Matemática para concursos

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professora luciana ferreira
MATEMÁTICA
COM POSITIVIDADE
@matematicacompositividade
ContémgosgnúmerosgracionaisgegirracionaisKg
ÉgcompostogpelosgseguintesgsubconjuntosE
UtilizamosgparagcontarK
Sãogosgnúmerosgquegpodemgsergescritosgna
formagdegfraçãogaQbFgondegagegbgsão
númerosginteirosgegb~0K
ContémgosgnúmerosginteirosK
Sãogosgnúmerosgnaturaisgegseus
negativosK
ContémgosgnúmerosgnaturaisK
Sãogosgnúmerosgdecimaisginfinitosgegnão
periódicosK
Representadosgpelagletrag K
NãogpodemgsergescritosgemgfraçãoK
SãogexemplosE
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
NúmerosgNaturais
NúmerosgRacionais
NúmerosgInteiros
NúmerosgReais
NúmerosgIrracionais
sg Sx
sg Sx
sg Sx
sg Sx
sgSxg
g�gxg~g0TEgnúmerosgreaisgnãognulosK
g�gxgug0TEgnúmerosgreaisgnãognegativosK
g�gxgtg0TEgnúmerosgreaisgpositivosK
g�gxgyg0TEgnúmerosgreaisgnãogpositivosK
g�gxgxg0TEgnúmerosgreaisgnegativosK
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
Números Primosgsãognúmerosgmaioresgqueg1gegdivisíveis
apenasgporg1gegporgelegmesmoK
ExemplosEg2Fg3Fg5Fg7Fg11Fg13Fg17Fg19Fg23Fg29Fg31Fg37Fg41Fg43Fg47F
53Fg59Fg61Fg67Fg71Fg73Fg79Fg83Fg89Fg97FgKKK
@matematicacompositividade
Partes (denominador)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
100
1K000
10K000
100K000
1K000K000
lEITURA
Meio
Terço
Quarto
Quinto
Sexto
Sétimo
Oitavo
Nono
Décimo
Onzegavos
Dozegavos
Centésimo
Milésimo
DécimogdegMilésimo
CentésimogdegMilésimo
Milionésimo
Vamosgpensargnumagpizzagdivididagemg6
pedaçosgiguaisKgSegeugconsumog5gpedaços
degpizzaFgeugconsumig5Q6gWougcincogsextosX
dagpizzaKg
FRAÇÕES
Égagrepresentaçãogda
divisãogdegdoisgnúmerosK
Tipos
Leitura
EXEMPLO
5
6
Tipos Definição Exemplo
Fraçãogprópria
FraçãogImprópria
FraçãogAparente
Ognumeradorgégmenorgquegogdenominador
Ognumeradorgégmaiorgougigualgquego
denominador
Ognumeradorgégdivisívelgpelogdenominador
Numerador
DenominadorgWnuncagégzeroX
3
5
9
5
8
4
@matematicacompositividade
OPERAÇÕES
COM FRAÇÕES
Multiplicação
MultipliquegosgnumeradoresgentregsiF
assimgcomogosgdenominadoresK
Adição e subtração
Passo 1EgCalculegogMMCgdosgdenominadoresgoriginaisKgEstegserágo
novogdenominadorP
Passo 2EgDividagogMMCgporgcadagdenominadorgantigoP
Passo 3EgMultipliquegogresultadogdessagdivisãogporgcada
numeradorP
Passo 4EgSomegougsubtraiagosgresultadosgdogpassog3K
Multipliquegagprimeiragfração
peloginversogdagsegundaK
Divisão
@matematicacompositividade
GRANDEZAS
PROPORCIONAIS
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPOCIONAIS
GRANDEZAS DIRETAMENTES
PROPOCIONAIS
Ogquocientegentregduasggrandezasgdiretamente
proporcionaisgégigualgagumagconstantegkKgQuando
umaggrandezagaumentaFgagoutragtemgquegaumentar
paragmantergagrazãogigualgagkK
Ogprodutogentregduasggrandezasginversamente
proporcionaisgégigualgagumagconstantegkK
QuandogumaggrandezagaumentaFgagoutragtemgque
diminuirgparagmantergogprodutogigualgagkK
EXEMPLO
EXEMPLO
EmgumagindústriaFgemg1ghoragsãogproduzidasg20
caixasKgLogogemg2ghorasgsãogproduzidasg40
caixasFgjágquegquantogmaiorgogtempoFgmais
caixasgsãogproduzidasK
EmgumagestradaFgumgcarrogsegmovegag50kmQhge
demorag2hgparagchegargaogseugdestinoKgLogo
quandogsegmovegag100kmQhFgelegdemorag1hgpara
chegargaogseugdestinoFgjágquegquantogmaiorga
velocidadeFgmenorgégogtempogatégogdestinoK
@matematicacompositividade
TEOREMA DE TALESq
p
r
E
C
A
s t
B
D
F
6
E
4
8
Dadas 2 retas transversais s e t que
cortam 3 retas paralelas p, q e r,
temos que:
e
Dado o triângulo abaixo, ache o valor de
X:
EXEMPLO
A
x
C
B
D
F
@matematicacompositividade
1 5
a b
INTERVALOS
ABERTOS
Intervalo
]a,b[
Geometricamente
Conjunto
É possível representá-lo de 3 formas:
{x | aHectômetro (hm)
Decâmetro (dam)
Metro (m)
Decímetro (dm)
Centímetro (cm)
Milímetro (mm)
Hora (h)
Minuto (min)
Segundo (s)
Quilograma (kg)
Hectograma (hg)
Decagrama (dag)
Grama (g)
Decigrama (dg)
Centigrama (cg)
Miligrama (mg)
Quilômetro
quadrado (km²)
Hectômetro
quadrado (hm²)
Decâmetro
quadrado (dam²)
Metro quadrado
(m²)
Decímetro
quadrado (dm²)
Centímetro
quadrado (cm²)
Milímetro quadrado
(mm²)
Quilômetro cúbico
(km³)
Hectômetro cúbico
(hm³)
Decâmetro cúbico
(dam³)
Metro cúbico 
(m³)
Decímetro cúbico
(dm³)
Centímetro cúbico
(cm³)
Milímetro cúbico
(mm³)
UNIDADES DE MEDIDA
CAPACIDADE
COMPRIMENTO
TEMPO
MASSA
ÁREA VOLUME
q10
q10
q10
q10
q10
q10
q10
q10
q10
q10
q10
q10
x10
x10
x10
x10
x10
x10
x10
x10
x10
x10
x10
x10
q10
q10
q10
q10
q10
q10
q60
q60
x10
x10
x10
x10
x10
x10
x60
x60
EXEMPLOS
Quantos segundos tem 1 hora?
