Funções

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Material de Apoio
Disciplina de Matemática
Profª: Amanda Martins
FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
A função crescente é aquela em que y aumenta toda vez que x é aumentado. A função decrescente é aquela em que y diminui toda vez que x é aumentado.
Funções são regras que ligam cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro conjunto. Quando se trata de conjuntos numéricos, essas funções assemelham-se a equações que relacionam os elementos de um conjunto a outro por meio de suas variáveis. Uma função é crescente quando, aumentando-se os valores atribuídos ao domínio, os valores do contradomínio ficam cada vez maiores; caso contrário, a função é decrescente.
Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:
Funções crescentes
Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:
Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade. Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função dada, percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro unidades.
Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por essa razão, a função é crescente. Além disso, apenas observando o gráfico dessa função, é possível perceber que ela é crescente, pois, quanto mais à direita, mais alta a reta fica.
Também é possível dizer que uma função é crescente quando, diminuindo-se os valores de x, os valores de y diminuem também.
Exemplo:
Mostre que a função y = 7x + 1 é crescente.
Se x = 0
y = 7x + 1 = 7·0 + 1 = 1
Se x = 1
y = 7x + 1 = 7·1 + 1 = 8
Como o valor de y aumenta quando aumentamos o valor de x, a função é crescente.
Observe que essa é uma função do primeiro grau, portanto, o seu gráfico é uma reta. Em uma mesma reta, é impossível haver intervalos crescentes e decrescentes. Se em um intervalo a reta for crescente, então, ela será em toda a sua extensão.
Dessa maneira, basta observar em dois valores de x que y aumenta para garantir que toda a reta seja crescente.
Função decrescente
Uma função decrescente é aquela em que o valor da variável y diminui sempre que a variável x aumenta. Um exemplo de função decrescente é a seguinte: y = – 3x + 3. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:
Observe que, cada vez que o valor de x aumenta uma unidade, o valor de y diminui três unidades. Dessa maneira, essa função é decrescente.
Além de observar os valores na tabela, também é possível definir se uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente a partir da análise do seu gráfico. Observe o gráfico decrescente da função acima:
Exemplo:
Mostre que a função y = – x é decrescente.
Para tanto, basta mostrar que, aumentando-se o valor de x, o valor de y diminui. Escolheremos, para isso, os valores x = 0 e x = 1. Observe:
Se x = 0,
y = – x = – 0 = 0
Se x = 1,
y = – x = – 1
Observe que, aumentando-se uma unidade no valor de x, o valor de y cai uma unidade; logo, a função é decrescente.
Como identificar funções crescentes e decrescentes sem cálculos
Existe uma maneira de dizer se uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente sem fazer qualquer cálculo. Para isso, basta observar o valor do coeficiente “a” da função. Esse coeficiente é proveniente da forma geral da função do primeiro grau:
y = ax + b
“a” é o número que multiplica a variável, e b é uma constante. A regra para identificar se funções do primeiro grau são crescentes ou não é a seguinte:
Se a > 0, a função é crescente;
Se a 0.
b) y = – x
Decrescente, pois a = – 1 0.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função do 2º grau (também chamada de função quadrática) traz o expoente 2 em sua incógnita, sendo escrita por meio da função f(x) = ax² + bx + c. Para que essa função seja válida, é necessário que a, b e c pertençam ao conjunto dos números reais e a deve ser diferente de zero.
Definição
A equação do 2º grau é determinada pelo expoente 2 que estiver na incógnita. Por exemplo:
x² + 5x + 8 = 0 (equação do 2º grau)
x² + 9 = 0 (equação do 2º grau)
A forma de encontrar o valor da incógnita x na equação de 2º grau é mediante a fórmula de Bhaskara.
Bhaskara foi um matemático (professor, astrólogo, astrônomo) muito dedicado, depois de vários estudos ele nos trouxe, de forma bem resumida, a solução geral da equação do 2º grau, que se resume basicamente em:
x = – b ± √Δ
      2a
Δ = b2 – 4·a·c
Mas de onde vieram as letras a, b e c que estão descritas na fórmula? É só analisar a equação em si:
ax² + bx + c = 0
Assim, a representa qualquer número que esteja multiplicando x², b é o número que multiplica a incógnita x e c é o número sozinho.
Cada equação apresenta uma característica quando representada em um gráfico. A equação do 1º grau, por exemplo, é uma reta, portanto, ela encontra o eixo x apenas em um ponto (justamente o valor de “x” encontrado na equação). Já a equação do 2º grau tem a característica de ser uma parábola, encontrando em dois pontos do eixo x, por isso, temos duas respostas da equação e as chamamos de raízes da função.
Sendo uma parábola, é necessário encontrar os valores do vértice, ou seja, o “ponto de virada” da parábola.
O x do vértice é dado pela fórmula:
Xv = – b
         2a
E o y do vértice é o resultado da fórmula:
Yv = – Δ
        4a
Exemplo 1:
x² + 2x – 4 = 0
Passo 1: Identificar a, b e c:
a = 1
b = +2
c = –4
Passo 2: Achar o valor de Δ na fórmula:
Δ= b² – 4ac
Δ= 2² – 4.2.(–4)
Δ = 4 – 8.(–4)
Δ = 4 + 32
Δ = 36
Passo 3: Encontrar os valores de x (as raízes da função):
x = – b ± √Δ
      2a
x = – (+2) ± √36
      2.1
x = – 2 ± 6
      2
	x’= – 2 + 6
     2
x’=  4
      2
x’= 2
	x”= – 2 –6
       2
x’’= – 8
       2
x”=  – 4
Passo 4: Encontrar x e y do vértice:
Xv = – b
        2a
Xv = – 2
        2.1
Xv = – 2
        2
Xv = – 1
Yv = – 36
         4.1
Yv = – 36
          4
Yv = – 9
Passo 5: Montar o gráfico da função:
Com os valores de x’ = 2; x” = –4; Xv = –1; Yv = –9, a parábola fica da seguinte forma:
Obs.: Quando o sinal que acompanha a incógnita x² for positivo, é uma parábola que está com a concavidade voltada para cima.
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