8 - Hidrologia_Tucci (Cap8)

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Capítulo 8
ÁGUA SUBTERRÂNEA
Nelson Luna Caicedo
8.1 Conceitos básicos de hidrogeologia
Os sistemas hidrogeológicos podem ser classificados em:
Aqüífero: é uma formação geológica (ou um grupo de formações) que contém água
c permite que a mesma se movimente em condições naturais e em quantidades
significntivas:
Aqüíclude: é uma formação geológica que pode conter água, mas sem condição de
movimentá-Ia de um lugar para outro, em condições naturais e em quantidades
significativas;
Aqültardo: é uma formação geológica de natureza semipermeável. Transmite água
li uma taxa muito baixa, comparada com a do aqüífero.
Distribuição vertical da umidade
A umidade pode ser dividida em zonas de acordo com a proporção relativa
do espaço poroso ocupado pela água (figura 8.1). Assim:
~ClflS\ de saturação: todos os espaços vazios encontram-se completamente
icupndos pela água;
Z~llIn de aeração.os poros contêm água e ar (ou vapor de água).
A zona de saturação está limitada superiormente pela linha de saturação
(NUpl.lrfCcie plczométrica) e inferiormente por uma barreira impermeável. As
111I11~S, 0$ poços C as correntes efluentes têm origem na zona de saturação. Na
llnhn de NIII lII'Uçf'fo , 1\ pressão da água é igual à pressão atmosférica.
A ZOIlII de lICI'HÇ!'lOcSl~ lhnitada pela superfície do terreno e pela linha
"lIrH~'I\o. 1>ode'Ml~ dlferem:I,,1' II'OS zOnf\9: H ZOIH\ de água do solo
(.IIIIIlIIRo 110IllIddlld~l omlo 11MplIIllIIL~ NC dcscavolvcm), 1\ ~0,1U intermediária
(IIH'IVil 1'0111() Iwlo dllH IllillVlIl1 IIlII'IINIIII) o 1\ 1,lldl\ cupllnr (fOfl1l1ldn pelo asccnso
I Jlplllll
o Hidrologia
upertície do terreno
~~
- Água do solo r~ I
Água
pelicular e gravitacional
Água capilar
Nrvel d'daua
Água subterrânea
~
s
___L_
Zona da
6gua do solo
o
'oo-
o
~ J Zona
intermedi6-
ria.-L
T o..c:
'"Q. o
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c:
o
N Zona
capilar___J__
o
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::>-o
'"
'""O
o
c:
o
N
Leito rochoso
Figura 8.1. Divisão da água abaixo da superficie (Todd 1967)
'Illsslficação dos aqüíferos
Os aqüíferos podem ser classificados em confinados e não-confinados
livres), dependendo da ausência ou da presença da linha da água. O aqUfCcl'()
nflnado encontra-se a uma pressão maior que a pressão atmosférica, DNL
tlmltado superior e inferiormente por formações impermeáveis. O nqüííoro
mtcsluno é um aqüffero confinado onde a elevação da supcrffcic piczornétrlcn
Ilt sobre l\ superfície do terreno.
No aqüífcro freátieo (livre) a superfície picz
mo fronteira superior. Os aqüífcros confínado
rnnde produção, enquanto que os aqülícros Iivr,
dcvído lIO fltcU acesso. A figura 8.2 mostre 08 prin
l'lII'Cl/llclud
Água Subterrânea 291
volume de vazios
volume total
(8.1)<I> =
A porosidade primária é. originada por processos geológicos quando a
,'ocha foi formada. A porosidade secundária (fissuras, juntas, passagem de
iluçõcs, etc.) é desenvolvida depois que a rocha foi formada.
Área de
reabostecimento
freático
NI'vel
II'o'ouo <,
artesiano
~
Estrato
continante
Estrato
impe rmedvel
AqUftero
con ti nado
~
Figura 8.2. Aqüíferos confinados e livres (Todd, 1967)
1\ porosidade de um material granular depende da forma, do grau de
1IIIIIIlllclação e da distribuição do tamanho das partículas.
A forma das partículas (angular, arredondada), afeta na maneira como as
HII'III1II1S se arranjam entre si, Formas irregulares resultam em porosidades
1Ililillrl;Ndo que formas arredondadas.
() grnu de cornpactação ou cimentação influi diretamente no valor da
1'IIIIIIIIIIIHIc.:; quanto mais compactada estiver uma formação, menor será o valor
Ilu plll'oNldndc. A poros idade do arenito (0,34) é menor que a da areia (0,40).
Mlllc;dals granulares com distribuição uniforme de grãos, têm porosidade
1111,11/1 '1111; os mnrcrinls com distribuição irregular de grãos. As partículas
1I11'ltlIIllN ocupam 1\ porção do volume deixado pelas partículas maiores. Cascalho
Iltlll 1\ fIlell\ fllll\ tOI11 pMósidll(lcs mniorcs do que seus respectivos pares. No
, II~I/ 1111 ll!lf~"'Ii, ('0111 IIICNIlIO rnlo, 1\ porostdudo é Independente do tamanho.
A IlIlwlll H,I 1I10til1'I\ 1\ pmoNlcllldc de /lIHIIIl/l IlIHlcl'll\ls IllnlH conuuucru
11I'llIllnultlM1111 /111\'11(1/,1\
292 Hidrologia
Tabela 8.l.Porosidade de alguns materiais
(Morris e Johson, 1967)
Material Intervalo Média
Argila 0,34 - 0,57 0,42
Silte 0,34 - 0,61 0,46
Areia fina 0,26 - 0,53 0,43
Areia grossa 0,31 - 0,46 0,39
Cascalho fino 0,25 - 0,38 0,34
Cascalho grosso 0,24 - 0,36 0,28
Para estimar o valor da porosidade de um material, devem ser determi-
nados dois dos três volumes característicos, assim definidos: VI == Volume
total da amostra; Vs == Volume das partículas sólidas; Vy = Volume de vazios.
Por definição:
4> = V y I V t == (V ( V5) I VI = 1-V 5 I V I
segue-se que:
PI
4> == 1 (8.2)p,
ndc pl representa a massa específica de toda a amostra e ps a maSSII
,opecffica das partículas sólidas.
Dcssaturação e retenção específica
so,
Água Subterrânea 293
força devida a pressão capilar, 2m<J = m2pc. Assim:
20
r= -
Pc
(8.3)
o raio de curvatura da interface água-ar diminui quando há um aumento de
pressão capilar. Por isso, no processo de dessaturação, a água desocupa
primeiro os grandes poros. Os valores das grandezas normalmente encontrados
111\natureza são: o = 0,073 N/m (tensão superficial da água a 15°C); p = 1000
({111m3 (massa específica da água); g = 9;8 m/s2 (aceleração da gravidade).
O fato da água e o ar conviverem no espaço poroso, requer o conhecimento
til' um parâmetro diferente da porosidade para caracterizar o volume relativo
lc ãgua no aqüífero. A fração de água de um volume representativo é, por
Il'finição, o conteúdo volurnétrico da água (8). Assim:
Va
8=-
VI
(8.4)
unde Va= volume de água.
O conteúdo volumétrico da água varia de zero, em um meio poroso
rumplctamcntc seco, a um valor máximo, igual à porosidade, quando todos os
puços porosos estão preenchidos por água. Como a água desocupa gradati-
VIIUH.:nteos grandes poros, à medida que a pressão capilar (pc) aumenta, o
IItlllICl1do volurnétrico da água diminui com o aumento da pressão capilar. Este
111111 pode ser expresso através das curvas de retenção. Essas curvas caracte-
,11111111\ habilidade que o meio poroso tem em reter água, quando a mesma está
Ildo drenada.
A figura 8.3 mostra curvas de retenção para duas texturas diferentes. A
VII111l~'~Ude () é muito pequena em tomo de pc=O, Nessa faixa de valores de pc,
11111111I10os grandes poros são insuficientes para resistir ao processo de
dl)~~I\I\lrl\çno. O conteúdo volurnétrico da água tende para um valor constante,
qlOII,llo LI pressão capilar aumenta indefinidamente. O valor de e para o qual
dll/tlpu 1(;1)(.1<;1\ zero é chamada retenção específica ar. A retenção específica é
111111\ vurnctcrlsticu rnzoãvclmcntc constante (parâmetro), especialmente em are-
1111(I l'IH,cnlhos. Em lnborutório, o conteúdo volumétrico da água a uma pressão
'Iqllhll de 1/:\ (1<;bar (3,33 m de água) é considerado retenção específica.
1I1~IIIIl\lI~'rt(1 !l1I 1)I·c.~srlO cupllur acima do linha da água
A 1111 maneira COmo
bãslca da
')
)1)1\ Hidrologia
p=-pgz (8.5)
A pressão da água nos pOIOS acima da linha de saturação é negativa em
rolução à atmosférica. Por essa razão, a água dessa zona não entra em poços,
drenes, galerias, etc. A pressão da água menor que a atmosférica é medida por
cnsorcs especiais chamados tensiômetros. A distribuição de pressão da água
III equilíbrio independe do tipo de formação. O conteúdo volumétrieo não.
L..
o
a.
o
o
o
10
(f)
(f)
eu•...o,
o 8r er 0
Conteúdo volumétrico de ógua
Figura 8.3. Curvas de retenção
A pressão da água acima da linha de saturação é igual a -p, COI)\\I
llu"Pnr"P, segue-se que Pc = -p. Conseqüentemente,a pressão acima da linhu d"
Ituraçrto é 11 própria pressão capilar.
