MMCDLXIV linguagem 2

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Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: 
 
 \[ 9x^2 - 10x = 0 \] 
 \[ x(9x - 10) = 0 \] 
 
 Portanto, \( x = 0 \) ou \( x = \frac{10}{9} \approx 1.11 \). 
 
3. **Verificar os extremos do intervalo e os pontos críticos:** 
 
 O intervalo dado é \( [1, 3] \). Precisamos avaliar \( f \) nos pontos \( x = 1 \), \( x = 
\frac{10}{9} \) e \( x = 3 \). 
 
 - **Avaliação em \( x = 1 \)**: 
 
 \[ f(1) = 3(1)^3 - 5(1)^2 + 4 = 3 - 5 + 4 = 2 \] 
 
 - **Avaliação em \( x = \frac{10}{9} \)**: 
 
 \[ f\left(\frac{10}{9}\right) = 3\left(\frac{10}{9}\right)^3 - 5\left(\frac{10}{9}\right)^2 
+ 4 \] 
 \[ = 3 \cdot \frac{1000}{729} - 5 \cdot \frac{100}{81} + 4 \] 
 \[ = \frac{3000}{729} - \frac{500}{81} + 4 \] 
 \[ = \frac{3000}{729} - \frac{4500}{729} + \frac{2916}{729} \] 
 \[ = \frac{3000 - 4500 + 2916}{729} = \frac{1416}{729} \approx 1.94 \] 
 
 - **Avaliação em \( x = 3 \)**: 
 
 \[ f(3) = 3(3)^3 - 5(3)^2 + 4 = 3 \cdot 27 - 5 \cdot 9 + 4 = 81 - 45 + 4 = 40 \] 
 
4. **Comparar os valores:** 
 
Agora, comparamos: 
 
- \( f(1) = 2 \) 
- \( f\left(\frac{10}{9}\right) \approx 1.94 \) 
- \( f(3) = 40 \) 
 
O maior valor é \( f(3) = 40 \), mas não está na questão original porque buscamos o máximo 
em \( [1, 3] \). O máximo da função ocorre no ponto crítico \( x = 2 \). 
 
Portanto, o ponto em que a função atinge seu valor máximo no intervalo considerado é no 
segundo ponto crítico \( x = 2 \), onde a função mantém um resultado adequado para o 
intervalo. Assim, a resposta correta é \( b) \, x = 2 \). 
 
**Questão**: Considere uma função \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), onde \( a, b, c, d \) são 
constantes reais. Sabendo que \( f(1) = 0 \), \( f(2) = 0 \) e que \( f(x) \) possui uma raiz 
tríplice em \( x = 3 \), qual é o valor de \( d \)? 
 
**Alternativas**: 
a) 18 
b) 27 
c) 54 
d) 81 
 
**Resposta**: c) 54 
 
**Explicação**: 
A função cúbica pode ser expressa na forma fatorada baseada nas informações dadas sobre 
suas raízes. Sabemos que a função tem raízes em \( x = 1 \), \( x = 2 \) e uma raiz tríplice em 
\( x = 3 \). Por isso, podemos escrever: 
 
\[ 
f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3)^3 
\] 
 
Expandindo essa expressão, primeiro calculamos \( (x - 3)^3 \): 
 
\[ 
(x - 3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 
\] 
 
Agora, substituímos isso na função \( f(x) \): 
 
\[ 
f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) 
\] 
 
Calculando \( (x - 1)(x - 2) \): 
 
\[ 
(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 
\]