente tabelado na maioria dos livros de 
Matemática Financeira, a solução do problema é muito simples. Exemplificando, partindo-se dos dados 
do último exemplo, ou seja:
• R = R$ 10.000,00;
• n = 5 meses; e
• i = 7% ao mês.
Pode-se calcular o valor presente P da forma indicada a seguir:
P = R$ 10.000,00 . FVA(7%,5)
onde a solução pode ser obtida facilmente por meio da consulta à tabela anterior, na coluna FVA, 
n=5, onde será encontrado o valor 4,1002. Portanto,
P = R$ 10.000,00 . 4,1002 = 41.002,00
tratando-se do mesmo resultado encontrado anteriormente.
6.4.2 Fator de recuperação de capital (FRC)
O fator de recuperação de capital, conhecido por FRC, é obtido facilmente a partir da expressão do 
valor presente P deduzido no item anterior 
+ −
= ⋅
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
P R
(1 i) i
, ou seja, partindo-se da expressão:
+ −
= ⋅
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
P R
(1 i) i
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
Essa expressão é utilizada para obter o valor presente (P) quando são conhecidos o valor da prestação 
(R), a taxa de juros (i) e o número de prestações (n). Quando a incógnita do problema é o valor das 
prestações, basta evidenciar R em vez de P na expressão 
+ −
= ⋅
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
P R
(1 i) i
, obtendo-se:
+ ⋅
= ⋅
+ −
n
n
(1 i) i
R P
(1 i) 1
onde o fator de recuperação de capital, representado por FRC(i,n), é dado por:
+ ⋅
=
+ −
n
n
(1 i) i
FRC(i,n)
(1 i) 1
Assim, tem-se
R = P . FRC(i,n)
O FRC é o fator mais utilizado na prática. Como ele relaciona R e P, sendo que o valor conhecido é 
P e deseja-se calcular o R, essa situação corresponde ao fator →(P R) do triângulo de equivalência. 
Portanto, pode-se afirmar que: fator de recuperação de capital (FRC) = →(P R) .
 Lembrete
Uma relação imediata deduzida a partir do desenvolvimento do fator 
de valor atual (FVA) e do fator de recuperação de capital (FRC) é que o FRC 
é o inverso do FVA, ou seja,
=
1
FRC(i,n)
FVA(i,n)
Assim, uma vez calculado um fator, não há a necessidade de se 
calcular o outro utilizando a expressão correspondente ou buscar o valor 
correspondente na tabela. Basta inverter o valor calculado.
Veja um exemplo:
Uma instituição financeira oferece um empréstimo de R$ 20.000,00 para ser liquidado em 12 
prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule o 
valor da prestação.
Os valores conhecidos são:
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• P = R$ 20.000,00;
• n = 12 meses; e
• i = 3 ao mês.
O problema pode ser esquematizado conforme o fluxo de caixa a seguir:
P = R$ 20.000,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R R R R R R R R R R R R
Figura 26 – Fluxo de caixa
• Solução utilizando a fórmula:
+ ⋅
= ⋅
+ −
+ ⋅
= ⋅
+ −
= ⋅ = ⋅
=
n
n
12
12
(1 i) i
R P
(1 i) 1
(1 0,03) 0,03
R 20.000,00
(1 0,03) 1
0,04277
R 20.000,00 20.000,00 0,10045
0,42576
R R$ 2.009,11
• Solução utilizando a tabela:
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
R P FRC(i,n)
R 20.000,00 FRC(3%,12)
R 20.000,00 0,10046
R R$ 2.009,20
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FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
Tabela 25 – Tabela financeira da taxa de juros de 3%
Taxa do período: 3%
n
Pagamento único (simples) Série de pagamentos iguais (uniformes)
n
Fator de 
acumulação de 
capital
Fator 
de valor 
atual
Fator de 
acumulação 
de capital
Fator de 
formação de 
capital
Fator de valor 
atual
Fator de 
recuperação 
de capital
FAC FFC FVA FRC
(1 )ni+
1
(1 )ni+
(1 ) 1ni
i
+ −
(1 ) 1n
i
i+ −
(1 ) 1
(1 )
n
n
i
i i
+ −
+ ⋅
(1 )
(1 ) 1
n
n
i i
i
+ ⋅
+ −
