Aula 3 - Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento de lajes

Prévia do material em texto

Determinação dos vínculos e da 
direção das armaduras no 
dimensionamento de lajes
Apresentação
Apesar de existirem diversas possibilidades de formas geométricas, como lajes em L e circular, as 
lajes são, sobretudo, construídas maciças e retangulares, já que é um modelo estrutural de fácil 
dimensionamento e execução.
As cargas que atuam sobre a laje são variadas. Entretanto, essa carga vai depender da concepção 
estrutural do elemento adotada durante o dimensionamento da laje. Para tanto, se faz necessário 
conhecer as possibilidades de concepção estrutural dos vínculos em lajes, bem como as alternativas 
de carregamentos que irão atuar sobre elas para, então, determinar os esforços solicitantes na 
estrutura.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai compreender a tipologia dos vínculos nas bordas de 
lajes, conhecer as cargas que agem sobre uma laje, avaliar a condição de cálculo da laje em função 
da orientação da armadura de flexão e, por fim, determinar os esforços solicitantes de reação de 
apoio e momento fletor das lajes.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Listar os tipos de lajes quanto à sua geometria.•
Identificar o carregamento de uma laje.•
Reconhecer lajes armadas em uma ou duas direções.•
Infográfico
Os principais esforços solicitantes em lajes são reação de apoio e momento fletor, sendo que a 
direção do momento fletor é utilizada como parâmetro de classificação das lajes. No entanto, para 
determinar os esforços solicitantes, é preciso conhecer e classificar as cargas que atuam na 
estrutura e estabelecer a classificação geral das lajes quando há direção da armadura em função da 
disposição do momento fletor atuante.
Acompanhe, no Infográfico, os principais parâmetros usados para determinar os carregamentos em 
lajes e a classificação delas quanto à direção da armadura, bem como as orientações para calcular 
os esforços solicitantes.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/bec9b88f-1381-4e26-ad3c-83c1f683be42/b41ccf8a-1a4f-41f4-b184-7e4378655120.png
Conteúdo do livro
As lajes são destinadas a suportar a maior parte das cargas aplicadas em uma construção, e essas 
cargas são as mais variadas possíveis, tais como pessoas, equipamentos, mobiliários, revestimentos, 
paredes, entre outros. Portanto, é fundamental analisar corretamente as cargas que atuam sobre a 
estrutura para fazer um dimensionamento correto e seguro da estrutura.
Além do carregamento, o dimensionamento da laje também compreende a concepção da estrutura 
quanto à forma geométrica e à vinculação das bordas, pois esses parâmetros influenciam 
diretamente nos esforços solicitantes e nas deformações que surgem nas lajes.
No capítulo Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento de lajes, 
base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender sobre a classificação das lajes 
quanto à vinculação e à tipologia dos carregamentos, vai identificar a direção da armadura e 
determinar os esforços solicitantes utilizados nos dimensionamentos de lajes.
Boa leitura.
CONCRETO ARMADO 
APLICADO EM VIGAS, 
LAJES E ESCADAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Listar os tipos de lajes quanto à sua geometria.
 > Identificar o carregamento de uma laje.
 > Reconhecer lajes armadas em uma ou duas direções.
Introdução
As lajes recebem a maior parte das ações de uma construção (pessoas, móveis, 
pisos, paredes e os mais variados tipos de carga), geralmente de forma per-
pendicular ao seu plano. Essas ações costumam ser transmitidas para as vigas 
pelas suas bordas, em que também podem ocorrer ações externas, na forma de 
momentos fletores, que dependem diretamente do tipo de vínculo existente entre 
os diferentes elementos.
Determinação dos 
vínculos e da direção 
das armaduras no 
dimensionamento 
de lajes
Aedjota Matos de Jesus
Neste capítulo, você estudará as lajes maciças retangulares. Para tanto, serão 
apresentadas a classificação da laje quanto à vinculação, as cargas que atuam 
em uma laje e a orientação da armadura de dimensionamento. Além disso, expli-
caremos aqui os esforços solicitantes.
