Apostila de Calculo I parte 4 - Derivadas

Prévia do material em texto

1 
 
 
APOSTILA 
DE CÁLCULO I 
PARTE 4 
 
DERIVADAS 
• Notações 
• Interpretação Geométrica da Derivada 
• Derivada de uma Função em um Ponto 
• Função Derivada 
• Derivada das Funções Elementares 
• Regras de Derivadas 
• Derivadas de Ordem Superior 
• Tabela de Derivadas Elementares 
• Tabela de Regras de Derivação 
 
 
 
Profa. Dra. Andrea Ribari Yoshizawa 
2 
 
NOTAÇÕES PARA FUNÇÃO DERIVADA 
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função real derivável. 
Sua derivada poderá ser denotada das seguintes formas: 
• 𝑓′(𝑥) 
• 𝑦′ 
• [𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓(𝑥)]′ 
Por exemplo, seja 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 9. Então, poderemos denotar a derivada dessa função como: 
• 𝑔′(𝑥) 
• 𝑦′ 
• [𝑥2 − 9]′ 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
Considere, na figura a seguir, que a reta vermelha que está tangenciando a curva da função 𝑓(𝑥) no ponto 𝐴 =
(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) seja dada pela função de 1º grau: 
𝑦 = 𝑚𝑡𝑥 + 𝑛 
Nosso objetivo é determinar o valor de 𝑚𝑡 que é o coeficiente angular dessa reta. 
 
Sabe-se que o valor de 𝑚𝑡 poderia ser determinado se fossem conhecidos dois pontos da reta observada. 
Obviamente não podemos encontrar outro ponto na reta tangente pois, seu único ponto conhecido também é ponto 
da função 𝑓(𝑥) e, por isso, as coordenadas de 𝐴 = (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) puderam ser determinadas. 
Porém, podemos usar algum outro ponto da mesma função 𝑓(𝑥) para gerar uma reta secante e usar seu coeficiente 
angular como um valor aproximado para o que estamos procurando. 
 
3 
 
Então, para dois pontos 𝐴 = (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) e 𝐵 = (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) na reta secante, tem-se que: 
𝑚𝑠 =
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 
Como vimos na figura, se o 2º ponto estiver muito longe do 1º, a aproximação não ficará muito boa. 
Então temos que fazer o ponto B ficar próximo o suficiente do ponto A para termos um bom valor aproximado para o 
coeficiente angular da reta tangente. 
Quando fazemos o ponto B “voltar” sobre a função 𝑓(𝑥) fazemos o coeficiente da reta secante chegar cada vez mais 
perto do coeficiente da reta tangente. 
Isso é uma análise de limite que está sendo feita sobre o coeficiente angular da reta secante. 
Quando fazemos o ponto B se aproximar do ponto A estamos analisando um limite onde: 
• 𝑓(𝑥) → 𝑓(𝑥0) e, 
• 𝑥 → 𝑥0 
Ou seja, podemos dizer que o coeficiente da reta tangente que estamos procurando é dado por 
𝑚𝑡 = lim
𝑥→𝑥0
(
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
) 
 
Derivada de uma função em um número 𝒙𝟎 
Depois de algum tempo de investigação, descobriu-se que o coeficiente angular dessa reta tangente é dado pela 
derivada da função 𝑓(𝑥) calculada no número 𝑥 = 𝑥0, ou seja: 
𝑚𝑡 = lim
𝑥→𝑥0
(
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
) 
= 𝑓′(𝑥0) 
Função Derivada 
Obviamente ficaria muito difícil e trabalhoso calcular esse limite toda vez que precisamos encontrar a derivada de uma 
função calculada em um número. 
Então, primeiro determinamos a função derivada a partir da função original, para depois usa-la no cálculo de qualquer 
número desejado. 
A Função Derivada de uma função de variável real 𝑓(𝑥) também é resultante de um limite: 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
) 
Para facilitar a escrita no limite, substituímos o ∆𝑥 por ℎ e o limite fica escrito assim: 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
(
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
) 
Essa troca gera uma mudança da variável observada. 
Ao invés de considerarmos a variação em 𝑥, vamos considerar a variação em ℎ. 
 
4 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 
Função Constante: 𝑓(𝑥) = 𝑘; ∀ 𝑘 ∈ ℝ 
𝑓′(𝑥) = 0 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 5 
b) 𝑓(𝑥) = −3 
c) 𝑓(𝑥) = √2 
d) 𝑓(𝑥) = 𝜋 
e) 𝑓(𝑥) = −𝑒3 
 
Função Potência de 𝑥: 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛; ∀ 𝑛 ∈ ℝ 
𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 (Regra do Tombo) 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥12 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥−6 
f) 𝑔(𝑥) =
1
𝑥9
 
A Regra do Tombo também se aplica às Funções Raiz 
𝑓(𝑥) = √𝑥𝑚
𝑛
 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥3
4
 
d) 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥4
5 
 
Função Exponencial: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥; 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1 
𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ ln⁡(𝑎) 
Função Exponencial Natural: 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 
pois, ln(𝑒) = 1, então, 𝑒𝑥 ∙ ln(𝑒) = 𝑒𝑥 ∙ 1 = 𝑒𝑥. 
5 
 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 10𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 
 