OlhandogogesquemagdogtempoFgparagirgdogquadrinhogdaghoragparago
quadrinhogdogsegundoFgprecisamosgmultiplicargporg60gduasgvezesK
AssimFg1ghoragsg60gxg60gsg3600gsegundosK
Quantos decalitros tem 1 litro?
OlhandogogesquemagdagcapacidadeFgparagirgdogquadrinhogdoglitro
paragogquadrinhogdogdecalitroFgprecisamosgdividirgporg10KgAssimFg1glitro
sg1Q10gsg0F1gdecalitrosK
q1000
q1000
q1000
q1000
q1000
q1000
x1000
x1000
x1000
x1000
x1000
x1000
x100
x100
x100
x100
x100
x100
q100
q100
q100
q100
q100
q100
1gm@gsg1000glitros
@matematicacompositividade
Podegsergsimplesg ougcomposta
7F567567KKKK 4F323444KKKK
DÍZIMA PERIÓDICA
Égumgnúmeroginfinitoge
periódicoK
Possuigapenasgogperíodo
WpartegquegsegrepeteXE
PossuigogperíodogWpartegquegsegrepeteX
egoganteperíodogWpartegquegnãogsegrepeteXE
período
EXEMPLO EXEMPLO
período
anteperíodo
Fração Geratriz
Colocamosgumgb9cgpara
cadagalgarismognogperíodoK
Colocamosgosgalgarismosgaté
ogperíodoK
Colocamosgumgb0cgpara
cadagalgarismognoganteperíodoKg
Colocamosgosgalgarismosgaté
oganteperíodoK
Ogpassogagpassogparagencontrargagfraçãoggeratrizgde
dízimasgsimplesgégogmesmogparagasgdízimasgcompostasK
Agúnicagdiferençagégquegnãogexisteganteperíodognas
simplesHgNogexemplogacimaFgagfraçãoggeratrizgéE
@matematicacompositividade
DIFERENÇA DE QUADRADOS
PRODUTOS NOTÁVEIS
EXEMPLO
QUADRADO DA SOMA E DA DIFERENÇA
ENTRE DOIS TERMOS
@matematicacompositividade
SOMA E DIFERENÇA DE CUBOSCUBO DA SOMA E DA DIFERENÇA
ENTRE DOIS TERMOS
PRODUTOS NOTÁVEIS
FATOR COMUM
EXEMPLO
3
Desenvolva o termo (x+2).
Utilizando o cubo da soma, temos que
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POTENCIAÇÃO E
RADICIAÇÃO
Repete a base e soma os expoentes.
Repete a base e subtrai os expoentes.
Mantém a base e multiplica os expoentes.
Repete a raiz e divide os radicandos.
Repete o radicando e multiplica os índices.
Repete a raiz e multiplica os radicandos.
Divisão de potências de mesma base
Potência de potência
Produto de potências de mesma base
Potência com expoente
racional
Divisão de radicais de mesmo índice
Produto de radicais de mesmo índice
Raiz de raiz
Base
Expoente
Potência
Radicando
Índice
Radical
Raíz
@matematicacompositividade
Racionalize a fração:
Obs.: Aqui, utilizamos a propriedade de produto de radicais de
mesmo índice do tópico “Radiciação e Potenciação”:
Por isso que √5 . √5 = √5.5 = √25 = 5 
Este é o caso quando o denominador da fração tem o radical com
índice 2, ou seja, o denominador é uma raiz quadrada. Multiplique o
numerador e o denominador pelo próprio denominador e
desenvolva.
RACIONALIZAÇÃO DE
DENOMINADOR
EXEMPLO
Passo a passo
1º
Racionalização de denominador
significa transformar o seu valor
irracional em um valor racional:
ANTES DEPOIS
Irracional Racional
Caso 1: Denominador com índice do radical
igual a 2.
@matematicacompositividade
Racionalize a fração:
Obs.: Aqui, utilizamos a propriedade de diferença de quadrados do
tópico “Produtos Notáveis”:
Neste caso, multiplique o numerador e o denominador pelo fator racionalizante dos radicais. O
que seria esse fator racionalizante dos radicais? É o denominador só que com o sinal trocado.
Veja que o fator racionalizante de √5 - √3 é √5 + √3. Se o denominador fosse √5 + √3, o fator
racionalizante seria √5 - √3.
EXEMPLO
Passo a passo
1º
Fator racionalizante Lembre-se que o quadrado de uma raiz quadrada é o número
de dentro (radicando). Por isso (√5)2 = 5 e (√3) 2= 3
RACIONALIZAÇÃO DE
DENOMINADOR
Caso 2: Denominador do tipo √a ± √b
@matematicacompositividade
Racionalize a fração:EXEMPLO
Passo a passo
Identifique qual é o índice da raiz e qual é o expoente do radicando. No exemplo, o índice da
raiz é 3 e o expoente é 1.
Identifique quanto falta do expoente do radicando para o índice da raiz. No exemplo, é 3-1=2.
Multiplique o numerador e o denominador pelo próprio denominador, mas com o expoente do
passo 2.
1º
2º
3º
Expoente do radicando, no caso é 1
Índice 
da raiz
Diferença entre o índice da raíz e o
expoente do radicando.
RACIONALIZAÇÃO DE
DENOMINADOR
Caso 3: Denominador com índice do
radical maior que 2
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Propriedade
Logaritmo do Produto
fórmula
Mudança de Base
Inverso do Logaritmo
Logaritmo de Base com
Potência
Logaritmo da Potência
Logaritmo do Quociente
LOGARITMO
pois 34(3 elevado a 4) é igual a 81.
Base
O logaritmo de b na base a é o
número x de modo que a elevado
a x é igual a b.