Vinculação nas bordas das lajes
As lajes podem ser apoiadas de forma pontual, como ocorre em lajes apoiadas 
diretamente em pilares, ou de forma linear, como ocorre em lajes apoias sobre 
alvenaria e vigas. Entretanto, nas construções a forma mais comum são as 
bordas das lajes apoiadas linearmente sobre vigas ou alvenaria estrutural. 
Dessa maneira, é possível obter três condições de apoio: apoio simples, 
engaste perfeito e engaste elástico. Nesta seção, explicaremos as diferentes 
vinculações nas bordas de lajes maciças retangulares.
O apoio simples ocorre nas bordas de laje em que não existe ou não se 
admite a continuidade da laje com outras lajes vizinhas. O vínculo do tipo 
engaste perfeito ocorre em lajes em balanço, como nas lajes de marquise, 
varanda e sacadas. Já o apoio do tipo engaste elástico ocorre em apoios in-
termediários de lajes contínuas, em que surgem momentos fletores negativos 
em virtude da continuidade das lajes (BASTOS, 2015).
Para simplificação e conversão, são considerados três tipos de vínculos 
nas bordas de lajes retangulares de concreto armado: engaste perfeito, apoio 
simples e borda livre, conforme ilustrado na Figura 1.
Figura 1. Conversão dos tipos de vínculos nas bordas de laje.
Fonte: Adaptada de Bastos (2015).
No Quadro 1, são apresentadas algumas combinações possíveis de vínculos 
em função da disposição das bordas de uma laje retangular — há desde laje 
simplesmente apoiada e laje que combina engaste e apoio simples, até laje 
que possui uma borda livre.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...2
Quadro 1. Tipos de lajes em função dos vínculos nas bordas
Caso Vinculação Caso Vinculação Caso Vinculação
1 2 3
Quatro bordas 
simplesmente apoiadas
Uma borda engastada 
e três bordas 
simplesmente apoiadas
Duas bordas adjacentes 
engastadas e duas 
bordas simplesmente 
apoiadas
4 5 6
Duas bordas opostas 
engastadas e duas 
bordas simplesmente 
apoiadas
Três bordas engastadas 
e uma borda 
simplesmente apoiada
Quatro bordas 
engastadas
7 8 9
Uma borda livre e três 
bordas simplesmente 
apoiadas
Duas bordas 
engastadas, uma borda 
livre e uma borda 
simplesmente apoiada
Uma borda engastada, 
uma borda livre e duas 
bordas simplesmente 
apoiadas
Fonte: Adaptado de Bastos (2015).
É possível obter outras combinações de bordas das lajes retangulares 
ou, ainda, variações dessas combinações apresentadas. Fica a critério do 
projetista avaliar a solução técnica mais econômica a ser adotada em função 
das disposições estruturais e arquitetônicas estabelecidas em projeto.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 3
Engaste perfeito e engaste elástico 
em lajes contínuas
O engaste perfeito ocorre em lajes em balanço, como marquises e sacadas. 
Nele, admite-se que nas bordas há continuidade entre duas lajes vizinhas. 
Entretanto, quando duas lajes contínuas possuem alturas diferentes e, con-
sequentemente, momentos de inércia distintos, como mostrado na Figura 2, 
o mais adequado é conceber que a laje de menor espessura (L2) é engastada 
na laje de maior espessura (L1). Todavia, a laje L1 não necessariamente está 
engastada na laje L1, mas, sim, apenas apoiada na borda comum às duas 
lajes (BASTOS, 2015).
Figura 2. Lajes contínuas com espessuras diferentes.
Fonte: Adaptada de Bastos (2015).
Pode ocorrer, ainda, que a laje não tenha continuidade ao longo de toda 
a borda comum (Figura 3). Nesse caso, deve-se simplificar a vinculação em 
função da relação entre os comprimentos das lajes (BASTOS, 2015).