A figura 8.4 mostra um aparelho uti lizado para determinar as C li! VIIN dI'
Il'tCIWfio.O experimento começa com uma amostra completamente S<l11I1'I1<11I (O til)
A SlIcçil() (pressão capilar) é aplicada 1\ amostra cHda vez que o recipiente li
11I\ Inferior sujeito à. pressão atmosféricn, é rebaixado de nlvcl.
dlfl'I'(.II1ÇIl em elevação entre os dois ,'ccipicntcR é iSllll\ ~ p,'/JHSnO ~~lIpllill
1í11~(1111 IIpll(';11<11I à nurostra.
I'CiI'IIHlIlnd(\ (1"CIlVII c IIpul'('1\1
A IIIIHll'lldlHk'dei iVII 1111 1)I'OII\1~'n(l t1hpl'( lIinil te \1111 1'"1AIIIl'II'1I IIdillll'lINlolllI1
I) 1111111 II'III~'~II 1'11"1' 11 villllllH t1Il'lIllv(" i' fi \111111111(' 101111 A 1I11111~itllldl
111'"111111" 11111 11111111 11111.1. I' 1111111 1l'11I~n\l 1'11111' II VOIIlIIl! di! Illtllll 1IIlIIIVltlll
Água Subterrânea 295
diretamente do aqüífero e o volume de aqüífero drenado. A porosidade
aparente, quando determinada a partir da sua definição, é um parâmetro que
incorpora a influência do ar próximo da linha de saturação, a estratificação
dos materiais e a posição da linha da água. A porosidade aparente é
considerada constante no tempo, implicando uma entrega instantânea de água
quando a carga cai bruscamente.
Ip,j/o
tubo capilar
amostra
'- ar
Figura 8.4. Aparelho para determinar as curvas de retenção
O valor da porosidade aparente C4>a) é sempre menor que a porosidade
efetiva (4)J. A tabela 8.2 mostra a porosidade efetiva de materiais
omponentes de aqüíferos naturais.
A figura 8.5 mostra a distribuição de O entre a superfície do terreno e
duas sucessivas profundidades da linha de água em um material homogêneo. O
volume de água drenado por unidade de área é igual a (4) - 0r)(z2 - zi)' O
volume de água drenado por unidade de área é também igual à área limitada
pelas curvas de retenção.
Hxemplo 8.1. Em um poço com raio 0,30 m é feito um teste de bombeamento com
lima vazão constante Qp = 0,0312 m3js, durante um tempo Íp = 8,37 h. Os níveis
nlciais c finais da superfície piezornétrica para os 6 poços de observação
utilizados no teste são apresentados a seguir:
')
Hidrologia
Illlcontrar o valor da porosidade aparente.
superfície do terreno----".--,.rT.- ••-- --
distribuição do conteúdo
volurne'tr ico de águo
linho de óguo em Z,
linho de ó quo em Zz
Z,
Zz
o o
Figura 8.5. Determinação do volume drenado em um solo homogêneo
SoluçiÍo: volume de água: Va = 0,0312 m3/s x 30120 s = 939,7 m3;
00
volume de aqüífero: VI = 2J 1t rs dr = 8584 m3
0.3
ndc r = a distância radial ao poço e s o rebaixamento;
poros idade aparente: 4>8 = Va I VI = 939,7 I 8584 = 0,11
Armnzenamento em aqüífcros confinados
mecanismo d
1./lIII1,(.'1} "'IIt'I! 10
II1I I,
Água Subterrânea 297
Tabela 8.2. Porosidede efetiva de alguns materiais
(Morris e Johson, 1967)
Material Intervalo Média
Argila 0,01 - O,:!> 0,06
Silte 0,01 - 0,39 0,20
Areia fina 0,01 - 0,46 0,33
Areia grossa 0,18 - 0,43 0,30
Cascalho fino 0,13 - 0,40 0,28
Cascalho grosso 0,13 - 0,25 0,21
Va
S :---- = pg 4> (CL + ~)
. S V h --P
q P
(8.6)
onde: ~ é a compressibilidade da água (4,8 x {O-IO cm2tdina) e ~ é a
ompressibilidade do material (4,4 x 10-9 cm-/dina).
O coeficiente de armazcnamento (S) é o volume de água entregue pelo
nqüííero de área unitária e espessura constante (b), quando submetido a uma
redução unitária de altura piczométrica.
Va
S=- =S b
A h 5
P
(8.7)
o coeficiente de armazenamento de aqüíferos varia entre 10-6 e 10-3.
ICxCll1plo 8.2. Estime o valor do armazenamento específico e do coeficiente de
111mazcnamcnto de um aqüífcro confinado com 40 meLOS de espessura e
porosidadc 0,32.
Seil u~'fiO: 2 (4,4 x 10-9 + 4,8 x 10-10) o: 1,53 x 1O-6/cm
x 10-6 = 6,12 x 10-3
II••IIIII\'U h(dJ'l~'(~
1111I MINtl'lll11 Icclnulo com nrmuzcmuncnto de água na
III dOI, (' llll!ON, 110M Ol1C1I1I0I1, 1111 11111IO/l f(;1'I 1 C no
')
VH Hidrologia
A força da gravidade provoca a precipitação (P) de água sobre o solo e o
IIll011llO,daí a água retoma à atmosfera através da evaporação (E). Da água que
IthlKC O solo, parte transforma-se em escoamento ou deflúvio superficial (D),
1'111te 6 armazenada em depressões (S 1) e parte infiltra-se no solo (I). Também
uhrc o subsolo age a evaporação, além da água daí retirada pelas plantas
II1111v6s da transpiração (T). Parte da água infiltrada alimenta os
'Ivatórios subterrâneos rw>, que irão escoar e atingir rios e oceanos.
(\. análise de uma área de interceptação (bacia hidrográfica), cuja única
1'!lllml" de água é a precipitação, permite o equacionamento de um balanço de
1f',lill<.;111 um certo intervalo de tempo. A bacia hidrográfica é ideal mente delimi-
uuln pelo divisor de água superficial. A água aí precipitada escoa obrigatória-
ruvutc e111direção à seção do rio que define a bacia, ou seja, a saída da bacia
upcrficia].
Águo no
Atmosfera
r .•...
a..
f-
w
Água
Subte rréinea
Figura 8.6. Ciclo hidrológico como um sistema
sorcvcndo-sc a equação do balanço volumét.rico, conhecido por 11/11/1//411
lIft/dC' °, pura o volume de controle definido pela supcrffcic do tCIH'IIt1 rllI
hl\~'11\ hldroarãfica e a atmosfera, em certo intcrvnlo de rompo, rem-se:
(P • - I) 61 • 1\ (H HI
1111<1(;:M/I rcprcscn 1111\ VllrlllÇI'(Ode volume HIIlIII'I,CI1I\(lo1111III1IWdw.v,
,';10 1i 1H,~rl\l NII!11'IÍOIdo VOIIlIlII' dI' \'!llIlillil' I'!lHHI'I1 IIlH'dllllllllll'llIl' 1I1111111l
1111tIlIPlld'(I'llI (\1\ Inll'OIlII I' 1\ NIII;1t1l11\/\,11111'111'IIIII'HPllIldllllll' il 111111111111IIp.111I1111
IIq(\(I'IlIIl, 111'11'111\;1111do 1111111111:11Iddrll'IIIHoIIII
Água Subterrânea 299
z
(I - ET -W) M = ~S2 = ~ (J e dz)
o
(8.9)
onde: ~S2 representa a variação de volume armazenado no sistema radieular
acima da linha de água no aqüífero e W a recarga natural.
O volume de controle também pode ser estendido ao aqüífero propriamente
dito, limitando-o superficialmente pela linha de água e inferiormente pelo
fundo impermeável. Neste caso, a equação de balanço toma-se:
(W -ETf - Qf - Qp) ~t = S ~h ou \j>a ~h (8.10)
onde: ETf = a evapotranspiração das culturas freatófitas, Qf a descarga das
fontes c Qp a descarga dos poços. A adoção de S ou \j>a vai depender do tipo de
nqüífcro, confinado ou livre.
Dependendo do tipo de aqüífero, o armazenamento dar-se-á de forma
individulizada. No caso do aqüífero confinado, o coeficiente de armazenamento
pode variar entre 10-6 e 10-3. No aqüífero livre, a porosidade aparente pode
variar entre 0,01 e 0,30.
Exemplo 8.3. Uma pequena ilha no Caribe com 5.400 km2 de superfície, recebe
nnualmente uma precipitação média de 135 cm. A ilha é plana, seu solo é muito
permeável, encontra-se em estado natural e nenhuma quantidade significativa
de água é utilizada pelos nativos com propósito definido. A vegetação da ilha
pode ser dividida básicamente em 35% de freatófitas e similares e os
rcsruntcs 65% em grama. O consumo de água pela grama pode ser estimada em 60%
durante o ano. A evaporação média anual observada em um tanque classe A é
(1)0,5 em. Estimar a descarga subterrânea atualmente perdida para o mar. ..\
Holuçíio: sendo alta a capacidade de infiltração do solo da ilha, o escoamento
IlpCI ficinl 6 rnín imo, não havendo, portanto, oportunidade para armazenar, nem
Vllp01'l11' ItgUIl do superfície. Com essas simplificações, o balanço no
IVll16rio S\lperricial fica reduzido a: J = P = 135 em/ano.