Logaritmando
onde a > 0; b > 0 e a ≠ 1
Logaritmo
Propriedades básicas:
Propriedades avançadas:
EXEMPLO
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DIsciplina NOTA
biologia
Filosofia
Física 
6
7
8
1
2
4
PESO
MÉDIA, MODA
E MEDIANA
É o valor mais repetido.
Ex.: [1,2,3,4,5,5,5,6,6]
Moda = 5
Passo 1: Ordene os números;
Passo 2: Calcule o número de elementos (n);
Passo 3: Se n é par, a mediana é a média entre os 2 termos
centrais. Se n é impar, a mediana é o termo central.
Ex.: [1,2,3,4,4,5]
Como são 6 elementos, a mediana é a média
dos termos centrais:
Exemplo: Suponha que as notas de um aluno foram
6,0; 7,0 e 8,0. A média dele é:
É a razão entre a soma dos valores e o número de valores.
Exemplo: Suponha que as notas de um aluno
com os pesos foram os seguintes:
A média ponderada é:
É a razão entre a soma dos pesos x valores e o número de valores.
MODA
MÉDIA ARITMÉTICA
PONDERADAMÉDIA ARITMÉTICA
SIMPLES
MEDIANA
@matematicacompositividade
JUROS
A correção é aplicada a cada período,
mas considera apenas o valor inicial.
A correção é aplicada a cada período,
sobre cada valor do período anterior.
JUROS SIMPLES
JUROS COMPOSTOSSão cálculos utilizados para
corrigir o valor da quantia
aplicada ou emprestada ao
longo do tempo.
Calcule o montante produzido por R$
4000, aplicado por seis meses, à taxa
de 2% ao mês. Considere o sistema de
juros compostos.
Identifique as informações necessárias:
C = 4000
i = 2% ao mês (ou 0,02 na forma decimal)
t = 6 meses
Substitua na fórmula dos juros compostos (utilize a taxa i na forma decimal) :
6 6
M = 4000 (1+0,02) = 4000 (1,02) = 4000 . 1,1261 = 4504,65
EXEMPLO
Legenda:
M: montante
C: capital inicial
J: juros
i: taxa de juros
t: período de tempo
@matematicacompositividade
Mínimo Múltiplo
Comum
MMC
Encontre o MMC (24,15):
Método 1: Fatoração Simultânea
Passo a passo
EXEMPLO
É o menor número inteiro maior
que 0, múltiplo de dois ou mais
números ao mesmo tempo.
@matematicacompositividade
Máximo Divisor
Comum
MDCMétodo 1: Fatoração Simultânea
Passo a passo
EXEMPLO EncontregogMDCgW24F15XE
Égogprodutogdosgdivisoresgcomuns
entregdoisgougmaisgnúmerosK
@matematicacompositividade
COMO DIFERENCIAR
MMC E MDC?
MDCMMC
Normalmentegenvolvegogcálculogdogtempo
emgquegocorrerágumgnovogencontroK
Normalmenteg envolveg umag ideiag de
divisão deg partesg iguaisFg masg comg o
maior valor possívelK
ParagajudargagmemorizarFglembre[segque
MDCgégMáximo Divisor ComumKEXEMPLO
EXEMPLO
WFCCXgDoisgciclistasgpartemgdegumgmesmogpontogparagpercorrergo
mesmogcircuitoKgOgprimeirogciclistagcompletagumagvoltagdogcircuitogem
5gminutosgegogsegundoFgemg6gminutosKgSegelesgderemgvoltasgnogcircuito
duranteg1ghoragegmeiaFgpassarãogpelogpontogdegpartidagaogmesmotempogsomenteE
AXgumagvezK
BXgduasgvezesK
CXgtrêsgvezesK
DXgquatrogvezesK
EXgcincogvezesK
R:gVejagpelogenunciadogquegagquestãogenvolvegogcálculogdogtempogem
quegocorrerágencontrosgentregosgciclistasKgÉgumgindíciogdegquegdevemos
utilizargogMMCgparagresolvergagquestãoKgOgenunciadoginformagquegum
ciclistaglevag5gminutosgegogoutroglevag6gminutosgparagcompletarguma
voltaKgVejagqueg5geg6gsãognúmerosgprimosgentregsiFgougsejaFgelesgnão
possuemgumgnúmerogquegconseguegdividirgosgdoisgaogmesmogtempoK
LogoFgpelagpropriedadegquegvimosgacimaFgogMMCgdeg5geg6gégo
produtogentregelesFgougsejaFg30KgIssogquergdizergquegagcadag30gminutosF
elesgsegencontramgnogpontogdegpartidaK
Comogogenunciadoginformagquegelesgderamgvoltasgduranteg1ghorage
meiagW90gminutosXFgelesgpassaramgpelogpontogdegpartidag90Q30gsg3
vezesHgLetragCgégagrespostaK
ComogogMDCgdeg4geg8gég4Fgogcomprimentogdegcadagpedaçogserágdeg4gmetrosK
ParagdeterminargquantosgpedaçosgsãoFgdividimosgogcomprimentogtotalgdegcada
canogpelogcomprimentogdegcadagpedaçoKg
Paragogcanogdeg4gmetrosFgégnecessáriog4Q4gsg1gpedaçoKgJágparagogcanogdeg8
metrosFgsãognecessáriosg8Q4gsg2gpedaçosKg
DoisgcanosgdegPVCgmedemg4gmetrosgeg8gmetrosKgElesgprecisamgsergcortadosgem
pedaçosgdegigualgtamanhoFgdegmodogquegogcomprimentogdosgpedaçosgsejago
maiorgpossívelKgQualgserágogcomprimentogdegcadagpedaçogegquantosgpedaços
serãoL
R:gVejagpelogenunciadogquegagquestãogenvolvegagideiagdegdivisãogdegpartes
iguaisFgcomgogmaiorgvalorgpossívelKgLogoFgprecisamosgcalculargogMDCgentreg4geg8K