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...4
Figura 3. Lajes parcialmente contínuas.
Fonte: Bastos (2015, p. 5).
Para tanto, admite-se que a laje L1 podeter a borda engastada na laje 
L2 ou, ainda, se admite que a laje L1 fica com a borda simplesmente apoiada 
(apoio simples). No entanto, em qualquer situação, a laje L2 tem a borda 
engastada na laje L1 (BASTOS, 2015).
O engaste elástico ocorre em apoios intermediários de lajes contínuas, em 
que surgem diferentes momentos fletores negativos devido à continuidade 
das lajes ao serem calculadas separadamente (Figura 4) (BASTOS, 2015).
Figura 4. Engastamento elástico na continuidade das lajes contínuas decorrente dos momentos 
fletores negativos diferentes.
Fonte: Bastos (2015, p. 5).
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 5
Para fins de cálculo, de início se considera que os momentos fletores 
( e ) foram obtidos a partir de lajes perfeitamente engastadas nos 
apoios intermediários. Nesse caso, posteriormente é preciso realizar uma 
ponderação entre os diferentes valores dos momentos fletores que surgem 
nesses apoios. Para tanto, Bastos (2015) recomenda que a compatibilização 
de momentos fletores deve ser feita adotando-se o maior valor entre 80% do 
maior momento calculado e a média aritmética entre os momentos, conforme 
mostra a Equação 1.
 (1)
Vãos teóricos das lajes
Os vãos efetivos ( ) das lajes podem ser calculados pela Equação 2, conforme 
define a NBR 6118, considerando-se que os apoios são suficientemente rígidos 
na direção vertical (BASTOS 2015).
 (2)
onde corresponde ao vão livre entre os apoios; , ao menor valor entre 
 e ; e , ao menor valor entre e (Figura 5).
Figura 5. Dimensões consideradas para o cálculo do vão efetivo em lajes.
Fonte: Adaptada de ABNT (2014).
Araújo (2014) recomenda que, em laje contínua, o vão teórico seja a distân-
cia entre os centros dos apoios e que, em lajes em balanço, seja o comprimento 
da extremidade livre até o centro do apoio.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...6
Exemplo
Considere a seguinte planta de forma (Figura 6).
Figura 6. Exemplo de planta.
O corte AA pode ser representado conforme Figura 7.
Figura 7. Corte AA.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 7
A partir desse corte, é possível calcular os vãos efetivos das lajes 1 e 2 (L1 
e L2) em função dos parâmetros estabelecidos pela NBR 6118 (ABNT, 2014). 
Primeiramente, é necessário determinar os valores de e , conforme segue.
Analogamente, obtém-se o valor de . Sendo assim, o valor do vão 
efetivo no sentido do corte AA é dado por:
Desse modo, tanto a laje L1 quanto a laje L2 terão o vão efetivo de cm 
 no sentido do corte AA.
O corte BB pode ser representado conforme Figura 8, na qual se observa 
que a laje L1 está no primeiro vão e a laje L2 está em balanço.
Figura 8. Corte BB.
A partir desse corte, é possível calcular o vão efetivo da laje L1 em função 
dos parâmetros estabelecidos pela NBR 6118 (ABNT, 2014). Primeiramente, é 
necessário determinar os valores de , conforme segue.
Visto que existe um apoio intermediário (V4) entre as lajes L1 e L2, adota-se 
para o valor entre o eixo do apoio, isto é, , que vai corresponder 
a 7,5 cm. Dessa maneira, tem-se para a laje L1:
Portanto, a laje L1 tem o vão efetivo de no sentido do 
corte BB.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...8
Uma vez que a laje L2 está em balanço, o valor do vão efetivo corresponde 
ao comprimento da extremidade livre até o centro do apoio, conforme dado 
por:
Para melhor representar os valores calculados, há na Figura 9 a planta 
de vinculação das lajes.
