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Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * * * * Grandeza Vetorial Algumas vezes necessitamos mais que um número e uma unidade para representar uma grandeza física. Sendo assim, surgiu uma representação matemática que expressa outras característica de uma grandeza... O VETOR * * * O que é um Vetor? É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas. Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta) Tem uma direção.(horizontal, diagonal,vertical) E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando). * * * Representação de uma Grandeza Vetorial As grandezas vetorial são representadas da seguinte forma: a letra que representa a grandeza, e uma a “flechinha” sobre a letra. Da seguinte forma... * * * Comparação entre vetores Vetores Iguais Mesmo Módulo Mesma Direção Mesmo Sentido * * * Comparação entre vetores Vetores Opostos * * * Soma Vetorial Através da soma vetorial encontramos o vetor resultante. O vetor resultante seria como se todos os vetores envolvidos na soma fossem substituídos por um, e este tivesse o mesmo efeito. Existem duas regras para fazer a soma vetores. * * * Adição de Vetores * * * Dados a) Vetores de mesma direção e sentido. Temos dois métodos para efetuar a soma: Método algébrico e Método gráfico * * * Método Algébrico * * * SOMA DE VETORES b) Vetores de mesma direção e sentidos opostos. Dados: * * * Método algébrico * * * Método gráfico * * * ATENÇÃO O vetor soma S ( ou vetor Resultante R ) apresenta o mesmo sentido do vetor de maior módulo. * * * Fazendo a Soma através da Regra do Polígono Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * c) Vetores que formam um ângulo qualquer. SOMA DE VETORES * * * Observações Importantes: I. O vetor resultante sempre “sai” da origem do sistema. II. O vetor BA possui sentido oposto ao do vetor AB, pode-se também representar BA = - AB. * * * Ex: Dados dois vetores AB e AC obtenha AB + AC. AD = AB + AC II. Quando os dois vetores possuem a mesma origem: A soma é obtida utilizando a REGRA DO PARALELOGRAMO. * * * Regra do Paralelogramo É utilizada para realizar a adição de apenas dois vetores. Exemplo: Para isto devemos posicionar a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro. E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo. * * * Fazendo a Soma através da Regra do Paralelogramo E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado por: * * * Quaisquer direções: Regra do Paralelogramo Módulo: S² = a² + b² + 2 · a · b · cos 60º S² = 3² + 4² + 2 · 3 · 4 · 0,5 S² = 9 + 16 + 12 S = 6,1 cm 60° S 60° * * * Subtração de vetores Considere os dois vetores a seguir: * * * Fazendo a Subtração de Vetores * * * Subtração de Vetores Para subtrair dois vetores adicionamos um deles ao oposto do outro. Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * VETOR OPOSTO Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * A SOMA DESSES VETORES SERÁ: Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * EXEMPLO 1 Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * EXEMPLO 2 Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * DECOMPOSIÇÃO DE VETORES Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre * * * * * * Um vetor v = (x1, y1) é representado no plano (R2) conforme a figura abaixo. Basta marcar os pontos dados no plano e traçar o vetor v, partindo da origem do sistema. 1.6 Representação de um Vetor no Plano * * * u + v = (1, 1) + (3, 1) = Obs: Quando a origem do vetor não é indicada o ponto (0, 0) do plano é utilizado como ponto inicial. 1.6.1 Operações com Vetores no Plano Ex: Dados vetores u = (1, 1) e v = (3, 1) determine u + v. A idéia é somar coordenada com coordenada, isto é, “x com x” e “y com y”. (1 + 3, 1 + 1) = (4, 2) * * * Exemplo: Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente: Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor . Exemplo: Sejam e então, 1.ª coordenada 2.ª coordenada * * * * * * Módulo de um Vetor * * * Use o teorema de Pitágoras para calcular o módulo da resultante. S² = a² + b² S² = 3² + 4² S = 5 cm 3 4 * * * Versor ou Vetor unitário Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor: é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que . * * * EXEMPLO Exemplo Seja x = (-3,4). Então: Logo, o vetor É um vetor unitário, pois: * * * Produto vetorial Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por: * * * Produto vetorial A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então: * * * Norma do produto vetorial Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. u x v * * * Exemplo Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). Área = || AB x AD || AB x AD = B C D A * * * Exemplo- continuação || AB x AD || = Exemplo-2 A medida em radianos do ângulo entre e é . Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||. || x || = || ||.|| ||. sen = 1 . 7 . sen = 1 . 7 . 0,5 = 3,5 * * * Produto misto Considere os vetores , e . O produto misto é o número real obtido como resultado da seguinte operação: O volume do paralelepípedo é dado por : * * * Exemplo Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes vetores: = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1) mas, h=||proj || * * * Propriedades I) u.v = |u||v|cos II) Se u.v = 0 uv 1.10 Produto Escalar de Vetores Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre dois vetores quando o interesse é: Determinar o ângulo entre esses vetores. vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é: u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 * * * Vetores paralelos, colineares 1.4 Vetores Colineares Dois ou mais vetores são colineares se tiverem a mesma direção. Ex: Dados os vetores u, v , com u // v abaixo: Vetores coincidentes, colineares, “ mesma linha” * * * Vetores Colineares Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: são colineares se tiverem representantes pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. * * * Vetores Coplanares Se vetores não nulos (não importa o número de vetores) possuem representantes pertencentes a um mesmo plano p, diz-se que eles são coplanares. * * * 1.5 Vetores Coplanares São vetores presentes no mesmo plano. Observações 2 vetores são sempre coplanares 3 vetores são sempre coplanares no R2 4 vetores são sempre coplanares no R3 n (n Z) vetores são sempre coplanares no Rn - 1 Nº de vetores maior que a dimensão do espaço Pelo menos um vetor é COMBINAÇÃO LINEAR dos outros vetores. * * * Vamos mostrar dois exemplos com relação a observação anterior: I) Dados u e v vetores no R2 Combinação linear nada mais é que a soma dos vetores ponderados por coeficientes. w é combinação linear de u e v w = u + v * * * Vetor u = (a, b) 2u = (2a, 2b), ½u = (½a, ½b) Intuitivamente um vetor só depende do outro se esse “outro” existir. * * * Dados 3 vetores u, v e w dizemos que estes vetores são L.D se u = a1v + a2w, caso não exista a1 e a2 os vetores são L.I. Geometricamente vetores colineares (ou paralelos) são linearmente dependentes (L.D.), caso contrário são L.I. Algebricamente vetores colineares são múltiplos , ou seja, Caso o vetor u = kv dizemos que u e v são L.D, caso contrário são L.I.
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