Função Logarítmica: 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥) ; 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 ∙ ln⁡(𝑎)
 
Função Logarítmica Natural: 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
 
pois, ln(𝑒) = 1, então, 
1
𝑥∙ln(𝑒)
=
1
𝑥∙1
=
1
𝑥
. 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = log3(𝑥) 
b) 𝑓(𝑥) = log5(𝑥) 
c) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 
d) 𝑓(𝑥) = log2
5
(𝑥) 
Função Seno: 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = cos(𝑥) 
Função Cosseno: 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = − sen(𝑥) 
Função Tangente: 𝑓(𝑥) = tg(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 
Função Cotangente: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 
Função Secante: 𝑓(𝑥) = sec(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = sec(𝑥) tg(𝑥) 
Função Cossecante: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠sec(𝑥) 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES INVERSAS 
Para determinar a derivada de uma função que é inversa de outra existe uma fórmula que podemos aplicar. 
6 
 
Sendo 𝑓(𝑥) uma função com derivada 𝑓′(𝑥) conhecida e, 𝑓−1(𝑥) sua função inversa, a derivada de 𝑓−1(𝑥) é dada 
por: 
[𝑓−1(𝑥)]′ =
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 
Observe que 𝑓′(𝑓−1(𝑥)) é uma função composta. 
Por exemplo, vamos considerar duas funções conhecidas e fáceis de se trabalhar: 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, com derivada 𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥 e, a inversa da 𝑓(𝑥) que é 𝑓−1(𝑥) = ln(𝑥). 
Então, se quiséssemos determinar a derivada de 𝑓−1(𝑥) pela fórmula teríamos: 
[ln(𝑥)]′ =
1
𝑒ln⁡(𝑥)
=
1
𝑥
 
como já sabemos ser verdade. 
Usamos essa fórmula para determinar as Derivadas das Funções Inversas Trigonométricas. 
 
Função Arco Seno: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐sen(𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
√1 − 𝑥2
 
Função Arco Cosseno: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐cos(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −
1
√1 − 𝑥2
 
Função Arco Tangente: 𝑓(𝑥) = arctg(𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
 
Função Arco Cotangente: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −
1
1 + 𝑥2
 
Função Arco Secante: 𝑓(𝑥) = arcsec(𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
Função Cossecante: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
 
OPERAÇÕES COM DERIVADAS 
Em geral, as funções reais são formadas com operações e/ou, composições das funções elementares. 
Para cada tipo de operação e, para a composição, teremos uma regra específica. 
 
 
7 
 
Produto/Multiplicação de função por número real (Regra do Produto por nº) 
[𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)]′ = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥) 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 
c) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥7
 
d) 𝑓(𝑥) =
1
2𝑥6
 
e) 𝑓(𝑥) = −
9 √𝑥3
8
2
 
f) 𝑓(𝑥) = −5𝑒𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 7𝑥 
h) 𝑓(𝑥) = ln⁡(2) log2(𝑥) 
i) 𝑓(𝑥) =
2
5
ln(𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = 𝜋sec⁡(𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = −3cos⁡(𝑥) 
l) 𝑓(𝑥) = 2arctg⁡(𝑥) 
m) 𝑓(𝑥) = 5𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
 
Soma ou Subtração de funções (Regra da Soma e da Subtração) 
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 
c) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥12
−
1
2𝑥3
+ 2 
d) 𝑓(𝑥) = 6√𝑥 −
3
√𝑥2
3 + 10 
e) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) + 3𝑒𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(0) 
f) 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥 − 4𝑥3 + 𝑥 −
log(𝑥)
2
+ 1 
g) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 tg(𝑥) − 2𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
h) 𝑓(𝑥) = 𝜋2 − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) + ln(𝑥) 
i) 𝑓(𝑥) = 2 arcsec(𝑥) − 2𝑥 + 6 
j) 𝑓(𝑥) = 5 arctg(𝑥) − 3𝑥4 − 9 
k) 𝑓(𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 3𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) −
1
3𝑥3
 
8 
 
l) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 4𝑐𝑜𝑠 sec(𝑥) + 𝑥 − 4 
 
Produto/Multiplicação de funções (Regra do Produto) 
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 4) ln(𝑥) 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒𝑥 
d) 𝑓(𝑥)= 𝑒𝑥tg⁡(𝑥) 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥√𝑥 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ln(𝑥) 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑥5cos⁡(𝑥) 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑐𝑜𝑡𝑔⁡(𝑥) 
i) 𝑓(𝑥) = arctg(𝑥) ln(𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) arccos(𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 4𝑥 − 2) 𝑒𝑥 
l) 𝑓(𝑥) = tg⁡(𝑥)(𝑥 + cos(𝑥)) 
m) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
n) 𝑓(𝑥) = 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥2 + 𝑥 
 