Figura 9. Planta de vinculação das lajes.
Observa-se que a laje L1 é simplesmente apoiada nas quatro bordas. Já 
a laje L2 é engastada na laje L1 e tem a borda oposta livre, uma vez que se 
trata de uma laje em balanço.
Carregamento em lajes
As lajes são solicitadas predominantemente por cargas perpendiculares ao 
seu plano médio. Os carregamentos que atuam sobre as lajes são bastante 
variados e incluem desde pessoas e equipamentos, até materiais, como 
rocha, água e solo. Essas cargas são classificadas em dois grandes grupos: 
carregamento permanente e carregamento acidental, denotados pelas letras 
 e , respectivamente.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 9
Os carregamentos permanentes são os que ocorrem com valores pra-
ticamente constantes durante toda a vida da construção, como os pesos 
próprios da estrutura e dos revestimentos. Os carregamentos acidentais 
são cargas que sofrem variação significativa ao longo da vida da construção 
e são estabelecidos em função da finalidade da edificação, incluindo o 
peso das pessoas, dos mobiliários, dos veículos, entre outros (ABNT, 2014; 
ARAÚJO, 2014).
Os valores dos carregamentos podem ser obtidos em função do peso 
específico dos materiais utilizados na construção. Para determinar esses 
valores, deve-se acessar a norma NBR 6120 (ABNT, 2019), que estabelece as 
ações mínimas a serem consideradas no projeto de estruturas de edificações, 
independentemente de sua classe e seu destino. Cargas não contempla-
das na NBR 6120 têm característica peculiar e devem ser criteriosamente 
avaliadas. Para tanto, recomenda-se consultar outras normas brasileiras 
e, se for necessário, recorrer a normas estrangeiras, manuais técnicos e/
ou bibliografia especializada.
Carregamento permanente
O carregamento permanente ( ) deve contemplar basicamente os pesos 
próprios da laje, do contrapiso e dos revestimentos, tanto na face superior 
quanto na face inferior da laje. O valor do carregamento é obtido a partir do 
produto do peso específico do material ( ) utilizado pela altura ( ), 
conforme consta na Equação 3.
 (3)
onde o peso específico (em kN/m³) é determinado por norma, e a altura do 
elemento (em metros) é determinado no detalhamento do projeto.
No Quadro 2, são apresentados alguns exemplos de pesos específicos 
estabelecidos pela NBR 6120 em função do tipo de material utilizado na 
construção.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...10
Quadro 2. Exemplos de pesos específicos dos materiais utilizados na 
construção
Material Peso específico aparente (kN/m³)
Concreto armado 25
Argamassa de cimento e areia 19 a 23 (21)
Rocha ardósia e mármore 28
Porcelanato 21
Fonte: Adaptado de ABNT (2019).
Ao se analisarem os carregamentos permanentes, é preciso ava-
liar se há disposição de paredes sobre as lajes. Caso exista, essa 
carga da parede deve ser estimada e colocada de duas maneiras. Uma delas 
é considerar o valor da carga uniformemente distribuída. Isso ocorre quando 
a parede está arranjada na direção principal da laje ou em laje armada em 
duas direções. Outra maneira é considerar o valor da carga da parede como 
uma carga concentrada. Essa solução geralmente é adotada quando a parede 
está orientada de modo perpendicular à direção principal da laje em laje 
armada em uma direção.
Carregamento acidental
O carregamento acidental ( ) é definido pela NBR 6120 (ABNT, 2019) como 
toda carga vertical que pode atuar nos pisos de edificações em função do seu 
uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos, etc.). Para a avaliação do 
carregamento acidental, supõe-se uma carga uniformemente distribuída no 
plano da laje, cujos valores mínimos são estabelecidos por norma.