1\ Noluçrto ohiidn 1'111'11 O reservatório superficial faz sentido físico para
IItl'IVllloM 1I1llllrlil de tempo. Para esse intervalo, é razoável pensar que o
1\[1I\1I~,l'III\1I\~1111)l'l'dlvo no rcscrvutórlo de água do solo seja também nulo. O
hllltlll~() IllI/Wl' WlllolVII\l~do IOII)II-Hl.::I " llT " W = O. Novamente, todas as
.I'lIl1llll1l1dl'N"nll Vllh)l'l1" 111\(dlo/llilllllllll. 1\ l'VllpOll'llnsplt'l\çllo 1111IiAimportante
II('~I(' IIINI'IVIIII'1111III 1'111\11'1111'111\'(\11IFIIIIIII
A I'VIII'''IIIIII"JlIIII~nl' 111111111\1111I' I1NI:IIIIIIIIIIIIOlllplklllltlO Ilt' li \\\)(I/'Il'h'l1li\
')
!I
li III11NIII\ Figura 8.7. Escoamento em meio poroso
nccltu li
\Oü Hidrologia
do íunquc (0,75) pela evaporação do tanque: ETP = 0,75 x 190,5 = 142,9
\'111/11110. A evapotranspiração real, por seu turno, é igual ao consumo de água
dll wnma vezes a evapotranspiração potencial e vezes a percentagem da área
1'1)1' cln ocupada na ilha: ET = 0,60 x 142,9 x 0,65 = 55,7 em/ano. Assim, o
hulnnço hídrico no reservatório de água do solo fica: W = 135 - 55,7 = 79,3
1I1/lIno.
Para analisar o balanço de água no reservatório de água subterrânea,
novamente pode-se admitir que não há grandes mudanças no armazenamento desse
lsrcma em um ano hidrológico. A equação de balanço toma-se então: W - ET •
11 • O. A evapotranspiração considerada neste caso é a das freat6fitas (ET =
1,00 x 142,9 x 0,35 = 50 em/ano), q é a descarga subterrânea perdida para
mur. Assim, o balanço de água no sistema subterrâneo fica: q = 79,3 - 50
~9,3 em/ano.
A descarga total de água subterrânea perdida para o mar é igual li
ícscarga' unitária multiplicada pela área da ilha: Q = 0,29 rn/ano x 5,4 x I(\()
1112 = 1,57 x 109 m3/ano.
A descarga perdida para o mar poderia, em princípio, ser utilizada pU!'1I
desenvolvimento do turismo nessa ilha, respeitando o equilíbrio necessário nO
iouvfvio entre a água doce c a água do mar,
H,2 Lei empírica de Darcy
AVI!
A
111,11 iq
A AI
Água Subterrânea 301
Outra velocidade, chamada velocidade de percolação, v, é definida como a
descarga por unidade de área de vazios. Assim,
Q q
v=- =-
<!> A <!>
(8.12)
A velocidade de percolação representa a velocidade média dos elementos
du fluido através dos vazios do meio poroso. Dependendo da natureza do
plOblema estudado, a adoção de uma ou outro velocidade poderá alterar
nhstancialmcnte o valor dos resultados.
Entrado
I
Area com seçõo
transversal, A
Areio com porosidode (2)
t Soidot~f/r bV no tempo Üt
fUI t:1l1f envolvidas no fluxo em meios porosos
11m volume elementar de água subterrânea está submetido a forças devidas
(IH1,,"nn l' 1\ gravidade. Estas duas forças são chamadas de ativas porque são
1I''-I'IIIINltVí.'IA pelo movimento da água subterrânea, Também existem forças
'''I/,Vlil'I/,\' dt.lNCnvolvidas quando a água está em movimento.
A 11UIIII llSCOI\ 11 111111\tuxa constante pelo elemento mostrado na figura 8.8.
111111111II10 Ioll' umn llnhu de [luxo na qual está sendo analisado o balanço de
"''''.!VI IUi Illn'ç!lo I, rem-se (11I1.l:
I' 'I' dA
dp
(p 1 li') II1 dAdi
R.1.(PIi 11'dA dI) ,I'll" 8 ,I, I"
')
1
Hidrologia
Após simplificações e reconhecendo que sen Õ = dz/d/, segue-se que:
F dp dz= - (- + pg -)
<I> dA di di di (8.14)
lado esquerdo da equação 8.14 é a força resistiva por unidade de
VOIIlOlC de fluido; dp/dl é a componente na direção I da força por unidade de
VOIUIIIC de fluido devida a pressão; pg dz/dl é a componente na direção I da
1()I't;a por unidade de volume de fluido devida a gravidade. A força F é
proporcional à velocidade Darcy quando o escoamento é viscoso.
,
dz
zL
I Ibo~'l?ç
dA
--- Meio poroso com
poros idade ~
Figura 8.8. Forças envolvidas no escoamento em meio poroso
Um melhor entendimento dos fatores que controlam o atrito, quando HR
nll'çns rcsistivas predominam sobre as forças ativas, pode ser encontrado
U,'IIVÓS da análise de três casos simples:
11) I(seoamcnto em tubo capilar de raio R. A relação entre as forças ativflS C Ii
vvlocldudc média v é a seguinte:
8 ~ v F
=- (H.I ~)R2 q> dA di
oiulc: li 6 11 viscosidade dlnnmiClI do f1I1Jdo c I 1.1coordt:lllldu illl'dJdl\ 110 Inllntldo tubu,
11) UIH'()I\III(~1I10til' 11I1111
VI!ltll'ldudt' 1111<11111V 11/111
U\
~
Água Subterrânea 303
3 ~ v F
= (8.16)
d2 <I> dA di
c) Escoamento entre duas placas paralelas separadas por uma distância b. A
relação entre forças ativas e a velocidade média v é a seguinte:
12 ~ v F- ---- (8.17)
b2 <I> dA di
Comparando as equações 8.15 a 8.17 e usando a equação 8.14, chega-se a
seguinte equação:
F C ~ q dp dz
- - = - (- + pg -)
</I dA di d2 di di
(8.18)
onde: C é uma constante adimensional dependente da forma dos canais de
sscoamento, d2 é uma dimensão característica do domínio do fluxo e v é a
velocidade média de escoamento (velocidade Darcy). Na realidade, o escoamento
de um elemento de fluido em um meio poroso é extremamente tortuoso, razão
pela qual o comprimento percorrido por esse elemento de fluido é muitas vezes
maior do que a distância macrosc6pica entre dois pontos. Portanto, os efeitos
du tortuosidade no movimento de um elemento de fluido estão incluídos nos
pnrâmctros d e C.
Fazendo C/d2 = k e chamando k de permeabilidade intrínseca do meio
poroso (tem a dimensão de área L2), e resolvendo a equação pela velocidade q,
tem-se:
k dp dz
q :: - - (- + pg -)
~ di di
(8.19)
qll
11 k fi " (I (fi I' 1.)
I' til Pilo ')
(H.m
.1().1 Hidrologia
111111(': 11 quantidade entre parêntesis é a altura piezométrica, h.
P
h = - + Z
pg
(8.21 )
coeficiente que multiplica a força ativa é chamado Condutividade
"lil, áulica, K:
K=kpg
11
(8.22)
A eondutividade hidráulica é um parâmetro hidrogeol6gieo, com dimensão
1.(1', que combina as propriedades do fluido e as propriedades do meio.
uando a massa específica da água é considerada constante, a altura
piczornétrica é a força potencial, com o significado físico de energia por
unidade de peso de fluido. Substituindo as equações 8.21 e 8.22 na equaçã
H.?O, surge uma equação simplificada da lei de Darcy:
dh
q = - K-
dI
(8.23)
A equação 8.23 é a forma mais utilizada na hidrogeologia. O sinul
1H\lll1llvo indica que o escoamento é sempre na direção da altura piezornétricn
rlecrcaccntc: isto é, da altura piezométrica maior para a altura piezométricn
menor. A diferença em altura piezornétrica é sempre igual à diferença de
kvnçl'io do nível de água nos piezôrnctros.
Supondo que o aqüífero seja homogêneo (K constante), então é possível
dd'illl,' a quantidade escalar:
cl>=Kh (fi.
alar q) é o potencial de velocidade. O potcnclnl d
nrtif'ício matcrnãtico milito útil, IlHIS uilo deve
rcncial. O conceito de vclocklude POll'lIC,llI1
nstnnrc,
H'\I'lllpl() ~,4, A fiAllrII fI.1) IlloS1111 doiR pIC:t.~IIIL'Ia'Ollt \tlll 11),1/10110 I) /,,'tllllhl\l
01111'0 \1111 Hqurrl'l'O l~(l11l'illlld(l. A (JOlldlltlvldlldl\ hldl'l11111cII ti" l'lIlIlIIdll (IIIIH' 11
dlllll IlqlHit\fllll l~ n,?) K I()'I I'III/~ ('111"111111' 11 ,k/ll'I''Illl 1'111' 111li ti 11ti l' til' IIIUI
1l111iV11. ti" ('111111111" 11\1('1111(1111\\1111,"llIINlcI"llIlItIlI 11\1(1 ti 11111\11 I' 1111111\11111'1111\,
Agua Subterrânea 305
Solução: como o fluxo é permanente, qz e K são constantes. O gradiante da
iltura piezométrica também é constante. Portanto, pode-se usar a equação 8.23
K
q = - - (h2 - h )
Z b 1
onde b é a espessura da camada intermediária, e os suhscritos 1 c 2 indicam o
fundo e o topo da mesma camada intermediária, respectivamente.
O estrato impermeável inferior foi selecionado como datum para o cálculo
dn altura piezoméuica. Assim, da equação 8.21 tem-se que:
h1 = 6,1 + 6 = 12,1 m h2=2+9=llme
linho de águo --
6,1 m
3m
_.- .... i
oqüífero confinado6m
t
Figura 8.9. Fluxo ascendente entre confinado e freátieo.