1 1,03000 0,97087 1,00000 1,00000 0,97087 1,03000 1
2 1,06090 0,942602,03000 0,49261 1,91347 0,52261 2
3 1,09273 0,91514 3,09090 0,32353 2,82861 0,35353 3
4 1,12551 0,88849 4,18363 0,23903 3,71710 0,26903 4
5 1,15927 0,86261 5,30914 0,18835 4,57971 0,21835 5
6 1,19405 0,83748 6,46841 0,15460 5,41719 0,18460 6
7 1,22987 0,81309 7,66246 0,13051 6,23028 0,16051 7
8 1,26677 0,78941 8,89234 0,11246 7,01969 0,14246 8
9 1,30477 0,76642 10,15911 0,09843 7,78611 0,12843 9
10 1,34392 0,74409 11,46388 0,08723 8,53020 0,11723 10
12 1,42576 0,70138 14,19203 0,07046 9,95400 0,10046 12
6.4.3 Fator de acumulação de capital (FAC)
O raciocínio para se calcular o fator de acumulação de capital, conhecido por FAC, é análogo ao 
desenvolvimento para a dedução da expressão de cálculo do fator de valor atual (FVA) para a série de 
pagamentos iguais ou uniformes com termos vencidos ou postecipados. No caso do fator de acumulação 
de capital (FAC), deseja-se relacionar S e R, sendo que o valor conhecido é R e deseja-se calcular o 
montante S. Essa situação corresponde ao fator →(R S) do triângulo de equivalência. Portanto, pode-se 
afirmar que: fator de acumulação de capital (FAC) = →(R S) .
Considera-se, como caso prático, novamente a situação em que um aplicador realizou uma série de 
cinco aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 10.000,00 cada uma (R = R$ 10.000,00), 
a uma taxa de 7% ao mês. Deseja-se calcular o montante S, sabendo-se que a primeira parcela é 
aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base (data zero), e que a 
última, no final do 5º mês, é coincidente com a data em que se deseja calcular o montante. Portanto, os 
valores conhecidos são:
• R = R$ 10.000,00;
• n = 5 meses; e
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• i = 7% ao mês.
O problema pode ser esquematizado conforme o fluxo de caixa a seguir:
R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
MONTANTE ST = ?
0 1 2 3 4 5
Figura 27 – Fluxo de caixa para o cálculo do fator de acumulção de capital (FAC)
Para a solução desse problema, ou seja, calcular o montante ST, o ponto de partida é a expressão de 
juros compostos dada por M = C . (1 + i)n, com a alteração das letras simbolizando o capital inicial e o 
montante, ou seja:
S = P . (1 + i)n
onde:
• S é o montante, expresso em unidades monetárias ($);
• P é o capital inicial ou principal, expresso em unidades monetárias ($);
• i é a taxa de juros expressa em forma percentual (%); e
• n é o número de períodos em que o capital C (capital inicial) foi aplicado, podendo ser qualquer 
unidade de tempo (dia, mês, bimestre, semestre, ano, entre outros).
Utilizando o mesmo raciocínio utilizado para resolver problemas com um único pagamento, pode-se 
calcular o montante total por partes, ou seja, calcular o montante de cada prestação no final do 5° mês, 
individualmente, para depois somá-los. No final, o montante ST será dado por:
ST = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
• Montante S1:
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Considerando S = P . (1 + i)n e a parcela devida no final do primeiro mês chega-se no montante S1 
da seguinte maneira:
S1 = P . (1 + i)n = 10.000,00 . (1 + 0,07)4 = 10.000,00 . 1,31080 = 13.108,00
onde o expoente 4 da expressão (1,07)4 representa o número de meses a decorrer entre a data da 
primeira aplicação e a data fixada para o cálculo do seu montante. Esquematicamente, tem-se:
S1 = R$ 13.108,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
4 meses
Figura 28 – Fluxo de caixa para o cálculo de S1
Essa mesma consideração é válida para todas as demais prestações.