No Quadro 3, há alguns exemplos de cargas acidentais estabelecidas pela 
NBR 6120 em função do uso da edificação.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 11
Quadro 3. Exemplos de cargas acidentais em função do uso da edificação
Local
Carga uniformemente 
distribuída (kN/m³)
Área de acesso público em aeroportos 5,0
Sacadas e varandas residenciais 2,5
Escritórios comerciais 3,0
Refeitórios de clubes 3,0
Fonte: Adaptado de ABNT (2019).
Exemplo
Determine o carregamento total que atua sobre uma laje de concreto armado 
destinada ao uso comercial de escritório, com altura de 10 cm e com piso de 
mármore, cuja seção em corte é apresentada na Figura10.
Figura 10. Seção em corte de laje de concreto armado.
Esses dados nos permitem determinar o carregamento permanente e o 
carregamento acidental conforme segue.
1. Carregamento permanente
Na Figura 10, é possível notar os seguintes elementos: a laje, o revestimento 
em argamassa nas faces inferior e superior e o revestimento do piso em 
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...12
mármore. A seguir, vamos determinar o peso de cada um deles a partir dos 
dados de que dispomos.
1.1 Peso próprio da laje
A laje tem altura de 10 cm ( ) e é feita de concreto armado 
( ). Assim, tem-se:
1.2 Peso próprio da argamassa de regularização na face inferior da laje
Essa regularização tem 1,5 cm ( ) e é feita de argamassa conven-
cional ( ). Assim, tem-se:
1.3 Peso próprio da argamassa de regularização na face superior da laje
Essa regularização tem 2,0 cm ( ) e é feita de argamassa conven-
cional ( ). Assim, tem-se:
1.4 Peso próprio do piso em mármore
O piso de mármore tem 2,5 cm ( ) e é feito de rocha natural do 
tipo mármore ( ). Assim, tem-se:
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 13
O valor do carregamento permanente pode ser obtido a partir da soma 
dos pesos próprios de todos os componentes:
2. Carregamento acidental
Como se trata de uma laje que deve atender ao uso comercial de escritório, é 
possível obter na Tabela 10 da NBR 6120 (ABNT, 2019) o valor do carregamento 
acidental de .
Dessa maneira, obtém-se o carregamento total a partir da soma aritmética 
dos carregamentos permanente e acidental:
Portanto, admite-se que o carregamento total que atua sobre a laje ana-
lisada é de 6,94 kN/m².
Classificação da laje quanto à direção 
da armadura
As lajes maciças de concreto armado são classificadas de acordo com diferen-
tes parâmetros, como, por exemplo, a forma geométrica, os tipos de vínculos 
nas bordas, a direção da armadura, entre outros. Nesta seção, conheceremos 
aspectos relacionados à classificação das lajes maciças quanto à direção (ou 
às direções) da armadura principal.
A partir da análise de deformação de lajes maciças retangulares, Araújo 
(2014) constatou que o momento fletor solicitante em lajes é maior na direção 
do menor vão da laje. Então, o autor concluiu que, quando um vão da laje 
é muito maior que o outro, um dos momentos fletores (aquele na direção 
do vão maior) se torna relativamente pequeno, podendo até mesmo ser 
desconsiderado. Dessa maneira, em função da razão entre os vãos, as lajes 
podem ser classificas em lajes armadas em uma direção e lajes armadas em 
duas direções.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...14
As lajes retangulares possuem dois vãos, um maior e outro menor, que são 
denominados “vão maior” ( ) e “vão menor” ( ). Em função da razão entre o 
vão maior e o vão menor, obtém-se o valor , conforme disposto na Equação 4.
 (4)
Se for menor ou igual a 2, diz-se que a laje é armada em duas direções. 
Se for maior que 2, diz-se que a laje é armada em uma direção.
Laje armada em uma direção
A laje armada em uma direção ocorre quando a razão entre o vão maior e 
o vão menor é maior que 2. Nesse caso, os esforços solicitantes são mais 
expressivos na direção do menor vão da laje. Portanto, devem ser calculados 
e realizados o dimensionamento e a disposição da armadura de flexão na 
direção do menor vão, conforme mostra a Figura 11.