A descarga por unidade de área é a velocidade Darcy:
'h, • - 0,72 x 10-4 (11 - 12,1) / 3 = 0,264 x 10-4 crnjs
fru
111Il) o vnl
do escoamento ser posiuvo significa que é ascendente. Note-se
de t1v.é Independente do plano, utilizado como da/um.
PI,hH'1l1Innl;!\u ch_ (I(mdlltlvldad\l hldrriullcn no taborntõrto
1I1~lotIl)N 1I\111~ \'\lllflI1vuIR 11I1I1I1\ dt'It:llllll1ll~/'I() du corulutlvldud
hllllllulh'l\ \' \1 11l11ll11"IIhllldlldu1IIlifllllnlH "1\1) pJ()vt'III('III'~~ tlllH tl,~It'1I ti
hllulI!r'I'U\lllIhl 11((111111I(,11,111111 Ulllllplll l/ulhlllU 11 VIII'II' Ih~llllldlltlvltllilhlllltll'I~1I1h"
\()() Hidrologia
tll1 \l1I11l amostra, possa ser encontrado no laboratório com um alto grau de
pll'lllMno, as amostras são muito pequenas comparadas com o tamanho do
11/11(1'01'0, além do grau de perturbação sempre presente na coleta das mesmas.
PIH' Isso, é extremamente difícil caracterizar a condutividade hidráulica de
11111 IlqtHfcro através do laborat6rio.
A condutividade hidráulica e a permeabilidade intrínseca podem ser
medldas diretamente através de permeàmelros, Na figura 8.10 podem ser vistos
dois tipos de permeâmetros mais comumente utilizados. No lado esquerdo
ipurccc o permeâmetro de carga constante no qual é estabelecido o escoamento
permanente ascendente através da amostra. Neste caso a equação de Darcy pode
'r diretamente aplicada para estimar o valor de K.
QL
K==-
f1ho A
(8.25)
A carga (f1ho) constante através do permeâmetro é dada pela diferença de
altura entre os níveis de entrada e saída do permeâmetro. A descarga Q ap6
ter atingido o equilíbrio, é calculada simplesmente pela divisão do volume de
Itfjlla recolhido pelo tempo necessário em recolhê-lo,
a permeâmetro de carga variável é mostrado no lado direito da figura
B.IO. A descarga decresce com o tempo, pois a carga hidráulica decre
uunbérn com o descenso do nível de água no tubo na entrada do piezômetro. A
{j\lnção da condutividade neste caso é dada por:
a L f1ho
K ==- In (-)
A t L\hl
(8.26
llll qual L\ho é a carga inicial (para t ==O) e L\hl é a carga no tempo t.
H.3 Equações fundamentais do fluxo subterrâneo
movimento de I~Sun SlI\)ICI rüneu
!TI n equação dl\ COlllll1l1l(\l\dl~, 1\
afdllll c tllXIIHdo vlldll~ln() 11.1
A cqunçn
obtida pela combinação da cquaçs
((\IIIÇ!'lo da continuidade cnvoív
1I11111'1,Cnlllll(;1I10 em um volume 01
A 111\lelll R.:l 1l101l1r'1\ Vl\lOfl.lH dl' l'Olullltlvltlildc
IIlnlod,,11i J1(II'()fIOH 11(JIIIIIIII!lII!" tllIlOl\ll'lUloH 1\11 11111\11'1'1','1,
1I11I1'I1I1I1CI\ PUI'II VIIIIII
Água Subterrânea 307
Tabela 8.3. Condutividade hidráulica de materiais porosos
(Morris & Johnson, 1967)
(0,2 - 189) x 10-4
(0,9 - 6610) x 10-4
(0,3 - 31,2) x 10.1
(0,1 - 7090) x 10-7
(0,1 - 47) x 10-8
Material Intervalo (cm/s) Média (crn/s)
2,88 x 10.3
5,20 x 10-2
4,03 x io-!
2,83 x 10-5
9,00 x 10-8
Areia fina
Areia grossa
Cascalho
Silte
Argila
Entrada_
Areo o
horizontalfr
~hOrn ~Saido ~ht
Area A
horizontal
Volumt dV no tempo dtvcrum e V no ttmpo t
Figura 8.10, Pcrrneârnetro de carga fixa e variável
11111•.:011 diferencial da continuidade
')
I
Hidrologia
308
a 2
(I' Qxh = (I' Qxh + Tx (I' Qx) ~x + O(~x ) (8.27)
o último termo do lado direito representa termos de segunda, terceira,
etc. ordens. Para ~x pequeno, esses termos podem ser desprezados, ficando
desta maneira a equação 8.27 -simplíficada:
a
(p Qxh - (I' Qx)l = Bx (I' Qx) ~x
(8.28)
A descarga Q é por definição o produto da velocidade Darcy pela área
normal ao escoamento.
Qx = qx ~z ~y
Segue-se após a substituição da equação 8.29 na 8.28 que:
a
(I' Qxh - (I' Qx)l = ax (I' qx) ~x ~y ~z
Considerando as vazões mássicas de saída menos as de entrada em todas"
seções do volume de controle, devem ser iguais à taxa de variação da massa M
em relação ao tempo. Assim:
la B alaM0_ (I' qx) + - (I' q ) + - (I' qz) ~x .~y éa. = - -Bx ay Y õz at
~ (,P012
(..P011
!lll H.I I. VnhWHI dtl I.lIlilll'O\!
(8.29
Água Su' terrânea
(8.3
(8.31
IUII
309
o sinal negativo na equação 8.31 toma positiva a ta".t efetiva de vazão
mãssica de saída, quando retirada do armazenamento,
Escoamento em aqüíferos confinados 1i
o lado esquerdo da equação 8.31 pode ser simplificado através da
expansão da derivada,
a 8qx aI'
- (I' qx) = I' - + qx -ô»: 8x ôx
(8.32)
o termo no lado direito da equação é considerado pequeno em relação ao
primeiro. Incluindo os termos correspondentes às direções y e z, e expandindo
as derivadas, a equação de balanço de massa fica:
a~ a~ a~ . aM
I' ( - + - + - ) ~x ~y éa. = - -ax ay õz at (8.33)
o próximo passo consiste em introduzir a equação de Darey e considerar
um aqüífero no qual as direções preferenciais do escoamento coincidem com as
direções do sistema de coordenadas x, y e z. Substituindo na equação 8.33 a
sxprcssâo de Darcy e dividindo por p~x~y~z:
a ah a 8h a 8h 1 8M
- (Kx -) + - (IS -) + - (Kz -) = -ax 8x ay 8y õz õz P ~x ~y éa. at (8.34)
A taxa de variação da massa por unidade de volume é dado por $p(ap +
(3)dp. Portanto, o lado direito da equação 8.34 pode ser escrito assim: 4>(ap +
!l)8\J/8t. Finalmente sabendo que dp = pg dh e que S, = pg 4>(ap + ~), tem-se a
qunção do nqüffcro confinud
11 )11
Y ') ) '.
8h
(J(z -) =
Z • 8z
8h
(8.35)('I, li
x f)x )y
HIWIII' Ii dCI'iVlld1\1l pnrcuus,
11'lupol'ld <111 1111111'11
1I11I'lpll'l1, () /dlm' 1111I
I WI 11 1'I011lldll (I
10 Hidrologia
1I1111lclrna coincidir com as direções principais da condutividade hidráulica.
JlqulIQôes menos gerais, porém mais tratáveis, podem ser obtidas a partir da
11"1191'10 geral. A equação do aqüífero homogêneo e anisotr6pico é a seguinte:
2 2 2
(K a h) + (K a, h) + (K a h) = S ~
x 2 y 2 z 2 s atax ay az
(8.36)
Para aqüíferos homogêneos e isotr6picos a equação fica reduzida a uma
forma ainda mais simples.
a2h a2h a2h Ss e,
(-)+(-)+(-)=--
ax2 ay2 az2 K at
(8.37)
Neste caso, a seleção da orientação das coordenadas é arbitrário. A
quação 8.37 é uma equação diferencial linear, parabólica, está presente em
diferentes campos da ciência. Soluções desta equação para o caso de conduçã
de calor em s6lidos podem ser utilizadas para a solução de problemas d
coamento subterrâneo em aqüíferos confinados.
Em muitas aplicações de hidrogeologia, o hidroge6logo pode considerar O
uqüffcro com espessura constante b, e o escoamento horizontal no plano x-y.
Lembrando que o produto do armazenamento específico pela espessura do
nqüffcro é o coeficiente de armazenamento, a equação diferencial fica:
a2h a2h S 8h
-+-=--
ax2 ay2 K b at
(HJH)
mie T = Kb é chamada transmissibidade, cuja dimensão é IL:Lfl'l. ()
rcbnlxnmcnto, S, é às vezes usado como variável dependente 1111cqullçRII
Iifcrcncial. Assim:
••• hO • h (H•.\1,)
11m valor convcnicnt
11"Iturll lnlcinl, COIllO dI'
di' ulluru plCi'.Ollllltl
o fi .:W t01l1l1
onde h
rnlmcnt
Água Subterrânea 311
a2s a2s S as
-+-=--
ax2 ay2 T at
(8.40)
o escoamento subterrâneo às vezes existe de tal maneira que a recarga é
ual à descarga de saída do aqüífero. Nestas condições não há variação no
rmazenamento, conseqüentemente não há variação da altura piezométrica em
relação ao tempo. Assim,
a2h a2h a2h
-+-+-=0
ax2 ay2 az2
(8.41)
Esta equação é conhecida como equação de Laplace, descreve escoamentos
permanentes em aqüíferos confinados. A equação de Laplace tem sido objeto de
tudo por físicos e matemáticos durante décadas. Existem métodos numéricos
multo eficientes para resolver esta equação, principalmente para o caso
hkllmcnsional.
le~~~llplo 8.5. Mostre que a solução da equação unidirnensional de Laplace é uma
Ilnhn reta.