UtilizandogogmétodogdagfatoraçãogsimultâneaKgEmgvermelhoFgestãogosgfatoresgque
dividemgog4gegog8gaogmesmogtempoK
8Fg4
4Fg2
2Fg1
1Fg1
2g2g2g2gK
2gsg4
@matematicacompositividade
Tipos razão Exemplo
Crescente
Decrescente
Constante
rt0
rx0
rs0
W1Fg3Fg5Fg7Fg9FgKKKXgrs2
W7Fg5Fg3Fg1Fg[1FgKKKXgrs[2
W2Fg2Fg2Fg2Fg2FgKKKXgrs0
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
TERMO GERAL
SOMA DOS TERMOS DA PA
Égumagsequênciagdegtermosgem
quegagdiferençagentregum
termogegogseuganteriorgé
sempregconstantegegigualga
umagrazãogrK
Égagsomagdogprimeirogtermogcomgogn[ésimo
termoFgtudogissogmultiplicadogpelognúmerogde
termosgngegdivididogporg2K
a1ga2ga3ga4ga5
-r -r -r -r
Casogpgsejagigualgag1FgougsejaFgcasogogtermogp
sejagogtermoginicialE
SejamgngegpgduasgposiçõesgquaisquerFgogtermo
geralgdegposiçãogngégigualgagsomagentregogtermo
degposiçãogpgegagdiferençagentregasgposiçõesgn
egpFgmultiplicadagpelagrazãogrE
@matematicacompositividade
Tipos
razão
a1t0gegqt1
ou
a1x0geg0xqx1
a1t0geg0xqx1
ou
a1x0gegqt1
qx0
Exemplo
Singular
Constante
Crescente
Alternante
Decrescente
qs1
a1s0gougqs0
W1Fg2Fg4FgKKKXgqs2
W2Fg0Fg0FgKKKXgqs0
W2Fg2Fg2FgKKKXgqs1
W16Fg8Fg4FgKKKXgqs1Q2
W1Fg[2Fg4Fg[8FgKKKXgqs[2
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
TERMO GERAL
SejamgngegpgduasgposiçõesgquaisquerFgogtermo
geralgdegposiçãogngégigualgaogprodutogentrego
termogdegposiçãogpgegagrazãogqgelevadagà
diferençagentregasgposiçõesgngegpE
SOMA INFINITA DA PG
SOMA DOS TERMOS DA PG
Égogprodutogdogprimeirogtermogcomgagrazãogentre
qn[1gegq[1K
Égumagsequênciagdegtermosgem
quegagrazãogentregumgtermogego
seuganteriorgégsempregconstante
egigualgagumagrazãogqK
a1ga2ga3ga4ga5
÷q ÷q ÷q ÷q
Casogpgsejagigualgag1FgougsejaFgcasogogtermogp
sejagogtermoginicialE Égagrazãogentregogprimeirogtermogeg1[qK
@matematicacompositividade
UmagmatrizgégcompostagpelosgelementosgaijFgemgquegi
égaglinhagegjgégagcolunagondegogelementogestáK
Comecegagcontargasglinhasgde cima para baixogegas
colunasgdagesquerda para a direitaK
MatrizgInversa
MatrizgIdentidade
MatrizgQuadrada
MatrizgTransposta
MATRIZES
Égagmatrizgcomgogmesmognúmerogdeglinhasge
colunasKgChama[segdegordemgessegnúmeroK
ExKEgMatrizgA2gxg2gquegtemgordemg2K
Égagmatrizgemgquegosgelementosgdagdiagonal
principalgsãog1gegosgoutrosg0K
RepresentadagpelagletragIK
ExKEgMatrizgidentidadegI2
Égumagmatrizgquadradagquegmultiplicadagcomga
matrizgoriginalgresultagnagmatrizgidentidadeK
[1AgéginversagdegAgsegAgKgA[g1sgA[gK1gAgsgI
AgmatrizgtranspostagATgdegAgégaquelagcujasglinhasgsãogas
colunasgdegAgegcujasgcolunasgsãogasglinhasgdegAK
Osgnúmerosgpodemgser
inseridosgemgparêntesesF
colchetesgougbarrasK
Égumagtabelagorganizadagcomgumgnúmerogmgde
linhasgegumgnúmerogngdegcolunasK
ExemploEgAgmatrizgAgtemg3glinhasgeg2gcolunasK
ELEMENTOS
REPRESENTAÇÃO
TIPOS
Agsg
Agsg
diagonalgprincipal
Nag matrizg Ag aog ladoFg o
elementoga12gégogelementogna
linhag1gegcolunag2FgougsejaFg20K
LogoFga12s20K
EXEMPLO
3x2
OU
Agsg
Linhag1
Linhag2
Co
lun
ag
1
Co
lun
ag
2
@matematicacompositividade
ParagsomargougsubtrairgasgmatrizesFgbastagsomargougsubtrairgosgelementosK
ExKEgSomagdegduasgmatrizesg2x2
OPERAÇÕES COM MATRIZES
MultiplicaçãogdegMatrizes
AdiçãogegSubtraçãogdegMatrizes
SógégpossívelgsegognúmerogdegcolunasgdegAgWpX
égigualgaognúmerogdeglinhasgdegBgWpXK
AgmatrizgCgresultantegtemgognúmerogdeglinhas
degAgWmXgegognúmerogdegcolunasgdegBgWnXK
iguais
EXEMPLO
EXEMPLO
PrimeiroFgvejagquegagprimeiragmatrizgtemg2gcolunasFgenquantogagsegunda
matrizgtemg2glinhasFgogquegtornagpossívelgagmultiplicaçãoH
AgoraFgmultipliquegosgelementosgcorrespondentesgdaglinhagegdagcolunaF
somandogosgprodutosEg1ºgvalorgdag1ªglinhagdag1ªgmatrizgxg1ºgvalorgdag1ª
colunagdag2ªgmatrizg�g2ºgvalorgdag1ªglinhagdag1ªgmatrizgxg2ºgvalorgdag1ª
colunagdag2ªgmatrizKKKgRepitagogprocessogparagtodasgasglinhasgegcolunasK
@matematicacompositividade
DETERMINANTES
ORDEM 3
ORDEM 1
ORDEM 2
PROPRIEDADES
�gag�gsga
gag bg s gag bgsgadg[gbc
cg d cg d
a
d
gg
b
e
hg
c
f
ig
a
sd
gg
b
e
hg
c
f
ig
a
d
gg
b
e
hg
s aeig�gbfgg�gcdhg[gcegg[gafhg[bdi
ComogcalcularL 1ªgSejamgduasgmatrizesgAgegBgquadradasgdegmesmagordemE
detgWABXgsgWdetgAXgKgWdetgBXK
2ªgTodagvezgquegtrocarmosgduasglinhasgougduasgcolunasgdeglugarF
multipliquegogdeterminantegporg[1K
3ªgSegumagmatrizgAgdegordemgngégmultiplicadagporgKFgo