Figura 11. Laje retangular armada em uma direção.
Fonte: Adaptada de Bastos (2015).
A partir da Figura 11, observa-se que existem duas armaduras, mesmo 
que a laje seja calculada em apenas uma direção. A armadura principal 
( ) é calculada em função do esforço de momento fletor que surge na 
menor direção. A outra armadura, denominada “armadura de distribuição” 
( ), é uma armadura construtiva arbitrada, visto que, na direção do maior 
vão, o momento fletor é tão pequeno, que não necessita ser calculado.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 15
Para determinar os esforços solicitantes em laje armada em uma direção, 
deve ser considerada a condição de vinculação das bordas orientada na 
direção do menor vão, em que se admite a laje como uma viga com largura 
fixa de 1 m (Figura 12).
Figura 12. Condição de vinculação e momentos fletores em laje armada em uma direção.
Fonte: Bastos (2015, p. 13).
Feita a consideração sobre a condição de vinculação, observemos o Quadro 
4, que traz as possibilidades de vinculações com as respectivas fórmulas para 
cálculo dos esforços solicitantes e deformação.
Quadro 4. Esforços solicitantes em lajes armadas em uma direção
Vinculação 
da laje
Simplificação e esforços 
solicitantes
Deformação 
máxima
(Continua)
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...16
Vinculação 
da laje
Simplificação e esforços 
solicitantes
Deformação 
máxima
Vê-se que a deformação máxima, também chamada “flecha”, depende do 
carregamento total ( ), do vão menor ( ), do módulo de deformabilidade 
do concreto ( ) e do momento de inércia da seção ( ). Vale ressaltar que o 
carregamento total para cálculo da flecha é resultante da combinação no 
estado-limite de deformações excessivas do carregamento permanente e do 
carregamento acidental, conforme estabelecido pela Equação 5.
 (5)
(Continuação)
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 17
onde o valor do coeficiente é 0,3 para edifícios residenciais e 0,3 para 
edifícios comerciais, conforme estabelecido na Tabela 11.2 da NBR 6118 
(ABNT, 2014).
Laje armada em duas direções
Também denominada “armadura em cruz”, a laje armada em duas direções 
ocorre quando a razão entre o vão maior e o vão menor é menor ou igual a 2. 
Nesse caso, os esforços solicitantes são significativos nas duas direções da 
laje. Portanto, devem ser calculados e realizados o dimensionamento e a 
disposição das armaduras nas duas direções, conforme mostra a Figura 13.
Figura 13. Laje retangular armada em duas direções.
Fonte: Adaptada de Bastos (2015).
Essencialmente, as lajes são solicitadas por momentos fletores e esforço 
cortante, e o cálculo dessas solicitações pode ser feito por meio de processo 
elástico ou plástico. Entretanto, a NBR 6118 (ABNT, 2014) propõe que o cálculo 
seja baseado em regime de comportamento plástico. Para tanto, baseado na 
Teoria das Placas, Pinheiro (1994) adaptou uma série de tabelas desenvol-
vidas por Bares (1974) para o cálculo tanto dos esforços solicitantes quanto 
da flecha máxima.
Por simplificação, é possível obter os valores do esforço cortante ( ), 
do momento fletor ( ) e da flecha máxima ( ) em função do vão ( ) e do 
carregamento total ( ) de acordo com as equações 6, 7 e 8, respectivamente.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...18
 (6)
 (7)
 (8)
onde os coeficientes são obtidos a partir das tabelas de Pinheiro 
(1994) e são dados em função da relação entre vão maior ( ) e vão menor ( ).