111u",1'10: seja a reta h = Ax + B. A primeira derivada em relação à distância é
tlh/<1x n A. A segunda derivada em relação à distância é d2h/dx2 = O, que é a
111H1Çllo unidirnensional de Laplace.
Je"("llIlIIcnlo em aqüíferos não-confinados
A rtglln subterrânea é retirada do armazenamento de um aqüífero livre por
1Ilt'llliijeOlde poros, expansão da água e compactação da rocha; com contribuições
1I\lIl1on!o dcsprcztvcis das duas últimas parcelas em relação à primeira.
I'lIltilll!O, 1\ taxa de variação do armazenamento pode ser convenientemente
1111111(11, determinando fi taxa de variação do volume deágua na zona drenada
VflUII 1\ Jlw'(')~idf\dc aparente. Em principio, a localização da linha de água no
1I'IlIJHI ê IlO Ollp"ço pode ser computada resolvendo a equação 8.35 com Ss = O,
~h
RA2K1'1. . 1/', 0'1. o
')
I!. Hidrologia
A equação 8.42 fica reduzida à equação de Laplace para aqüíferos
llllllloflêncos c isotrópicos, porém nesta equação o escoamento não é permanente.
,'llIlunlo. O domínio das soluções dos escoamentos resolvidos pela equação 8.42
IIno Nllo constantes, pois as posições da linha da água mudam em função do
ItlIlII>O.Por essa razão, existe variação do armazenamento no aqüífero.
Uma abordagem matemática rigorosa para resolver problemas de escoamento
('111 IIqlHferos não-confinados seria através da resolução da equação 8.42. Uma
Il'Jlllznção da solução consiste na obtenção da distribuição espacial e
temporal dc linha da água. O fato de a linha de água ser uma realização da
olução, e ao mesmo tempo ser necessária para definição do domínio da equação
HA2, faz com que a resolução dessa equação seja extremamente difícil. Mesmo
purn escoamentos permanentes, onde a linha de água é fixa no tempo, o cálculo
lo linhas dc água seguindo o esquema indicado não é tarefa fácil.
As dificuldades acima apontadas deram origem à chamada solução d
Dupuit-Forchheimer. Assim. considerando uma linha de água acima de um
nrorno 'impermeável, sendo este o da/um, (figura 8.12). A descarga por
unidade de largura perpendicular ao plano do papel. na vertical, é dado por:
zf
Q = Jqx(x,z) dz
O
(8.43)
Para avaliar essa integral é necessário o conhecimento da vclocidnd
Durcy, qx(x,z), para cada valor das coordenadas (x,z), Entretanto, qllllndo "
dcollvldadc da linha de água é pequena, a velocidade Darcy na linha de IIHulI
uno é muito diferente da velocidade Darey no fundo impermeável; assim, porl
t' escrever qx(x,z) = qx(x,zf)'
dh
Q = qx(x,zf) zf = - K - zf
dx
(HA~
Indo h
IH'"
111I'1.1\11'1\
representa a altura piczornétrica na linha da ~!lUtl. Por dc/'inlt;"O, II
nu linhll de ãgua, é nula, logo, h=zr. A. deRclII'gH POI' IIIlidildo ti
1 portanto, dndn por:
dh
dx
•• I( h (~,11~)
NII 1'\I\lII,'nll HA\ li Il'pll~t.l·1111\
IIIlIll'ldl'l\. A "1111111111111111 IIII/lIll .111
um tlll ('111 ttlillll' !IIII I' 11 11111111
dll IlIlWlltl Iflll 11 11111111 d, 1\1'11I
Água Subterrânea 313
faz com a horizontal. A equação 8.45 implica um escoamento completamente
horizontal, bem como em uma distribuição hidrostãtica de pressão ao longo da
vertical. Em outras palavras, a altura piezométrica ao longo da vertical é
constante.
A solução de Dupuit-Forchheimer para escoamento horizontal, permite o
uso de um volume de controle que se estende desde o fundo impermeável até a
linha de água. Como as alterações da massa específica não são importantes no
aqüífero livre. o balanço de massa é conseguido simplesmente por um balanço
de volumes. A taxa líquida de vazão deve ser igual à taxa de redução de água
armazenada no volume de aqüífero. Portanto, o incremento do volume de água
associado ao incremento de nível de água, dh, segue a definição de porosidade
aparente. Assim, surge a equação do aqüífero livre:
a ah a ah ah
- (K h -) + - (K h -) = 4>8 -
ax ax ay ay at
(8.46)
Se o aqüífero for homogêneo é válida a seguinte equação,
a ôh a ah 4>8 ah
- (h -) + - (h -) = - -
ax ax ay ay K at
(8.47)
Cargo constante idealizada
Carga constante real
IlululIl
\1\" \,t t t 1 ,
1111111111 H,I?, JlN~'OI\ 111\:1110 ,'1Il IlqiHl\'1'I1 livre
')
14 Água SubterrâneaHidrologia
A equação 8.47 é a equação não-linear de Boussinesq. O fato de ser não-
IIIH~/lr tem dificuldado a solução através de métodos analíticos, embora tenham
do encontradas varias soluções exatas e aproximadas para condições iniciais
de contorno bem particulares. A linearização da equação de Boussinesq é
)1m mlssfvel, quando a variação espacial de h permanece pequena em relação a
h, Neste caso é possível substituir a espessura variável do escoamento por
umn espessura média do mesmo, b, obtendo-se:
Substituindo Qx por - K b lly ~~ e ahQy por - K b llx ay obtém-se:
a2h a2h W
- +- +-
ax2 ay2 b K
s ah
::::-- -
K b at
a2h a2h 4>a ah
- +-::::--
8x2 8y2 b K 8t
(8.48)
A percolação vertical W é uma descarga por unidade de área considerada
positiva quando contribui para o aqüífero. O valor da percolação pode ser
ncontrado diretamente a partir da equação de Darcy, na hipótese de não haver
mudanças no aqüitardo,
que é conhecida como a equação linearizada de Boussinesq. K)
W ::::- (h) - h)
b)ll:xcmplo 8.6. Encontre uma solução da equação do aqüífero livre em regime
permanente e em uma direção.
onde K), b) e h) representam a condutividade hidráulica, espessura e altura
piezométrica no aqüitardo, respectivamente.
Soluçiio: a equação procurada é a(h ah)/8x = O. Integrando uma vez temos qu
9h/8x = A. Integrando novamente h2/2 = Ax + B. Note-se que o quadrado li"
lução é linear.
K b b,
K1 rCaso se defina o fator de drenança: ~ ~ {
Introduzindo-o na equação 8.50, obtém-se a
drcnança. Assim:
'~(IIIAçÕes com contribuição lateral equação do aqüífero com
A pcrcolação através de aqüitardos sobrepostos ou SOLOpOS10ll nlllwllIlI
nlficativamente o comportamento hidráulico de um aqüffcro conflnndu. Nu
uso do aqüífcro livre, a colocação ou a retirada de água ocorrem I1truVl(N 1111
seurga artificial ou da evapotranspiração.
onsidcrando O escoamento em um aqüífcro confinado, IH')1l10I1CIIl'"
otrõpico, sobreposto por um aqüitardo de espessura bt c ccnaldcnuuk: quI' 11
irncnto no aqüffcro confinado é completamente horizontal, plllll
ncorporar no volume de controle, a pcrcolação 1\lrílVóH do IIqllllllllll,
dlrctumcntc nu equação de balanço de volumes. O volume de oOJ1Iroll.lt\~t~ll(l!
Icsde o fundo lmpcrmcríve] até O topo do confinado. O bulnnço do VOhUIIII' II
.uulnro cquaç
a2h 82h ho-h S 8h
-+-+-=- -
Bx2 8y2 ~2 K b 8t
Uma análise semelhante para uma contribuição acima da linha de saturação
110 aqülfcro livre leva à equação do freático com contribuição lateral.
h
(h -)
x fJx
8h W <Pa ôh
(li -) + - = --
y 8y K K 8t
x ,/ ••••y
I\x 'I I\y . W Ax I\y
'Jx lJy
111
0;0\ 1\'1.1\
!I
01 !lI I \0 W pode tlN VC",CM ser csrímudn 1\ partir do balanço hídrico.
podo NOI' 01/1111\11(111II pnrtlr ,I" 11O~IIRO do Uni pcrmcâmcrro d
')
315
(8.50)
(8.51)
(8.52)
(8.53)
(8.54)
316 Hidrologia
8.4 Interação de águas superficiais e subterrâneas
Um sistema é um conjunto de componentes relacionados entre si. Os
istcmas reais incluem elementos naturais (aqüíferos, rios penetrantes no
iqílífcro); elementos introduzidos pelo homem, (canais, poços, barragens) e
prãticas agrícolas (irrigação por sulcos, por aspersores).
Os fenômenos natutais são aleat6reos. Portanto, o sistema incluirá
componentes determinísticos e estocãsticos, O componente estocástico pode ser
subdividido em dois subcomponentes. Um resultante da aleatoriedade da pr6pria
nuturcza; isso equivale a dizer que, mesmo conhecendo a distribuição
statfstica de um fenômeno, não poderia ainda ser conhecido o valor de um
fenômeno em um dado instante. O outro subcomponente é resultante dos erros
mvolvidos na quantificação dessa grandeza.
