Relatório oscilador forçado ok (1)

Prévia do material em texto

Relatório Oscilador Forçado 
 
 Física Experimental II, 2024.2, Turma 21 
Thayane Silva da Cruz; Quéren Conceição da Encarnação; João Vitor Vieira da Silva 
Entregue a Rubicely Francisco do Nascimento, professora da disciplina Física Experimental II 
 
 Resumo: Um sistema oscilante real está sempre sujeito a algum 
tipo de atrito de forma que, se deslocado de sua posição de 
equilíbrio, ele inevitavelmente evolui para o estado de equilíbrio 
em repouso. Para que este sistema permaneça oscilando, deve 
haver algo que restitua a energia dissipada. Quando existe uma 
força externa periódica atuando sobre o sistema durante todo o 
tempo de oscilação, ela restitui ao oscilador a energia perdida 
pelo atrito, mas exigirá que o sistema passe a oscilar com a sua 
frequência 𝜔, o que chamamos de oscilações forçadas. As 
amplitudes das oscilações forçadas dependem da frequência 
natural do sistema 𝜔0, da intensidade da força 𝐹0 e da 
frequência 𝜔 da força externa. 
Palavras-chave: Frequência, Atrito, Amplitude, Dissipação. 
 
I. INTRODUÇÃO 
O oscilador forçado é um experimento que ocorre quando um 
sistema oscila sob a ação de uma força externa periódica. Essa 
força restitui a energia perdida pelo atrito, mas exige que o 
sistema oscile na frequência da força externa. 
Um exemplo de oscilador forçado é o sistema massa-mola, 
em que a força elástica da mola compensa o peso do corpo na 
posição de equilíbrio. Quando a massa é afastada do 
equilíbrio, o sistema responde como um oscilador harmônico 
convencional. O fenômeno da ressonância é caracterizado 
pelo crescimento da amplitude de oscilação do oscilador 
forçado. A curva que relaciona a amplitude da oscilação 
forçada com a frequência da força externa se chama curva de 
ressonância. Se o atrito presente no sistema é pequeno, a 
curva tem um máximo em torno da frequência natural do 
sistema. Como a energia de um sistema oscilante é 
proporcional ao quadrado da sua amplitude, este resultado 
indica que a absorção de energia é máxima quando o sistema 
é excitado com frequência próxima à sua frequência natural. 
Um oscilador harmônico real é caracterizado por duas 
grandezas: a sua frequência natural 𝜔0 e a taxa de 
amortecimento 𝛾. 
No caso do sistema massa-mola 𝜔0
2 = 𝑘/m e 𝛾 = 𝑏/𝑚, onde 𝑏 
é o coeficiente da força de atrito proporcional à velocidade 
instantânea da massa. 
Para outros osciladores que não o simples sistema massa-
mola é bem mais fácil se determinar o valor de 𝜔0 do que o 
de 𝛾. Neste caso, a análise de curvas de ressonância pode ser 
usada para se determinar o seu valor. A solução estacionária 
da equação diferencial para o oscilador harmônico 
amortecido forçado é expressa da seguinte maneira: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴(𝜔) 𝑐𝑜𝑠( 𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)) 
 
Onde 𝜔 indica a frequência da força externa e tanto 𝐴 como 
de  dependem de 𝜔. A expressão para 𝐴(𝜔) é: 
𝐴(𝜔) = 
𝐹0
𝑚
(
1
[ω2−ω02)2+γ2ω2]
1
2
) 
 
Se 𝛾 é pequeno, a expressão acima pode ser aproximada, 
perto de 𝜔 = 𝜔0, por: 
𝐴(𝜔) = 
𝐹0
2𝑚ω0
{
1
[ω−ω0)2+γ2/4]
1
2
} 
 
Essa expressão mostra, em aproximação, que o máximo da 
curva de ressonância ocorre em 𝜔 = 𝜔0 e é dado por: 
𝐴𝑚𝑎𝑥 = 𝐴(𝜔0) = 
𝐹0
𝑚ω0γ
 
 
A mesma expressão mostra que: 
𝐴 (𝜔0 ± 
γ
2
) = 
1
√2
( 
𝐹0
𝑚ω0γ
) = 
Amax
√2
 
 
Ou seja, a distância entre os pontos onde a reta corta a curva 
de ressonância determina o valor de 𝛾. Esta distância é 
também chamada de semi-largura de pico. 
 
O fator de qualidade Q é definido por: 
Q = 
ω0
γ
 
 
Ele é uma medida da qualidade, ou seja, da presença de pouco 
ou muito atrito entre os constituintes do sistema. 
 