A disposição dos vínculos de uma laje influencia diretamente na 
condição de cálculo dos esforços solicitantes e na deformação má-
xima que a laje pode sofrer. Para saber mais sobre os tipos de lajes em função 
dos vínculos nas bordas e sobre as tabelas dos esforços solicitantes e das 
deformações, consulte Tabelas de lajes (2007), de Libânio M. Pinheiro. O material 
está disponível na internet.
Exemplo
A partir da planta de vinculação apresentada na Figura 14, na qual o carrega-
mento total ( ) que atua sobre cada laje é de 6,94 kN/m², calcule os esforços 
solicitantes de reação nos apoios e nos momentos fletores.
Figura 14. Planta de vinculação.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 19
Primeiramente, faz-se necessário calcular a direção da armadura das lajes. 
Para tanto, observe-se o Quadro 5, que resume os dados obtidos a partir da 
planta de vinculação. Como se vê, a laje L1 é armada em duas direções e a 
laje L2 é armadaem uma direção.
Quadro 5. Dados obtidos a partir da planta de vinculação
Laje
Vão maior
( )
Vão menor
( )
Direção da 
armadura 
de flexão 
da laje
L1 310,5 266 1,16 Armada 
em duas 
direções
L2 266 107,5 2,47 Armada em 
uma direção
A laje L1 é simplesmente apoiada nas quatro bordas, e há uma relação 
entre o vão maior e o vão menor igual a 1,16. A partir dessas informações 
e acessando a tabela de Pinheiro (1994), é possível obter os coeficientes 
para cálculo do esforço cortante ( ) e momento fletor 
( ). Assim, chega-se aos valores dos esforços, apresen-
tados no Quadro 6.
Quadro 6. Valores dos esforços
Direção 
dos 
esforços
Reação nos apoios Momento fletor
x
y
A laje L2 armada em uma direção tem uma borda engastada e outra livre. 
Portanto, os esforços podem ser calculados conforme segue.
Reação no apoio: 
Momento fletor: 
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...20
Para melhor ilustrar os resultados calculados, podem-se resumir os cál-
culos em uma planta de esforços, conforme Figura 15.
Figura 15. Planta de esforços.
Observa-se que as reações são dispostas em semicírculos e que os mo-
mentos fletores estão sobre as linhas orientadas na direção do esforço.
Referências
ABNT. NBR 6118 - Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: 
ABNT, 2014.
ABNT. NBR 6120 - Ações para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: 
ABNT, 2019.
ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. 4. ed. Rio Grande: Editora DUNAS, 2014. v. 2.
BASTOS, P. S. S. Laje em concreto armado. Bauru: UNESP, 2015. Disponível em: https://
wwwp2.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf. Acesso em: 16 nov. 2020.
PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos: Escola de Engenharia 
de São Carlos - USP, 1994.
Leituras recomendadas
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais 
de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Paulo: Editora EdUFSCAR, 
2015. v. 1.
CLÍMACO, J. C. T. Estruturas de concreto armado. Fundamentos de projeto, dimensio-
namento e verificação. 3. ed. Brasília: ELSEVIER - UNB, 2016.
PORTO, T. B.; FERNANDES, D. S. G. Curso Básico de Concreto Armado: conforme NBR 
6118:2014. 1. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2015.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento... 21
PINHEIRO, L. M. Tabelas de lajes. São Paulo: USP, 2007. Disponível em: https://joao-
luisfeis.webnode.com.br/_files/200000052-9ac369bbf8/tabelas-lajes.pdf. Acesso 
em: 16 nov. 2020.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores 
declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Determinação dos vínculos e da direção das armaduras no dimensionamento...22
Dica do professor
Os esforços solicitantes em lajes armadas em duas direções são calculados analiticamente a partir 
da Teoria das Placas. No entanto, o cálculo pode ser simplificado por meio da utilização de tabelas, 
como as desenvolvidas e adaptadas por Libânio M. Pinheiro (1994). As tabelas de Libânio Pinheiro 
têm coeficientes de cálculos dos esforços de reação de apoio e momento fletor em função do tipo 
de laje e da relação entre os vãos maior e menor. Obtidos os coeficientes, é possível, portanto, 
calcular os esforços solicitantes das lajes armadas em duas direções.