O sistema natural é modificado ou substituído pela interferência do
homem. Esta interferência é o resultado de muitas ações. O homem muda o
urãtcr natural do sistema: a) alterando o ambiente natural (construção de
barragens, canalização de rios, perfuração de poços); b) estabelecendo leis
prioridade de uso das águas); c) desenvolvendo atividades econômicas
(ngricultura irrigada); d) exercendo pressão política (apelo dos sem-terra).
Descrição dos componentes
A figura 8.13 mostra o ciclo hidrol6gico de um sistema no qual o
uqüffcro e o rio estão hidraulicamente conectados. As alterações introduzida
pelo homem (canais, barragens, poços)e as práticas agrícolas (irrigação por
4111cos,inundação) também são mostradas.
Para entender o funcionamento desse sistema, é necessário compreender
primeiro o comportamento de cada um dos componentes, seguido do conhecirncm
du intcração de cada um com o resto. Nesse sistema pode-se distinguir t r~s
tipos de excitações:' a) entradas; b) retiradas do rio; c c) retiradas d
tqüífcro. Assim, a estratégia será estudar a inrcração de dois componentes (,l
mostrar que possíveis combinações de mais de dois elementos podem Hei'
rcduzídus a grupos de dois.
ma vez estudada a intcração de dois componentes, scn~fácil reduzl r 1111\
pruhlcrnu de três componentes em um problema ele dois, para o qual 11 solllçno <:
conhecida. A chave dn solução do problcmn envolverá li composição de mt~dlllo
dt\ dol~ componentes.
('OUlpC)IWnWN Il~hlOHhl\slc(lN
()
nllk11l~ IlI111il'oll NOII li IlIjllrl'l'lI"1 II 11 ri 11, SIIII
1111\IIMII/lu
di II i1It1ldNtlrll~ !flll' plltll~111 III I 1I~IHhl/l 1'111
d
Água Subterrânea 317
/
»> -
--.,------
Figura 8.13. Uso conjunto de águas superficiais e subterrâneas.
descrever o estado de um aqüífero, duas grandes orientações são usadas: a)
11I[<lodosque usam parâmetros concentrados; e b) métodos que usam parâmetros
dltHribufdos. No caso de uma bacia hidrogeol6gica isolada (sem interferência
rlo 11m curso de água), o estado do sistema é medido pela resposta a uma
IIlllrncJn de água do aqüífero. Neste método estima-se o rebaixamento médio
It'ndido a todo o aqüífero, sem dar atenção à posição geográfica dos poços,
dClIl (luHis a água é retirada e onde resulta a maior diferença entre o valor
1111'1110 c o valor real.
Bste método é usado em estudos econômicos para analisar o mérito da
i Kplolnç1{o de um aqüífero para desenvolvimento agrícola em um horizonte
dll/luldo de tempo, O fato de muitos poços serem considerados secos, pelos
WhlllxlIlJlCnlOS médios previstos pelo método, não invalidam os resultados
Il'lillfllllicOH globais, Por outro lado, numa escala com finalidade operativa é
1ll'lll~NNlll'io descrever o sistema com mais detalhe, contando com a real posição
111M poços na I(,'CU, bem como, com os valores reais dos parâmetros
hllllll»l'ol~AlcnN, NeMIC cnso <! utillzado o método com parâmetros distribuídos.
A t'.Ilfllll\ll'll li1lltl'll\l(II('1\ dOR 11I~tO<lOSque usam parârnctros concentrados é a
dUM I.'qlll\l,l~(.lll dl/bl't'lwlllls (l1'(1I1111r!l\s:
11
111" I I 11I I
~,.,.
')
18 Hidrologia
onde: <1>0é a porosidade drenável do aqüífero livre, s é o rebaixamento médio
(11 punir de um datum superior), t é o tempo e 'le é a retirada efetiva de
uu por unidade de área. Na equação 8.55 cpa não tem dimensão, s tem dimensão
de comprimento e qe tem dimensão de velocidade (mesma da velocidade Darcy).
A estrutura matemática dos métodos que usam os parâmetros distribuídos é
li das equações diferenciais parciais. A equação de Boussinesq pode ser
Ihida para representar o aqüífero:
8 ãs 8 ãs 8s
-(T -) + -(T -) = cpa - - qe
8x 8x 8y 8y 8t
(8.56)
onde: CPo é a porosidade drenável (pode variar no espaço), s é o rebaixamento
num ponto de coordenadas horizontais x e y, T é a transmissividade do
uqüffcro (pode também variar no espaço) e 'le é a retirada efetiva por unidade
de ãrca, sendo negativa no caso de recarga e podendo variar de um lugar para
outro.
Ao invés de descrever o estado do sistema através do rebaixamento,
sturna-sc descrever também em termos de altura piezométrica h, medida a
))lU I ir de um datum horizontal inferior. Neste caso a equação de Boussinesq
toma a forma:
8 8h 8 8h ôh
-(T -) + -(T -) = <1>0- - qe
8x 8x 8y 8y 8 t
(8.57)
Tanto a equação 8.56 como a equação 8.57 consideram O escoamento
baslcamcntc horizontal. Assim, a componente vertical do mesmo é dcsprczfvcl
ou sem importância nas decisões de gcrcnciamcnto.
A modelagem do rio pode também ser feita através de métodos que IIIHlUI
pllrlllllCl.ros concentrados ou distribuídos. O método clássico que 111111:1.11
plir'lImelros concentrados é o método de Muskingum, Este serve pUI'U Sil1lllhil'1\
propllgaçno de ondas de cheia em trechos de rio.
A onUII de cheia num curso de água, com velocidade de viu
ríst icas do rio (dccllvidadc, rugosidndc, erc.), ,(
dn continuidade no trecho:
d.
dI
o (Ho~HI
011I10: ,'1 t' 1/ 11ru 111I,llll lU 11I!1111I /111 111\0110 d" du, I li 11 cll'~~Ojlll-ll\ 111111111111111
Água Subterrânea 319
entrada no trecho e O é a descarga instantânea de saída no trecho.
Como as descargas de entrada são quase sempre conhecidas, a equação 8.58
ntém duas incógnitas, S e O. Portanto, é necessário o uso de uma equação
udicional, Essa equação é a chamada equação de Muskingum, que relaciona o
nrmazenarnento no trecho com as descargas instantâneas de entrada e saída:
S = K [x I + (l-x) O] (8.59)
O parâmetro K tem dimensão de tempo, enquanto que x é adimensional. A
('q\lução 8.59 é muito utilizada quando a cinemática do movimento é pouco
IIf'cluda pela dinâmica do processo. A equação 8.59 indica que o sistema
l'Wllpolta-se linearmente.
Eliminando-se a variável O nas equações 8.58 e 8.59, chega-se a uma
qunção diferencial ordinária de primeira ordem em S:
dS
K(l-x) - + S = KI
dt
(8.60)
Para encontrar a resposta do sistema a um padrão de descargas de
1111'1\(11\, pode-se obter primeiro a resposta do sistema a uma excitação
pcclul: a) impulso unitário; b) pulso unitário; e c) salto unitário. A
IlpodOncia tem mostrado que o uso do salto unitário traz soluções
111111t'IIHHicas mais estáveis.
Resolvendo-se então a equação 8.60 para KI = 1 (salto unitário) obtém-se
1I 11\1!.11co salto unitário de armazenamento devido à descarga de entrada:
-t
Ks(t) = K ~ I - exp ( -- ) ~
K(l-x)
(8.61)
li" quul O núcleo impulso unitário pode ser obtido:
I -t
ks(t) = - cxp [--]
l-x K(l-x)
(8.62)
11/111 l'OlliO () 1111clco plllso IInlll~ri
1.( I I{ I1 • L1x)l ( ~)I
1« I 11
purH l-I (8.63)
')
.,2 Hidrologia
1 -t
s(t) = K exp[-- -1] exp[--],
K(I-x) K(I-x)
t>1 (8.64)
Os núcleos discretos são obtidos a partir dessas equações para valores
ntclros de t, assim:
1 -n
os(n) = K [exp(-- - 1] exp[--]
K(I-x) K(l-x)
n =1,2,3, .... (8.65)
o armazenamento no rio devido a um padrão arbitrário de descargas de
'Iltrada, Irt), é dado pela integral de convolução:
t
fI -ú-r)S(t) = - exp [--] I('t) dtl-x K(I-x)
O
(8.66)
011 na forma discreta:
n
1 -(n-u+ 1)
S(n) = K [exp (--) - 1] L exp [ ] leu) (8.67
K(I-x) K(l-x)
1
Na equação anterior, leu) representa uma descarga média de entrada no
trecho durante o período de tempo (u-I.o), enquanto que Seu) representa o
urrnazcnamento instantâneo ao final do intervalo de tempo u.
Se ti resposta de interesse não for o arrnazcnamcnto e sim a descarga cl
,(dil, OS núcleos de descarga podem ser determinados resolvendo a cquuçllo
H.59 para O(t). Assim:
S(I) x
O(t) = -- • - I(t)
K(J-x) l-x
(H,(IH)
Usnnd I in tcgral de convoluçã btérn-sc:
I J -(I -'C)
t) • cxp (
}«I x)l 1«lx
(I
x
(\1: ' (HIIU)
I·X
Il/lll\ 1'\IIIH\'nU Ittll) Il'l1l 1I 1!lIIIII\ IIIU IIl'1l1llll I dl\ (11)lUlt,;nlJ dl' \'\lI1V\lIIl~l\il, 1111\
gua Subterrânea 321
111\ definição de função Delta de Dirac, D(t):
f D(t-'t) 1('t) = «o
O
(8.70)
usando a equação 8.69, obtém-se:
t{ }1 -(~'t) xO(t) = f -- exp[--] - - Dú-r) I('t) dr
K(l-x)2 K(l-x) l-x
O
(8.71)
núcleo impulso unitário de descarga de saída é obtido após a
tlcntificação dos termos da equação 8.71.