determinantegégmultiplicadogporgkgnE
detgWkgKgAXgsgkgngKgdetgA
4ªgSegumaglinhagougcolunagégtodagigualgag0Fgogdeterminantegég0K
5ªgSegduasgcolunasgougduasglinhasgsãogiguaisgougproporcionaisFgo
determinantegégnuloK 124g
363g
61211g2x sg0
[16ªgdetgAgTgsgdetgAgegdetgA[g1sgWdetgAXK
OgdeterminantegdagmatrizgAgé
representadogporgdetgAgoug�A�@matematicacompositividade
Número de lados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20
nomenclatura
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Icoságono
POLÍGONOSAgsomagdosgângulosginternosgdegum
polígonogconvexogdegngladosgéE
Agsomagdosgângulosgexternosgdegum
polígonogconvexogégsempreg360ºE
Ognúmerogdegdiagonaisgdegum
polígonogconvexogdegngladosgéE
Paragobtergogvalorgdogânguloginterno
ougexternogdegumgpolígonogregularF
bastagpegargagfórmulagdagsomagdos
ângulosgdosgconvexosgegdividirgporgnK Vértice
ÂngulogExterno
Ânguloginterno
DiagonalA
____
___________
___
____
________
POLÍGONOS CONVEXOS E CÔNCAVOS
Umgpolígonogégconvexogquandogqualquer
segmentogdegretagquegligagdoisgpontosgdesse
polígonoFgestejagtotalmentegcontidogneleKgCaso
algumgnãogestejaFgserágcôncavo.
Umgpolígonogégregulargquandogtodosgos
seusgângulosgegladosgsãogiguaisFgougsejaF
elegégequiângulogegequiláteroK
Convexo Côncavo
POLÍGONOS REGULARES
A B
A B
ADiagonalgdegumgpolígonogégumgsegmentogdegreta
entregdoisgvérticesgnãogconsecutivosgdogpolígonoK
@matematicacompositividade
l
_______________ ___
___
___
______
_______________
_______________ ___
___
_________
___
___
________________________
Possuigosg3gladosgiguaisK
Possuigosg3gângulosgiguaisgag60�K
PossuigumgângulogobtusoFgougsejaFgmaior
queg90ºK
Comogagsomagdegtodosgosgângulosgé
180�Fgagsomagdosgoutrosgângulosgé
menorgqueg90ºK
Possuig2gladosgiguaisK
OsgângulosgdagbasegsãogiguaisK
PossuigumgângulogretoFgougsejaFgigual
ag90�K
Possuigosg3gladosgdiferentesK
Possuigosg3gângulosgdiferentesK
Possuigosgtrêsgângulosgmenoresgque
90ºK
TRIÂNGULOS
Equilátero
RetânguloObtusângulo
Isósceles Escaleno
Acutângulo
___
____________
Égumgpolígonogcomg3gladosFg3
vérticesgeg3gângulosginternosKg
Ag somag dosg ângulosg ég 180�K
Temosg6gtiposK
_______________
@matematicacompositividadel
CasogogtriângulogsejagequiláteroFgvalegagrelaçãoEg
ondegLgégogladogdogtriângulogegRgégograiogdagcircunferênciaKg
CasogogtriângulogsejagequiláteroFgvalegagrelaçãoEg
ondegLgégogladogdogtriângulogegRgégograiogdagcircunferênciaKg
TRIÂNGULOS INSCRITOS E
CIRCUNSCRITOS A CIRCUNFERÊNCIA
Triângulo Inscrito Triângulo Circunscrito
Égogtriânguloginteriorgagumagcircunferência
degmodogquegseusgvérticesgficamgsobrega
circunferênciaK
Égogtriângulogexteriorgagumagcircunferência
degmodogquegagcircunferênciagtangencia
osgladosgdogtriânguloK
R
R
@matematicacompositividade
l
_______________
ALTURA, MEDIATRIZ,
BISSETRIZ E MEDIANA
Altura
Bissetriz Mediana
Mediatriz
ObsKEgAgalturagdogtriângulogequiláterogéE
Égagsemirretagquegdividegumgânguloginterno
dogtriângulogemgduasgpartesgiguaisK
Égogsegmentogformadogpelaguniãogdegumgdos
vérticesgcomgseugladogopostoFgformandogum
ângulogdeg90ºK
Égogsegmentogformadogpelagvérticegcomgo
pontogmédiogdogladogopostoK
Égumagretagquegpassagnogpontogmédiogde
umgdosgladosgdogtriânguloFgformandogum
ângulogdeg90ºK
Altura
Bissetriz
Mediana
Mediatriz
ondeglgégogladogdogtriânguloK
@matematicacompositividade
l
Incentro
Ortocentro
Baricentro
Circuncentro
Ogortocentrogéginternogse
ogtriângulogégacutânguloK
Égogpontogdeginterseçãogentregasgalturasgdos
triângulosgWOXK
ÉgogpontogdegencontrogentregasgbissetrizesgWIXK
Égtambémgogcentrogdagcircunferênciaginscrita
nogtriânguloKg
Ogortocentrogégexternogsego
triângulogégobtusânguloK
Égogpontogdeginterseçãogentregas
mediatrizesgdosgtriângulosgWMXK
Égogpontogdeginterseçãogentregasgmedianas
WGXK
M
GI
O
O
PONTOS NOTÁVEIS DO
TRIÂNGULO
@matematicacompositividade
l
l
l
l
TriângulogQualquer
TriângulogRetânguloTriângulogEquilátero
ÁREAS DOS TRIÂNGULOS
b
h
c
b
a
a
b
c
___
____________
ou ou
Semiperímetro
FórmulagdegHeron
onde
ObsKEg3gladosgidênticos ObsKEgValegogTeoremagdegPitágoras
nogtriângulogretânguloE
@matematicacompositividade
l
UmgpargdegladosgparalelosK
LadosgnãogparalelosgcongruentesK
ÂngulosgdagbasegcongruentesK
ÂngulosgegladosgopostosgcongruentesK
DoisgparesgdegladosgparalelosK