Nesta Dica do Professor, você vai aprender como determinar os esforços solicitantes de reação de 
apoio e o momento fletor em lajes armadas em duas direções. Para tanto, saberá como utilizar as 
tabelas para calcular esses esforços e como representar esquematicamente os esforços calculados.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/a8b479a2e3d6962ae963a5b5259bec90
Na prática
Como é determinar o carregamento do peso de uma parede que atua sobre a laje? Quais 
parâmetros devem ser levados em consideração para estimar o peso da alvenaria?
Para responder essas perguntas, é necessário conhecer a direção da armadura da laje e em qual 
sentido está orientada a parede.
Em Na Prática, veja um exemplo numérico de como determinar a carga de uma parede de alvenaria 
que está sobre uma laje.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Métodos de dimensionamentos de lajes maciças com e sem o 
embasamento da norma NBR 6118:2014
As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções, dependendo da relação entre os vãos. 
Consequentemente, a determinação dos esforços é feita por métodos diferentes. Veja, neste artigo, 
exemplos numéricos de dimensionamento de lajes armadas em uma e em duas direções.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Estudo sobre a contribuição das lajes na estabilidade global de 
edifícios
A estabilidade de um edifício é critério de segurança para o dimensionamento das estruturas em 
concreto armado. Neste artigo, você pode avaliar a importância da contribuição das lajes para a 
rigidez das estruturas.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Laje maciça com armadura cruzada: tabelas de Czerny
Os esforços solicitantes em lajes armadas em duas direções podem ser determinados por diversos 
métodos: método de Libânio Pinheiro, método de José Milton de Araújo, método de Marcus, 
método de Czerny, entre outros. Veja, aqui, o método de Czerny, elaborado com base na Teoria da 
Elasticidade para determinar os esforços solicitantes em lajes armadas em duas direções.
https://www.researchgate.net/publication/332118452_Metodos_de_dimensionamentos_de_lajes_macicas_com_e_sem_o_embasamento_da_norma_NBR_61182014
https://repositorio.ufsc.br/xmlui/handle/123456789/178297
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Análise do desempenho em lajes planas com diferentes 
considerações de ações
O peso da alvenaria de vedação é uma carga significativa que pode atuar sobre uma laje de forma 
concentrada ou distribuída, dependendo da concepção estrutural utilizada no dimensionamento. 
Veja, neste artigo, uma análise do desempenho de lajes planas sob ações de alvenaria de vedação.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Reforço estrutural em laje de concreto armado
Em virtude da concepção errada dos esforços e, consequentemente, do dimensionamento 
incorreto, algumas vezes, as lajes precisam receber reforço na estrutura. Veja, neste artigo, algumas 
soluções de reforço em lajes.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL DE EDIFÍCIOS RESIDENCIAIS 
EM CONCRETO ARMADO
https://nelsoschneider.com.br/laje-macica-com-armadura-cruzada-tabelas-de-czerny/
https://multivix.edu.br/wp-content/uploads/2019/06/revista-esfera-tecnologia-v03-n02-artigo05.pdf
https://www.revistas.ufg.br/reec/article/view/19838
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
O que fazer quando a laje se deforma excessivamente?
Naturalmente, as estruturas de concreto se deformam com o tempo. Isso ocorre devido ao efeito 
de fluência do concreto. Veja, neste artigo, como recuperar lajes em concreto armado, que 
apresentam grandes deformações verticais.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://repositorio.animaeducacao.com.br/bitstream/ANIMA/19364/1/TCC%20FINAL%20-%20Anna%2C%20Yuri%2C%20Felipe.pdf
https://www.institutodeengenharia.org.br/site/wp-content/uploads/2019/05/Artigo-245.pdf