1 -t x
KO(t) = -- exp [--] - - D(t)
K(I-x)2 K(l-x) l-x
(8.72)
núcleo acima é singular no tempo zero. Como a função Delta de Dirac é
IIh.:gnIvel, os núcleos discretos são regulares e podem ser obtidos facilmente
1 purtir da equação 8.72.
oo(n) = 1 _ exp [-I / K(l-x)]
(l-x)
para 0=1 (8.73)
{
exp[l / K(l-x)] - 1 } { -n }
50(0) = exp[-- ]
(I-x) K(l-x)
(8.74)1"\('1\ li
J)epois que os núcleos discretos forem calculados, as descargas de saída
p"tlt'lll ser cstillludfls 1\ partir das descargas de entrada através da integral de
IIIIIV(Jlu,'On:
()II! )~ /)0(,,",, 1,1) I(v)
\I 'I
(8.75)
Nlill'~I' I\lIl 111111111111 \) 11111(111iH\ Ill'lulIllllIllI JlI~I'IVIlIi'lIll1l1tll'lII ~llIlpl.,,,.
)
322 Hidrologia
IIJn formulação é obtida a partir do modelo apresentado colocando-se x = °
IJIIR equações desenvolvidas.
ICxemplo 8.7. Para um trecho de rio de 1000 m de comprimento, 10 m de largura
parâmetros de Muskingum K = 10 horas e x = 0,2, encontre os núcleos
discretos de volume de saí,da para um intervalo de 4 horas por 12 horas.
50lução: o valor de K para o intervalo de 4 horas é K = 10/4 = 2,5, portanto
l«l-x) = 2,0. Utilizando as equações 8.73 e 8.74 temos que 80(1) = 0,242,
(2) = 0,298, 80(3) = 0,181. Para descargas de entrada de 1(1) = 5.000 m3,
1(2) = 2.500m3 e 1(3) = l.OOOm3, e usando a equação 8.75 as descargas d
arda são, respectivamente: 0(1) = 1.210m3, 0(2) = 2.095m3, 0(3) = 1.892m3.
Interação ,aqüífero-poço
A primeira interação de dois componentes a ser estudada, diz respeito li
feito produzido por um poço sobre o rebaixamento em um aqüífero livre. No
asa de um aqüífero infinito e homogêneo, inicialmente em repouso e devid
lmetria radial do problema, pode-se usar a equação de Boussinesq em
ordenadas polares.
as a2s a as
--a----=O
at ar2 r ar
(8.76)
nde a = T/cj>a é a difusividade do aqüífero,
Uma solução fundamental da equação de Boussinesq é a chamada SOhl~'I'"
fonte: exp(-r2j4at)/t. Como a equação 8.76 é linear, a supcrposiçüo d
OlllÇÔCS também é uma solução. Conseqüentemente, a integral da solução fOllti
também é uma solução.
I
s(r,t) = A J exp (-r2/4a't)
't dt
O
, (H.'/'/)
onuc A
A d
unl ~ /.lI/I
'ilIndw di.l I'UIO I
(juuono dl\ I )I\\,
)ll)l'" 1111I
111\ Subterrânea 323
[
-r2]Q = 4 1t T A exp _
4at
(8.78)
A descarga Q para r = O'é independente do tempo e tem por valor 41tTA.
I1Ullo-seque para A = lj41tT, o núcleo salto unitário, Ks(r,t), representa o
hnlxnrnento no aqüffero devido a uma taxa constante de bombeamento no poço.
1 t
Ks = __ f-xp (-r2j4a't)
4 1t T dt
O t
(8.79)
A derivada em relação ao tempo do núcleo salto unitário, é por definição
II nüelco ' impulso unitário, ks.
ks = exp (-r2/4at)
41tT
(8.80)
o rebaixamento devido a um padrão variável de bombeamento, a uma
1\0111 r do poço e a um tempo t desde o início do bombeamento, é dado pela
rul ele convolução:
t
1 J exp [ -r2/4a(t-t)]
s(t) = - Q(t) dt
4 1t T (t-r)
o
(8.81)
NII equação 8.79 a integral é conhecida na literatura matemãtica como
IIII"JlIIII tl.l1Jcmcncial W(r2/4at) ou função de poço. Assim, pode-se escrever:
1
f(s "" -- W (r2j4at)
4nT
(8.82)
o conhecidas exatamente como funções
nhecidos ou estimados os bombeamentos
brc O pcrrodo de
')
\~~jl Hidrologia
1 {r2 r2}os(n) = - W [-] - W [ ]
4 1t T 4001 4a(n-l)
(8.83)
0<.: posse dos núcleos de bombeamento é possível, através da integral de
oonvolução, prever o rebaix~mento em um determinado ponto de observação ao
Ilu liI do período n e devido ao bombeamento médio Q(u) no período (u-l a u),
n
s(n) = L Q(v) 8s(n-v+ 1)
V=l
(8.84)
Exemplo 8.8. Encontre os núcleos discretos de bombeamento para um aqüífero
ltumogênco com porosidade aparente 0,2, transmissividade 10.000 m2/semana e
distancia radial ao poço de 200 m para um intervalo de uma semana por 3
-mnnas.
"lIhl~'fio: a função W(u) é estimada pela seguinte série de termos:
W(u) = - 0,5772 - ln u + u - u2/4 + u3/18
A difussividade hidráulica a = T/<I>a = 5 x lQ4 m2/semana
munas (11) Ir2/4001 r2/4a(n-l) IW(r2/4001) IW[r2/4a(n-)] os(n)
o
1,2227
l,8229
2,0 X 10.1 00
r.o x 10.1 2,0 x 10.1
6,667 x 10-2 l.O x 10-1
I
2
1,2227
1,8229
2,1917
Pnru rn, 1..!(2) • SO.O(}O
Cjuoçlló a.H~
m.
hlltH'IIÇi\\l rlo-nqüíter«
nl1a Subterrânea
II~I
325
Inicialmente o rio e o aqüífero encontram-se em equilíbrio, a linha de
111411I1 no aqüífero e no trecho do rio estão no mesmo plano horizontal. (figura
H til), Um problema interessante diz respeito a avaliação do volume de água
uodldo pelo aqüífero ao rio (volume de retomo), ou inversamente o volume de
'{»IIU perdido pelo rio para o aqüífero, ambos quando o nível do rio muda de
jloNlçllo.
A equação linearizada de Boussinesq pode ser utilizada para representar
"_10 fenômeno desde que sejam usadas as condições iniciais e de contorno
ulcquadas.
as a2s
--a- =0
at ax2
(8.85)
e!xo de I
strnetrtc,
superfície do terreno ""~-
/ super ffcie iniciol____1 _--
"jj i (,f:~d~,;~~':.m'áv"
~~
"I
Figura 8.14.Interação rio-aqüífero
apresenta a mesma estrutura da equação de condução de calor
de contorno adequadas aos problemas de condução de
nprcscn tadas em manuais especializados.
1~1t;1l1/l cstd em equilíbrio, a partir daí o sistema é
o do nlvel cio rio, 0(1). ASSim:
11M:plll'lI 1 • O I ~ I () JlIU'" todo x
011101110:
I( 11 plHli 1!1I111 I .()
(I 1'11I11 Il1dll 1 •.• /) )
6 Hidrologia
A maneira de resolver a equação 8.85 sujeita às condições iniciais e de
nnrorno, consiste primeiro em resolver o problema para um tipo muito
peciul de excitação. No tempo zero, o nível do rio cai instantaneamente uma
unidade e permanece nesse estado indefinidamente (salto unitário de
~ohnlxumcnto).
rebaixamento no aqüítero devido a um rebaixamento unitário no rio,
pode ser encontrado a partir da solução de problemas semelhantes de condução
dc calor em sólidos. Por definição, a resposta a um salto unitário de
rcbnixamcnto é o núcleo salto unitário de rebaixamento. Assim:
~
x 1- erfc ---Ks(x,t) - 2~ (8.86)
onde: erfct.) é a função erro complementar definida como o complemento da
função erro, isto é:
e/fc(.) = 1 - erJ(.) (8.87)
A função erro de um argumento u é definida como segue:
u
erf(u) = -=- Jexp (_v2) dvV;;
O
(8.88)
Os valores da função erro podem ser encontrados em tabelas ou podem
também ser geradas em computador.
Urna vez obtido esse tipo especial de resposta, o rebaixamento 110
IqUerero em qualquer lugar e a qualquer tempo, produzido por um padrno
Irbitdrio de rebaixamento no rio, pode ser encontrado utilizando íI eq\lHçno
1Ii; convolução:
I [x J 8x
(x.t) = ["fe 2~cx(t.t)' 8t dt .H.HI)
I!III nlgun
111 o fluxo
Água Subterrânea 32.7
l' descarga nos dois lados do rio é calculada pela seguinte expressão:
8s
Qr = -2 L b K - Iõx x=O (8.90)
O fluxo de retomo do aqUífero ao rio, pode também ser calculado
utilizando a teoria linear dos sistemas e será por conveniência considerado
positivo (negativo significa perda do rio). A equação 8.90 estima o fluxo de
retorno para um trecho de comprimento L, originado pelos dois lados do rio.
