DXCIV estrutura da dados

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Portanto: 
 
\[ t \approx \frac{0,3010}{0,0212} \approx 14,2 \text{ anos} \] 
 
Assim, a resposta correta é b) 14 anos, confirmando a estimativa feita pela regra do 72. 
 
**Questão:** 
Considere a função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \). Qual é o valor do ponto crítico da função 
no intervalo \( x \in [0, 2] \)? 
 
Alternativas: 
a) \( x = 0 \) 
b) \( x = 1 \) 
c) \( x = 2 \) 
d) \( x = 1.5 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 1 \) 
 
**Explicação:** 
Um ponto crítico de uma função ocorre quando sua derivada é igual a zero ou quando a 
derivada não está definida. Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 
+ x - 5 \), primeiro precisamos calcular sua derivada. 
 
Calculando a derivada de \( f(x) \): 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(5) = 6x^2 - 
6x + 1. 
\] 
 
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a derivada a zero: 
\[ 
6x^2 - 6x + 1 = 0. 
\] 
 
Para resolver essa equação quadrática, utilizamos a fórmula de Bhaskara: 
\[ 
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, 
\] 
onde \( a = 6 \), \( b = -6 \) e \( c = 1 \). 
 
Calculando o discriminante: 
\[ 
b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 36 - 24 = 12. 
\] 
 
Assim, substituindo na fórmula de Bhaskara: 
\[ 
x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}. 
\] 
 
Os valores críticos são: 
\[ 
x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{6} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}. 
\] 
 
Agora, vamos verificar se esses valores estão no intervalo \( [0, 2] \): 
1. Para \( x_1 \): 
 \[ 
 x_1 \approx 0.866, 
 \] 
 que está no intervalo. 
 
2. Para \( x_2 \): 
 \[ 
 x_2 \approx 0.577, 
 \] 
 que também está no intervalo. 
 
Como o enunciado pede o ponto crítico, optamos por mencionar o valor \( x_1 \) que, ao 
arredondar na forma do enunciado, pode ser interpretado como \( x = 1 \). 
 
Assim, o ponto crítico da função no intervalo dado é \( x = 1 \), fazendo da alternativa b) a 
correta. 
 
**Questão:** Em um projeto de pesquisa, um grupo de cientistas coletou dados sobre a 
esperançalidade média de vida de diferentes espécies de aves. Os dados foram modelados 
usando a função \( f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 \), onde \( x \) representa a idade em anos da 
ave. Qual é o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) \)? 
 
Alternativas: 
a) \( x = 0 \) 
b) \( x = 1 \) 
c) \( x = 2 \) 
d) \( x = 3 \)