Ângulosgconsecutivosgsãogsuplementares
Wsomag180�XK
d d
UmgpargdegladosgparalelosK
PossuigdoisgângulosgretosK
ÉgumgparalelogramoK
4gladosgeg4gângulosgcongruentesK
Diagonaisgcongruentesgeg
perpendicularesK
ÉgumgparalelogramoK
QuatrogladosgcongruentesK
DiagonaisgperpendicularesKg
UmgpargdegladosgparalelosK
Possuigquatrogladosgcomgmedidas
diferentesK
ÉgumgparalelogramoK
DiagonaisgcongruentesK
K
QuatrogângulosgretosK
DoisgparesgdegladosgcongruentesK
_______________ ___
____
________
__________ __ __ __ ___ _
___
___
____
_____
__________
___
__
_
_____________ _
_ _
_
__________
___
_
_
_
_
_
_______________
__ ______________ ___
____
____
____
___
___
___
_________________
_______________
____
___________
QUADRILÁTEROS
Paralelogramo
TrapéziogRetânguloTrapéziogIsósceles
Quadrado
Losango
Retângulo
TrapéziogEscaleno
_______
___
__________
___
__
___
____
____________________
Égumgpolígonogcomg4gladosFg4
vérticesgeg4gângulosginternosKg
Agsomagdosgângulosgég360�K
ObsKEgAgdiagonalgéE ObsKEgAgdiagonalgéE
l
l
l
l h d
d
b
@matematicacompositividade
Losango Círculo Trapézio
Paralelogramo Retângulo Quadrado
FÓRMULAS DAS ÁREAS
D
d
r
h
b
B
b
h
l
l
lh
b
@matematicacompositividade
PONTO, RETA E
PLANO
Égogalinhamentogdeginfinitos
planosK
ÉgumgconjuntoginfinitogdegretasK
g
Égrepresentadogporgletrasggregas
minúsculasK
ÉgadimensionalK
ÉgusadogparagrepresentarglocalizaçõesK
ÉgrepresentadogporgletrasgmaiúsculasK
PossuigumgpontoginicialgegumgfinalK
PossuigumgpontoginicialFgmasgnãogpossuigpontogfinalK
NãogpossuigumgpontoginicialgegnemgumgfinalK
ÉgumgconjuntogdegpontosgquegnãogfazgcurvaKg
Égrepresentadogporgletrasgminúsculasgougpor
umagsetagduplagsobregduasgletrasgmaiú¬sculasK
ESPAÇO
RETA
SEMIRRETA
SEGMENTO DE RETA
PLANO
PONTO
A
A
A B
B
r
A
r
B
Reta
Reta AB
AB
AB
SegmentogdegReta
SegmentogdegReta
@matematicacompositividade
PossuemgumgpontogemgcomumK
NogexemploFgwgégtransversalgdasgretasgrgegsF
poisgasgatravessaK
NãogexistegpontogemgcomumgentregasgretasK
UmagestágdogladogdagoutraK
PossuemgumgpontogemgcomumK
Formamgângulosgdeg90ºgentregsiK
PossuemgumgpontogemgcomumK
FormamgumgângulogentregsiK
RetasglocalizadasgnogmesmogplanoK
PossuemgtodosgosgpontosgemgcomumK
r // s r s
r
s
s
r
s
r r s
POSIÇÕES RELATIVAS
DAS RETAS
RETASgPARALELAS
RETASgTRANSVERSAIS RETASgPERPENDICULARES
RETAS CONCORRENTES
RETAS COPLANARES
RETASgCOINCIDENTES
r
s
w
r
s
r s
@matematicacompositividade
2
3
4
6
9
12
13
FUNÇÕES
Consideregagfunçãog talgquegfWxXs3xE
TemosgumagfunçãogdegAgemgBgoug
quandogqualquergelementogdegAgsógpodegser
associadogagumgúnicogelementogdogconjuntogB
Função Injetora
Doisgelementosgnãogpodemgterga
mesmagimagemK
Função Sobrejetora
Égaquelagemgquegogcontradomínio
égigualgàgimagemK
Função Bijetora
Égaogmesmogtempogsobrejetorage
injetoraK
DomínioEgS2F3F4T
ContradomínioEgS6F9F12F13T
ImagemEgS6F9F12T
Domínio:gÉgogconjuntogA
Contradomínio:gÉgogconjuntogB
Imagem:gSãogosgelementosgdegB
associadosgagA
EXEMPLO
Agfunçãoginversagde
queg[1
Função Composta
Dadagumagfunçãog
égtal
e
Fgagfunçãogcompostagdegggcomgfgé
representadagporggofK
Agfunçãogcompostagdegfgcomgggé
representadagporgfogK
Função Par
UmagfunçãogégpargquandogfW[xXsfWxX
UmagfunçãogégimpargquandogfW[xXs[fWxX
TIPOS
TIPOS
Função Ímpar
Função Inversa
2
3
4
6
9
2
3
4
2
3
4
6
9
12
13
6
9
12
@matematicacompositividade
Ângulo SENO
45º
30º
60º
É uma função f: tal que f(x)=sen x
SENO
É uma função ímpar, ou seja,
sen(-x)=-sen(x)
O domínio e o contradomínio
são iguais a
A imagem é [-1:1], ou seja, a
função só pode resultar em
números entre -1 e 1
É positiva no 1º e 2º quadrantes
É negativa no 3 e 4º quadrantes
No triângulo retângulo:
2º quadrante
3º quadrante
1º quadrante
4º quadrante
f(x) = sen xy
x
O período é 2π, pois a cada
2π a curva se repete!
0
1
-1
a
b
c
___
___
_________
@matematicacompositividade
Ângulo coSSENO
45º
30º
60º
É uma função f: tal que f(x)=cos x
É uma função par, ou seja, cos(-
x)=cos(x)
O domínio e o contradomínio são
iguais a
A imagem é [-1:1], ou seja, a função
só pode resultar em números entre
-1 e 1
É positiva no 1º e 4º quadrantes
É negativa no 2º e 3º quadrantes
No triângulo retângulo:
a
COSSENO
2º quadrante
3º quadrante
1º quadrante
4º quadrante
f(x) = cos xy
x
O período é 2π, pois a cada
2π a curva se repete!