• Montante S2:
O montante S2, relativo à segunda parcela, é dado por:
S2 = 10.000,00 . (1,07)3 = 10.000,00 . 1,22504 = 12.250,40
Esquematicamente, tem-se:
S2 = R$ 12.250,40
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
3 meses
Figura 29 – Fluxo de caixa para o cálculo de S2
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• Montante S3:
O montante S3, relativo à terceira parcela, é dado por:
S3 = 10.000,00 . (1,07)2 = 10.000,00 . 1,14490 = 11.449,00
Esquematicamente, tem-se:
S3 = R$ 11.449,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
2 meses
Figura 30 – Fluxo de caixa para o cálculo de S3
• Montante S4:
O montante S4, relacionado com a quarta parcela, é dado por:
S4 = 10.000,00 . (1,07)1 = 10.000,00 . 1,07 = 10.700,00
Esquematicamente, tem-se:
S4 = R$ 10.7000,00
R$ 10.000,00
0 1 2 3 4 5
1 mês
Figura 31 – Fluxo de caixa para o cálculo de S4
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• Montante S5:
Como a última parcela é aplicada exatamente no dia em que se pede o valor do montante, não terá 
rendimento algum. O montante dessa prestação pode ser descrito da seguinte forma:
S5 = 10.000,00 . (1,07)0 = 10.000,00 . 1 = 10.000,00
• Montante Total ST:
Em resumo, os montantes de cada um dos cinco cálculos são calculados a seguir:
Tabela 26 – Montante do fluxo de caixa da figura do fluxo 
de caixa para o cálculo do fator de acumulação de capital (FAC)
Montante Expressão S = P . (1 + i)n Total
S1 10.000 . (1,07)4 10.000,00 . 1,31080 13.108,00
S2 10.000 . (1,07)3 10.000,00 . 1,22504 12.250,43
S3 10.000 . (1,07)2 10.000,00 . 1,14490 11.449,00
S4 10.000 . (1,07)1 10.000,00 . 1,07000 10.700,00
S5 10.000 . (1,07)0 10.000,00 . 1,00000 10.000,00
ST ST = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 57.507,43
Portanto, uma série de cinco aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 10.000,00 
cada uma, a uma taxa de 7% ao mês, dentro do conceito de séries de pagamentos com termos vencidos, 
resulta em um montante no final do 5º mês de:
ST = 57.507,43
Entretanto, o cálculo do montante, como foi feito, é muito trabalhoso para ser aplicado a uma 
quantidade maior de prestações, por exemplo, quando envolver 100, 150 ou 300 prestações.
Com base no cálculo de ST é possível deduzir a fórmula que possibilita obter o montante total, ou 
simplesmente o montante S, para uma série de pagamentos ou recebimentos iguais e consecutivos, de 
forma simplificada e rápida. Assim, partindo-se do fato que o montante S é calculado como em ST = S1 
+ S2 + S3 + S4 + S5, ou seja:
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
Substituindo os valores tem-se:
S = 10.000,00 . (1,07)4 + 10.000,00 . (1,07)3 + 10.000,00 . (1,07)2 + 10.000,00 . (1,07)1 + 10.000,00 . (1,07)0
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Verifica-se que, como o valor 10.000,00 é constante em todos os termos, ele pode ser colocado em 
evidência, resultando:
S = 10.000,00 . [(1,07)4 + (1,07)3 + (1,07)2 + (1,07)1 + (1,07)0]
ou, ainda,
S = 10.000,00 . [(1,07)0 + (1,07)1 + (1,07)2 + (1,07)3 + (1,07)4]
onde o somatório dos termos entre colchetes pode ser calculado utilizando-se da fórmula da soma 
dos termos de uma progressão geométrica (PG), dada por:
⋅ −
=
−
n
1 1
PG
a q a
S
q 1
onde:
• SPG representa o somatório dos termos entre parênteses;
• a1 representa o primeiro termo da série;
• q é a razão; e
• n é o número de termos.
A análise da progressão geométrica (PG) cujo somatório dos termos é apresentado entre colchetes 
em S = 10.000,00 . [(1,07)0 + (1,07)1 + (1,07)2 + (1,07)3 + (1,07)4] leva aos seguintes valores:
• a1 = (1,07)0 = 1;
• q = 1,07; e
• n = 5.
Substituindo-se o somatório dos termos entre colchetes em S = 10.000,00 . [(1,07)0 + (1,07)1 + (1,07)2 
+ (1,07)3 + (1,07)4] pela fórmula 
⋅ −
=
−
n
1 1
PG
a q a
S
q 1
 chega-se a:
5 51 (1,07) 1 (1,07) 1
S 10.000,00 10.000,00
1,07 1 0,07
0,40255
10.000,00 10.000,00 5,750739 57507,39
0,07
⋅ − −
= ⋅ = ⋅ =
−
⋅ = ⋅ =
o mesmo resultado encontrado em ST = 57.507,43.
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