O objetivo deste experimento caracterizar o sistema oscilante 
encontrando os parâmetros físicos tais como taxa de 
amortecimento e a frequência de ressonância, 
consequentemente o fator de qualidade e, para isso, 
determina-se a curva de ressonância de um oscilador forçado. 
 
II. EXPERIMENTO 
Para a realização do experimento, usaremos os seguintes 
materiais: 
 
1. Alto-falante; 
2. Gerador de áudio frequência; 
3. Haste metálica; 
4. Régua; 
5. Suporte; 
6. Folha de dados. 
 
 
 
 Figura 1 – (A) Desenho da montagem do experimento oscilador 
forçado. (B) Detalhe da amplitude de vibração da haste. 
 
O oscilador foi montado conforme ilustrado na Figura acima. 
O fio de nylon preso ao alto-falante ficou entre 2 e 3 cm 
afastado da garra, para que a transmissão de energia fosse 
apreciável. 
 Após montar o sistema, fixou-se a barra de alumínio 
mantendo-se o L, que é a distância da garra até a extremidade 
livre da haste. Colocou-se então a haste para oscilar 
até que atingisse a ressonância. 
 
 Mediu-se assim a amplitude máxima e sua respectiva 
frequência de oscilação. Encontrada a frequência de 
ressonância, passou–se a reduzir a frequência da fonte em 
0,1Hz por vez, com alterações para melhor aproveitamento, 
para verificar a variação da amplitude. 
 
Depois de verificar, retornou-se à frequência de ressonância 
e passou-se a aumentar, 0,1Hz por vez, também com 
alterações momentâneas, a frequência da fonte para também 
verificar a variação da amplitude. 
 
Em seguida, foi deslocado o ponto de fixação do raio na 
haste, de tal modo que o novo comprimento 𝐿 da parte livre 
para oscilação fosse reduzida, não foi usado um padrão de 
tamanho para a redução. 
O procedimento anterior foi repetido para obter a amplitude 
máxima. 
 
Repetiu-se o procedimento para mais quatro posições da 
haste. O menor valor de 𝐿 para o qual ainda se pode obter 
dados com boa precisão de ressonância é L~14 cm. 
 
 
III. RESULTADOS 
 
Para a primeira tabela, o comprimento da haste foi de 24,10 
± 0,05 cm. 
 
Tabela 1: 
 
 
 
Como se pode notar na tabela 1, a maior amplitude ocorre 
quando a frequência se encontra em 24,0Hz, convertendo 
para 𝜔, obtemos 150,8 ±0,1. 
Para a conversão foi usada a equação de frequência de 
ressonância abaixo: 
f = 
ω
2𝜋
  𝜔 = f.2π 
 
A semi-largura de Pico é dada por: 
A = 
Amáx
√2
 , temos: A = 
4,3
√2
 = 3,04cm 
 
A taxa de amortecimento é dada por: 
𝛾 =∆𝜔 , temos 𝛾= 149,5 – 152,1 = 2,6 cm 
 
E o fator de qualidade é dado por: 
𝑄 = 
ω0
γ
, temos: Q = 
150,8
2,6
 = 58,00 
Foi usado os valores referentes a alteração de 0,5Hz acima e 
abaixo da maior amplitude obtida. 
 
 
0
1
2
3
4
5
70 90 110 130 150 170
A
(c
m
)
𝜔(rad/s) 
A(cm) x 𝜔(rad/s) 
 f(Hz) 𝜔(rad/s) A(cm) 
12,9 81,1 ± 0,1 0,1 ± 0,05 
22,5 141,4 ± 0,1 0,4 ± 0,05 
23,3 146,4 ± 0,1 0,9 ± 0,05 
23,5 147,6 ± 0,1 1,4 ± 0,05 
23,7 148,9 ± 0,1 2,6 ± 0,05 
23,8 149,5 ± 0,1 3,0 ± 0,05 
23,9 150,2 ± 0,1 3,4 ± 0,05 
24,0 150,8 ± 0,1 4,3 ± 0,05 
24,5 153,9 ± 0,1 2,9 ± 0,05 
24,6 154,6 ± 0,1 2,0 ± 0,05 
24,7 155,2 ± 0,1 1,4 ± 0,05 
24,8 155,8 ± 0,1 1,2 ± 0,05 
24,9 156,4 ± 0,1 0,8 ± 0,05 
25,0 157,1 ± 0,1 0,6 ± 0,05 
25,2 158,3 ± 0,1 0,5 ± 0,05 
Para a segunda parte do experimento, onde foi diminuído o 
comprimento da haste 5 vezes, temos a seguinte tabela: 
 