0
1
-1
b
c
___
___
_________
@matematicacompositividade
Ângulo Tangente
45º
30º
60º
É uma função ímpar, ou seja, tg(-
x)=-tg(x)
O domínio é x 
| x ≠ de π/2 +
kπ; k Z
A imagem é qualquer número
real
É positiva no 1º e 3º quadrantes
É negativa no 2º e 4º quadrantes
No triângulo retângulo:
É uma função tal que f(x)=tg x
TANGENTE
2º quadrante
3º quadrante
1º quadrante
4º quadrante
f(x) = tg xy
x
O período é π, pois a cada π
a curva se repete!
1
0
a
b
c
___
___
_________
@matematicacompositividade
OUTRAS RELAÇÕES
FUNDAMENTAIS
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ARCO DUPLO
RELAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
EXEMPLO 1 EXEMPLO 2
Qual é o sen 120º?
Basta utilizar a primeira fórmula do arco duplo:Dado que o sen 30º é 1/2, qual o valor do cos 30º?
Basta utilizar a primeira fórmula da relação fundamental:
sen2 30º + co2s 30º =1
sen2 30º = 1 - (1/2) 2 = 1 - 1/4 = 3/4
sen 30º = √3/√4 = √3/2
sen 120º = sen (2 . 60º) = 2 . sen 60º. cos 60º
sen 120º = 2 . √3/2 . 1/2 = √3/2
@matematicacompositividade
RELAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
SENO DA SOMA E DA
DIFERENÇA DE ARCOS
SOMA E DIFERENÇA
ENTRE ARCOS
EXEMPLO
Qual o valor do sen 15º?
Basta utilizar a fórmula do seno da diferença de arcos:
sen 15º = sen (45º - 30º) = sen 45º . cos 30º - sen 30º . cos 45º = (√2/2 . √3/2) - (1/2 . √2/2)
sen 15º = (√6-√2)/4 
@matematicacompositividade
1 – Calcule a medida do lado a no
triângulo a seguir.
Utilize a equação acima e substitua os valores:
Passe os valores para o lado direito, substituaos valores dos seno e
encontre o resultado:
A razão entre o comprimento de um
lado e o seno do ângulo oposto a
esse lado é sempre a mesma.
c
b
a
___
___________________________
___________
___
_
EXEMPLO
45º
10
30º
a
_______________
___________
___
_
LEI DOS SENOS
@matematicacompositividade
1 – Calcule a medida do lado a no
triângulo a seguir.
Utilize a equação acima e substitua os valores:
Passe os valores para o lado direito, substitua os valores dos seno e
encontre o resultado:
O quadrado de um lado é igual à soma dos
quadrados dos outros dois lados, menos duas
vezes o produto desses lados pelo cosseno do
ângulo entre eles.
c
b
a
___
___________________________
___________
___
_
EXEMPLO
5
60º
8
a
LEI DOS
COSSENOS
_______________
@matematicacompositividade
Representado por barras. 
O módulo de |2|=2, já que 2≥0
O módulo de |-2|=-(-2)=2, já que -20, a função é crescente:
se a@matematicacompositividade
COMBINATÓRIA
EXEMPLO EXEMPLO
Arranjo
Utilizada quando a ordem dos elementos
importa.
Utilizada quando a ordem dos elementos
não importa.
Combinação
Dado um conjunto de três números (1,2,3) de
quantas maneiras podemos organizar esses
números em arranjos de 2 elementos?
(1,2);(2,1);(1,3);(3,1);(2,3);(3,2)
Dado um conjunto de três números (1,2,3) de
quantas maneiras podemos organizar esses
números em conjuntos de 2 elementos, de modo que
a ordem não importa?
(1,2)=(2,1) ; (1,3)=(3,1) ; (2,3)=(3,2)
Dica para se lembrar: Em um arranjo de flores, a ordem que
colocamos as flores importa no resultado final do buquê.
Dica para se lembrar: Vermelho+Amarelo = Laranja ou
Amarelo+Vermelho = Laranja. Veja que não importa a ordem que
combinamos as cores, o resultado é o mesmo. 
@matematicacompositividade
F: Número de Faces
V: Número de Vértices
A: Número de Arestas
"Vamos Fazer Aritmética de 2"
POLIEDROS
POLIEDROS CONVEXOS E
NÃO CONVEXOS
Vértice
Aresta
São sólidos com faces
formadas por polígonos.
Face
São poliedros convexos cujas faces são
polígonos regulares. São os seguintes:
POLIEDRO REGULARTEOREMA DE EULER
V + F = A + 2
Dado o cubo abaixo e sabendo que F = 6 e V
= 8, qual o valor de A? 
Utilizando o Teorema de Euler:
V + F = A + 2
8 + 6 = A +2
A = 14 - 2
A = 12
EXEMPLO
MNEMÔNICO
Dodecaedro
Convexo
Hexaedro (cubo) Tetraedro
Icosaedro
Não Convexo
Octaedro
A B
A B
Um poliedro é convexo quando qualquer segmento de reta
que liga dois pontos desse poliedro, esteja totalmente contido
nele. Caso algum não esteja, será não convexo.
@matematicacompositividade
CILINDRO
ÁREA
Oblíquo
A geratriz (segmento paralelo ao eixo
e que une as duas bases) é oblíqua
em relação à base.
Reto
A geratriz é perpendicular à base.
É um sólido que possui o mesmo diâmetro
d em todo o seu comprimento. 
VOLUME
TIPOS
d
geratriz
eixo
raio (r)
altura (h)
geratriz
eixo
raio (r)
altura (h)
Cilindro Equilátero é aquele em que
a altura é igual ao seu diâmetro:
h=2r
r
2πr
h
@matematicacompositividade
raio (r)
CONE
ÁREA
g
Vértice
É um sólido que possui uma base circular
formada por segmentos de reta com um
vértice em comum.
VOLUME
TIPOS
Oblíquo
o eixo não é perpendicular em
relação à base.
