exercicios 6a lista

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1. Calcule 𝑓′(𝑝) pela definição 
a. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 𝒆 𝒑 = 𝟏 
Da definição, quando existir o limite 
 
Diremos que L é a derivada ou f’ de f 
lim
𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 − (1 + 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 2 = 3 
Lembrando que podemos representar um polinômio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 como 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), 
sendo 𝑥1 𝑒 𝑥2 as raízes do polinômio. Calculei as raízes por soma e produto, de forma que 
𝑆 = −
𝑏
𝑎
= (𝑥1 + 𝑥2) = −1 
𝑃 =
𝑐
𝑎
= (𝑥1 ∗ 𝑥2) = −2 
𝑥1 = 1 𝑒 𝑥2 = −2 
b. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑 𝒆 𝒑 = 𝟐 
lim
𝑥→2
√𝑥
3
− ∛2
𝑥 − 2
 
Lembrando que podemos representar 𝑥 − 2 = (√𝑥
3
)
3
− (√2
3
)
3
 e que a fórmula para a 
diferença de cubos é 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏) ∗ (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
lim
𝑥→2
√𝑥
3
− ∛2
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
√𝑥
3
− ∛2
(√𝑥
3
− √2
3
) ∗ (√𝑥
3 2
+ √𝑥
3
√2
3
+ √2
3 2
)
= lim
𝑥→2
1
√𝑥
3 2
+ √𝑥
3
√2
3
+ √2
3 2
= lim
𝑥→2
1
𝑥
1
3
2
+ (2𝑥)
1
3 + 2
1
3
2 = lim
𝑥→2
1
2
2
3 + 2
2
3 + 2
2
3
 
Após toda essa manipulação mirabolante 
lim
𝑥→2
√𝑥
3
− ∛2
𝑥 − 2
=
1
3 ∗ 2
2
3
 
3. Calcule 𝑓′(𝑝) pela definição 
f. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 
Nesse caso, como p não foi dado, utilizaremos 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑝 + ℎ) − 𝑓(𝑝)
ℎ
 
Portanto 
lim
ℎ→0
[(𝑝 + ℎ)2 + (𝑝 + ℎ)] − (𝑝² + 𝑝)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑝2 + 2𝑝ℎ + ℎ2 + 𝑝 + ℎ − 𝑝2 − 𝑝
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑝ℎ + ℎ2 + ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑝 + ℎ + 1 = 2𝑝 + 1 
 
4. Seja 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
. Encontre 𝑓′(𝑝) para 𝑝 ≠ 0 e mostre que 𝑓′(0) não existe 
Iremos utilizar a primeira definição 
 
lim
𝑥→0
√𝑥
3
− ∛0
𝑥 − 0
=
𝑥
1
3
𝑥
=
1
𝑥
2
3
 
Lembrando das condições para uma função ser contínua 
• 𝑓(𝑎) é definida → 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 
• lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) deve existir 
• lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
É fácil notar que 𝑓′(0) não existe, uma vez que dividir por zero é uma indefinição. 
6. Seja 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 2 , 𝑥 0
 ; 𝑥1 = 0 
 
A função será contínua em 𝑥1 se o limite for convergente, ou seja, se os limites laterais forem 
iguais. Não obstante, a função será derivável em 𝑥1 se 𝑓 for contínua em 𝑥1 
 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = 02 = 0 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = −02 = 0 
Como o limite é convergente, 𝑓 será contínua, e portanto diferenciável, em 𝑥1 = 0 
b) ℎ(𝑥) = {
𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