Utilizando-se a equação 8.89 para o cálculo da derivada do rebaixamento em
Il,IIIÇi10 ao espaço e utilizando a cadeia de diferenciações, tem-se que:
8s 2
ax I x=O = - .;: exp
1t [
x2] 1-- - I
4at 2~ x=O
(8.91)
1as I _ = __
8x x-O ~1tat' (8.92)
hamando T = Kb e substituindo a expressão acima na equação 8.90, tem-se
11 1I\10lco salto unitário de fluxo de retomo Kr(t). Assim:
2LT
Kr(t) = r-'
~1tat
(8.93)
Sabe-se que a resposta a uma excitação qualquer pode ser obtida a partir
Illi l\tnQlto salto unitário. Para o caso do fluxo de retomo devido a um padrão
'1IH1ltllltlt de rebaixamento no rio ott) , tem-se:
t
2 L T J 8cr(t) dt
Qr = - - - (8.94)..r;;; o 81: -IM'
111111111111plldrno Ill'hilr~I'i{) de rcbaixamcnro no rio 0(1) pode-se obter o flu-
1,11 li" 111111111(1npJivlllldl1 (iil'(llnIIWJ1tC' 11 uquuçuo R.94. O problema está em en-
t'Il"llIt 111111\I'IllIçfln quo IHI/l/HI /ÜpltlSl'lllllr Slltlsl'ulorillillooto o rcbnixarncnto no
d'l 1111'11I I'IHlNII IWI IlIltl/\IIUIIl IlIi lillilpll. 0111111 11111rIl' II'fl do resolver 1\ inrcgrul
ili~IJI}II/IIIIIII'1\ 1\11111\1;1111111' I'IIIIVIIIIII,IIII
("IIIi'l1l1111l111l11l '1111' 11 111vIII d" ri" \111111111111I11111111111111'1111\(I 11111"111, 1\ I'llI'll)l\
')
I.H! Hidrologia
Ia equação 8.94 toma a seguinte forma:
U 1
J - dr[a(u) - a(u-I)] 2~n-'t'
u.i
n4LT,
Qr(n) == r--' L.
"l1ta U=1
(8.95)
onde Qr(n) é o fluxo de retomo calculado ao final do período n.
Fazendo-se uma mudança de variável 't'= 't-u+ 1, integrando-se e chamando
Ii.(u) de pulso unitário:
4 L T {1/2 1/2}Or(U) = -- U - (u-I)
~
Os fluxos de retomo podem ser calculados ao final do enésimo períod
pelo uso da integral de convolução:
(8.96)
n
Qr(n) = L [otv) - a(v-l)] or(n-v+l) (8.97
1
A aplicação dessa fórmula é simples e pode rapidamente calcular
vulorcs dos fluxos de retomo, desde que sejam conhecidos os parâmetros do
IqtHfero.
.exemplo 8.9. Um trecho de rio com 70 m de comprimento penetra em um aqüffcrn
001 T = 10.000 m2/semana. e 4Ja = 0,2. Determine os coeficientes de influêncln
<10 fluxo de retorno para 3 períodos de uma semana.
Soluçáo: a difussividade a = T/4Ja = 10.000 / 0,2 = 50.000 m2/semlll\II, 111\
qunção 8.96 temos que or(1) = 7,065 x 103, or(2) = 2,926 x 10' e ~it,(:\
1• .46 x 103. Para os rebaixamentos do rio a(l) == -0,1 01, a(2) a -0,3 n: c tr( \
0,1 1)1;os fluxos de retorno são calculados pela equação 8,97 c lCI\\ ('111111'
vnlorcs, respectivamente: Qr( I) = -707 m3/scmana, Qr(2) li: ·2.'112 Ií1J/Sl'lIl1l1lll,
1'(:\) • ·1.809 m3/SGmf1nf1.Note-se que os fluxos de retorno ncautivos Il\dll'lIllI
llllXOR de Ihl\lu cnirccucs pelo aqüffcro ao trecho de rio.
)'IU )111 ,leMAS
I \ 11111'11111110 ONdlldoR tllI ouivu til' Il'll'nçflo, pllllL' li dINldhl'I~'n!1 do ('111111'111\'1
v\lhlllll~lr1l'11 ti" It!-l\l!! IIl,11111I dn 11111111 dl' ~III\1IIl~'hn,lOl'"lIlIIdu '/() ('1\1 Illtltl~1Idli
"1'1'1111 ir 1111 Itllll'lIll, N1111i!lllln Ij1\l1 1\ 11111111 di' MUllIlIIlJhl1 tlnvlI, )1111' 1\111 1'111111"11
ua Subterrânea 329
til' drenagem artificial, descer até uma profundidade de 80 em, e permanecer em
quilfbrio daí para frente. Utilizando os conceitos básicos de porosidade
letiva, estime o volume da água por unidade de área, que tem que ser
removido do aqüífero, através da integração gráfica das curvas de retenção.
t!lltlmc também o valor da porosidade aparente e compare-o com o valor da
)lllmsidade efetiva.
) Esferas sólidas e uniformes de raio R são empilhadas dentro de um cubo com
I() R de lado. O empilhamento é perfeitamente simétrico. Encontre a
1111Iosidade. A porosidade depende do raio da esfera?
Explique por que a altura da franja capilar é maior num material de
111'{llIra fina do que num material de textura grossa.
I ()s seguintes dados foram colhidos numa bacia do leste dos Estados Unidos.
I'lIl'Ol1trc a descarga subterrânea média mensal em direção ao curso de água
I'lil\l'ipul que drena essa área. Prepare também a curva de descarga da água
\ll1lt'l rânca, A porosidade aparente do aqüífero foi estimada em 0,11 e a área
1111 hncia em 50,6 krn2•
1\ pcrmcabilidade intrínseca de um meio poroso é medida com um gás de peso
Ilt'c(fico desprezível no aparelho mostrado na figura. A velocidade Darcy do
1111I 6 1,65 ctnls e a viscosidade dinâmica 10.5 poise. Encontre a
11l\llIll~llbilidadeintrínsica da amostra e a condutividade hidráulica para a água
Ili. '(),O I poisc, Pg = 980 dinas/cm-)
/I \)11111 mangueira de 4cm de diâmetro é cheia com areia homogênea com
uuulutlvidadc hidráulica 2,6 x 10-4 cm/s. A diferença de pressão entre os
11111111111 A C C é de 24cm de água. Calcule a descarga de água pela mangueira e a
1'1I1~lInO 110 ponto B. sabendo que a pressão no ponto A é de 28 em de água.
',. A IInlll'n 6 uma versão simplificada de um permeâmetro de carga variável.
111111/111\(10 os princípios básicos, estabeleça uma relação que calcule a
IIl\tI\llIvldl\d(,,~ltidrãulica para uma perda de carga de 10 em em 10 dias.
Nuhslillliçl\o, que exp (-x2/4at)/v't é uma solução da equação
J IOllsslllcsq.
V' Wllllqlll" 1>1)1'~"IlNIIt\lI~'nll,q\ll' li.\/I ('1'2/~(y,t)/t l( umn NCll\lçl'lo df\ cqun
\Í\tllitl dl~ 1I1111.NII\l'~q
')
Hidrologia
ilculc os núcleos discretos de bombeamento para n = 1.2•...•6 semanas e
I' I 200m para um aqüífero homogêneo com porosidade efetiva 0.2 e
trnusmissividade 10000 m2/semana. Faça um gráfico com os resultados obtidos.
11- Para os seguintes esquemas de bornbeamento, determine os rebaixamentos num
pl<.lzOmctro localizado a 200 m de um poço de produção. Faça um gráfico dos
rcbuixamcntos em função do tempo (semanas)
12· Um trecho de rio com 250 m de comprimento encontra-se penetrando
profundamente num aqüífero com 100000 m2/semana de transmissividade e 0.157
de poros idade efetiva. Encontre os núcleos discretos de fluxo de retomo para
10 períodos de uma semana.
13- Utilize os núcleos discretos do exercício anterior. calcule e plote os
Iluxos de retomo ao fina) de cada semana por 10 semanas. para os seguintes
rebaixamentos do nível do rio.
p/pg(cm)
Dados do problema 1
9(cm3/cm3)
0.0
2,2
4.2
6.2
7.7
9.7
12,7
15,8
20.0
25,0
32,0
42,0
56,0
76,0
106.0
147.0
198,0
R2,O
0.43
0,425
0,421
0,414
0,408
0,401
0.392
0.384
0.374
0.362
0.348
0.331
0.313
0.300
0.281
.264
.251
0,21\0
331
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Figura do problema 5
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Hidrologia
T ;- ~ ~-:
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Material poro so
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I
I
200 em 1
Figura do problema 7
Tabela do problema 4
Mi~s
2,3
5,0
0,7
3,7
0,7
3,0
0,0
S,
7,2
,7
4,2
4,4
2,6
1,4
4,8
3,0
3,6
1,8
I,
14,27
13,99
14,09
13,54
13,48
13,11
13,14
12,93
13,23
1
1
1
Linha de água (m) IReearg a (W) IETP fre at6fita
início . fim (em/mês) (em/mês)
13,99
14,09
13,54
13,48
13,11
13,14
12,93
13,23
13,6
13,72
13,
Itl,27
I I I
333
Dados problema 11
SEMANA VOLUME (m3)
1 100000
2 50000
3 100000
4 50000
5 100000
6 50000
Dados problema 13
SEMANA REB (01)
1 -0,1
2 -0,3
3 -0,1
4 0,0
5 0,1
6 0,2
7 0,1
8 0,0
9 0,0
10 0,0
IWHHt)NClAS
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