Tabela 2: Gráfico 𝜔 0 x L 
 
Gráfico Wo (rad/s) x L (cm) 
 
Encontramos uma relação não linear entre a frequência de 
ressonância ω0 e o comprimento da haste L. Foi observado 
que quanto menor o comprimento da haste, maior é a 
frequência de ressonância, maior é a frequência necessária 
para atingir a maior amplitude possível da haste. Nesse 
sentido, para aplicação do MMQ foi necessário, 
primeiramente, realizar ajustes para linearizar o gráfico. 
Usando o método dos mínimos quadrados, foi possível 
encontrar os coeficientes da melhor reta que representa os 
pontos do gráfico: 
 
Gráfico Log(Wo) x Log (L) 
 
 
 
L(cm) 𝜔 0 Xi xYi) Xi x Xi Log L Log 𝜔0 
22,10 214,80 3,14 1,81 1,34 2,33 
20,20 212,40 3,04 1,70 1,31 2,33 
18,30 251,33 3,03 1,59 1,262,40 
16,50 309,80 3,03 1,48 1,22 2,49 
14,50 388,30 3,01 1,35 1,16 2,59 
 
Temos: Y = aX + b 
 
Onde: a =
 𝑛 ∑ 𝑋𝑖 𝑌𝑖 – ∑ 𝑋𝑖 ∑ 𝑌𝑖
n ∑ 𝑋𝑖2−(∑ 𝑋𝑖)2 
 
b =
∑ 𝑋𝑖² ∑ 𝑌𝑖 − ∑ 𝑋𝑖 ∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖
𝑛 ∑ 𝑋𝑖² − (∑ 𝑋𝑖)²
 
 
∑ 𝑋𝑖² =7,94 a =
 5(15,24) –(6,29∗12,14)
5(7,94) −(6,29)2 
∑ 𝑋𝑖 =6,29 
∑ 𝑌𝑖 =12,14 
∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖 =15,24 b =
(7,94∗12,14) –(6,29∗15,24)
5(7,94)−(6,29)2 
 
Com isso, obtemos: Y = -1,5126x + 4,3312 
 
Se Y= Log (Wo) e X= Log(L), temos: 
 
 Log (Wo) = -1,5126*Log(L) + 4,3312 
 
 Wo = 104,3312. L-1,5126 
 
Com isso, a dependência funcional de Wo em relação ao 
cumprimento L é representada por: Wo = 104,3312.L-1,5126 
 
 
IV. CONCLUSÃO 
O procedimento experimental feito mostrou que com 
a variação no comprimento da barra varia sua frequência 
natural de oscilação e que, em um sistema de oscilação 
forçada, a frequência de ressonância é diferente para cada 
comprimento de barra. 
Ao passo que o comprimento da barra aumenta a 
frequência de ressonância diminui. Uma característica 
importante observada é que existe um ponto máximo de 
amplitude, e em torno deste ponto, tanto aumentando como 
diminuindo a frequência de ressonância a amplitude e a 
frequência natural passa a ter valores menores, simulando 
uma curva de Gauss. 
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00
W
o
(r
ad
/s
) 
L (cm)
Wo(rad/s) x L (cm)
y = -1.5127x + 4.3312
R² = 0.9455
2.20
2.30
2.40
2.50
2.60
2.70
1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40
Lo
g 
(W
o
)
Log(L)
Log(Wo) x Log(L)
 L(cm) 𝜔(rad/s) 
22,1 ± 0,05 214,8 ± 0,1 
20,2 ± 0,05 212,4 ± 0,1 
18,3 ± 0,05 251,3 ± 0,1 
16,5 ± 0,05 309,8 ± 0,1 
14,5 ± 0,05 388,3 ± 0,1 
Encontramos também a relação entre a frequência de 
ressonância ω0 e o comprimento da haste L, e concluímos 
que quanto maior o comprimento da haste menor é a 
frequência de ressonância da mesma. 
 
V. REFERÊNCIAS 
[1] Halliday, David. Física Teórica 2. 1. Rio de Janeiro: LTC. 
2003. 367. 
[2] Osciladores livres, amortecidos e forçados-Ressonância. 
Disponível em: .Acessado em: 
03/11/2024
 
	Entregue a Rubicely Francisco do Nascimento, professora da disciplina Física Experimental II
	I. INTRODUÇÃO
	II. EXPERIMENTO
	III. RESULTADOS
	IV. CONCLUSÃO
	V. REFERÊNCIAS