Quociente de funções (Regra do Quociente) 
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
]
′
=
𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))
2 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) =
−2
𝑥−1
 
b) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥2−4
 
c) 𝑓(𝑥) =
−2
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥−1
 
e) 𝑓(𝑥) =
𝑥3−3𝑥
𝑥2+1
 
f) 𝑓(𝑥) =
3−𝑥
𝑥4−𝑥2
 
g) 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)−2
3+ln(𝑥)
 
9 
 
h) 𝑓(𝑥) =
log5(𝑥)
𝑥2+2𝑥−1
 
i) 𝑓(𝑥) =
7𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
j) 𝑓(𝑥) =
√𝑥
cos(𝑥)
 
k) 𝑓(𝑥) = 
cos⁡(𝑥)
2𝑥−1
 
l) 𝑓(𝑥) =
arccos⁡(𝑥)
2𝑥
 
m) 𝑓(𝑥) =
arctg(𝑥)
3𝑥3−4𝑥
 
 
Composição de Funções (Regra da Cadeia) 
[𝑓(𝑔(𝑥))]′ = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) 
Derivada da função “de fora” calculada na função “de dentro” vezes a derivada da função “de dentro”) 
Exercício: Derivar as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = (−𝑥 + 2)5 
b) 𝑓(𝑥) = sec(2𝑥) 
c) 𝑓(𝑥) = ln(3𝑥 + 1) 
d) 𝑓(𝑥) = √−𝑥 + 10 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥−3 
f) 𝑓(𝑥) = 10𝑥
2+2𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = arctg(−𝑥) 
h) 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥3) 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3(𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥4) 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛4(𝑥) 
l) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2𝑥 + 1)3 
m) 𝑓(𝑥) = √2𝑥3 + 𝑥 − 2 
n) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(−𝑥4 + 5𝑥 − 2) 
o) 𝑓(𝑥) = sen (𝑥3 + 2 + 5𝑥) 
p) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (
1
𝑥2
− 3𝑥 + 4) 
q) 𝑓(𝑥) = 34𝑥 + ln(3𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
𝑥) 
r) 𝑓(𝑥) = log3(3𝑥 − 2) − 3−𝑥 
s) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
− 2 sec(√𝑥
3
) 
10 
 
t) 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑥)
𝑥−1
 
u) 𝑓(𝑥) = 𝑥3(𝑥 − cos(𝑥))4 
v) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
w) 𝑓(𝑥) = √
−𝑥+1
3𝑥−2
 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
Seja 𝑓(𝑥) uma função derivável. 
Se a derivada desta função, 𝑓′(𝑥), também for derivável, então sua derivada é chamada derivada de 2ª ordem de 𝑓(𝑥) 
e é representada por 𝑓′′(𝑥). 
Se, por sua vez, 𝑓′′(𝑥) também for derivável, temos a derivada de 3ª ordem de 𝑓(𝑥), representada por 𝑓′′′(𝑥). 
Se, por sua vez, 𝑓′′′(𝑥) também for derivável, temos a derivada de 4ª ordem de 𝑓(𝑥), representada por 𝑓(4)(𝑥). 
Assim, derivando sucessivamente é possível chegar até a derivada de ordem 𝑛 da função 𝑓(𝑥) (enésima derivada da 
função 𝑓(𝑥)), representada por 𝑓(𝑛)(𝑥). 
Notações mais comuns: 
• 1ª ordem: 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = [𝑓(𝑥)]′ 
• 2ª ordem: 𝑦′′ = 𝑓′′(𝑥) = [𝑓(𝑥)]′′ 
• 3ª ordem: 𝑦′′′ = 𝑓′′′(𝑥) = [𝑓(𝑥)]′′′ 
• 4ª ordem: 𝑦(4) = 𝑓(4)(𝑥) 
• ... 
• Enésima ordem: 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑛)(𝑥) 
Notações em Equações Diferenciais: 
• 𝑦′ = �̇� =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 
• 𝑦′′ = �̈� =
𝑑2𝑓
𝑑𝑥2
 
• 𝑦′′′ = 𝑦 =
𝑑3𝑓
𝑑𝑥3
 
• 𝑦(4) =
𝑑4𝑓
𝑑𝑥4
 
• ... 
• 𝑦(𝑛) =
𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑥𝑛
 
 
Exercício1) Determine as derivadas das funções: 
a) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 até 2ª ordem 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 2 até 2ª ordem 
11 
 
c) 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 − 10 até 2ª ordem 
d) 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥 − 3 ∙ 5𝑥 até 3ª ordem 
e) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) + log2(𝑥) até 3ª ordem 
f) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 5cos⁡(𝑥) até 4ª ordem 
g) 𝑓(𝑥) = sec⁡(𝑥) até 2ª ordem 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) até 3ª ordem 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) até 2ª ordem 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) até 3ª ordem 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) até 3ª ordem 
l) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2𝑥 + 1)3 até 2ª ordem 
m) 𝑓(𝑥) = ln(−𝑥4 + 5𝑥 − 2) até 2ª ordem 
 
TABELA DE DERIVADAS ELEMENTARES 
 
 
12 
 
 
 
TABELA DAS REGRAS DE DERIVADAS