Reto
o eixo é perpendicular à base
Base Circular
Segmentos de reta
eixo
geratriz
base
altura (r) geratriz
eixo = altura
base raio
Cone Equilátero é aquele em
que a geratriz é igual ao seu
diâmetro e a altura é igual ao
raio x √3:
g=2r
h=r√3
Cone
Tronco do Cone
h
R
r
g
r
2πr
@matematicacompositividade
é um sólido cujas faces são
triângulos equiláteros.
a projeção do vértice não coincide
com o centro da base. 
V
a projeção do vértice coincide
com o centro da base.
V
PIRÂMIDE
ÁREA
Vértice
É um sólido de base poligonal qualquer
(triângulo, quadrado, pentágono, etc.) e
com faces laterais triângulares.
VOLUMETIPOS
número de faces laterais
área lateral do
triângulo, ou seja,
base vezes apótema
Oblíqua
Tetraedro Regular
Reta
l
h
h a
b
h: altura da pirâmide;
a: apótema ou 
altura da face lateral;
b: aresta da base
A: Área da Base Maior
B: Área da Base Menor
h: Altura do Tronco
Pirâmide
Tronco da Pirâmide
B
A
h
@matematicacompositividade
360° 360°
ESFERA
ÁREA
Cunha Esférica
Obtido pela rotação de um
É um sólido obtido pela rotação
de um semicírculo de raio r em
torno de um eixo E.
Fuso Esférico Calota Esférica
É uma parte da esfera, segundo a
figura abaixo.
VOLUME
O volume de uma esfera é dado por:
A área de uma superfície esférica é dada
por:
semicírculo de raio r de um ângulo
É um “pedaço” da esfera. 
Obtido pela rotação de uma
semicircunferência de raio r de um ângulo
α. É a superfície de um “pedaço” da esfera. 
α.
E
r
Volume da Cunha Área do Fusoα α
ha
r r
r
@matematicacompositividade
Dados 2 pontos quaisquer
a inclinação ou o coeficiente angular m
de uma reta é:
onde a e b são diferentes de 0.
RETA
Equação da Reta
y
m
x
_______________
EXEMPLO
Passo 3: Multiplique cruzado e coloque todos os termos para
esquerda, de modo que na direita fique apenas o 0.
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (1,5) e (2,7).
Passo 1: Calcule o coeficiente angular.
Passo 2: Substitua o coeficiente angular encontrado e um dos pontos
do enunciado na equação original do coeficiente angular.
Neste exemplo, encontramos m=2. Vamos escolher o ponto (1,5)
para substituir na equação original:
Resposta: @matematicacompositividade
É o lugar geométrico dos pontos os quais
fixos
(chamados de focos F1 e F2) tem sempre
a mesma soma, ou seja:
a distância entre dois pontos 
d1 + d2 = 2a
ELIPSE
Vale a relação: 
Quando os focos estão no eixo y:
Quando os focos estão no eixo X:
Foco: pontos F1 e F2
Eixo Maior: distância entre A1 e A2 = 2a
Eixo Menor: distância entre B1 e B2 = 2b
Distância focal: distância entre os dois focos = 2c
Excentricidade: mede o achatamento da
elipse:
y
x
A1 F1
B1
d1
a b d2
c F2
B2
A2
Equações da Elipse
@matematicacompositividade
d
V
F
p/2
É o lugar geométrico dos pontos cuja
distância até F é igual a distância até d,
ou seja, d1=d2.
PARÁBOLA
A distância entre F e V é p/2
Foco: ponto F
Diretriz: reta d
Parâmetro: distância entre o foco e a
diretriz = p
Vértice: é o ponto da parábola mais
próximo da diretriz = V
Equações da Parábola
y
x
d1
d2 p
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Concavidade para a direita:
Concavidade para a esquerda:@matematicacompositividade
y
x
Equações da Hipérbole
F1 A1
B2
B1
a
c
A2 F2
b
Vale a relação: 
Quando os focos estão no eixo X:
Quando os focos estão no eixo Y:
Foco: pontos F1 e F2
Eixo Real: distância entre A1 e A2 = 2a
Eixo Imaginário: distância entre B1 e B2 = 2b
Distância focal: distância entre os dois focos = 2c
É o lugar geométrico dos pontos os quais
fixos
(chamados de focos F1 e F2) tem sempre
a mesma diferença, ou seja:
a distância entre dois pontos 
|d1 - d2| = 2a
HIPÉRBOLE
d1 d2
@matematicacompositividade
CIRCUNFERÊNCIA
C é o centro da circunferência.
Comprimento da Circunferência: 
Diâmetro da Circunferência:
É o lugar geométrico dos pontos que são
equidistantes de um ponto fixo C.
y
x
b
a
r
C (a,b)
Equação Reduzida da
Circunferência
@matematicacompositividade
Ex.: Se z = 1 + 4i então z = 1 - 4i NÚMEROS
COMPLEXOS
Basta fazer a razão:
Basta somar ou subtrair as partes
imaginárias e reais:
Exemplo: 
A soma de z = 1 + 4i e w = -3 + 2i é: 
(1-3)+(4+2)i = -2 + 6i
Basta fazer a distributiva:
DIVISÃO
SOMA E SUBTRAÇÃO
MULTIPLICAÇÃO
=>
Para obter o conjugado, basta trocar de
sinal a parte imaginária:
A definição vem do Teorema de Pitágoras
aplicado ao triângulo abaixo:
É a raiz quadrada da soma dos quadrados
da parte real e da parte imaginária.
MÓDULO
CONJUGADO
FORMA ALGÉBRICA
a: parte real de z ou a=Re(z)
b: parte imaginária de z ou b=Im(z)
b
a
@matematicacompositividade
Ache o valor de:
Como a potência é 3, utilize a linha n=3
do triângulo de pascal para achar os
coeficientes: 1 3 3 1
BINÔMIO DE
NEWTON
É um método simples para
expandir um binômio:
combinação
de n em p
EXEMPLO
onde os coeficientes são
Triângulo de Pascal
Ajuda a achar os coeficientes do binômio
sem precisar calcular a combinação.
1
2
6
1 1
1 1
41 3 3 1
51 4 1
151010 1
161520156 1
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
@matematicacompositividade