MMMXXXVI linguagem 2

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**Questão:** Em um espaço vetorial \( V \) de dimensão \( n \), considere que \( S = \{ 
\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m \} \) é um conjunto gerador de \( V \), 
onde \( m \geq n \). Se \( S \) contém um subconjunto de \( n \) vetores linearmente 
independentes, qual das alternativas abaixo é verdadeira sobre o conjunto \( S \)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( S \) é uma base de \( V \). 
b) \( S \) contém exatamente \( n \) vetores linearmente independentes. 
c) \( S \) pode ser reduzido a uma base de \( V \) removendo vetores lineares dependentes. 
d) \( S \) não pode gerar o espaço \( V \) se contém vetores dependentes. 
 
**Resposta:** c) \( S \) pode ser reduzido a uma base de \( V \) removendo vetores lineares 
dependentes. 
 
**Explicação:** Um conjunto gerador \( S \) de um espaço vetorial \( V \) é qualquer 
conjunto de vetores cujos combinações lineares podem gerar qualquer vetor no espaço \( V 
\). Como \( S \) possui \( m \) vetores e \( m \geq n \), sabemos que há pelo menos \( n \) 
vetores linearmente independentes dentro de \( S \). 
 
Se \( S \) contém um subconjunto de \( n \) vetores linearmente independentes, isso indica 
que nós podemos encontrar uma base de \( V \) a partir de \( S \) ao remover os vetores 
que são linearmente dependentes. Uma base é um conjunto de vetores linearmente 
independentes que geram o espaço, e como \( S \) já possui vetores que geram \( V \) e que 
são linearmente independentes, podemos confirmar que é possível reduzir \( S \) a uma 
base removendo vetores desnecessários. 
 
As outras alternativas são falsas: 
- a) é falsa porque \( S \) pode conter mais vetores do que o necessário para formar uma 
base. 
- b) é falsa pois \( S \) pode conter mais de \( n \) vetores independentes. 
- d) é falsa porque \( S \) ainda pode gerar \( V \) mesmo que contenha vetores 
dependentes, desde que existam suficientes vetores independentes para isso. 
 
Portanto, a resposta correta é que \( S \) pode ser reduzido a uma base de \( V \) 
removendo vetores lineares dependentes. 
 
**Questão:** Um cilindro tem um raio de 4 cm e uma altura de 10 cm. Qual é o volume do 
cilindro? 
 
Alternativas: 
a) 160π cm³ 
b) 80π cm³ 
c) 50π cm³ 
d) 40π cm³ 
 
**Resposta:** a) 160π cm³ 
 
**Explicação:** O volume \( V \) de um cilindro pode ser calculado usando a fórmula: 
 
\[ 
V = \pi r^2 h 
\] 
 
onde \( r \) é o raio da base do cilindro e \( h \) é a altura. 
 
Dado que o raio \( r \) é 4 cm e a altura \( h \) é 10 cm, substituímos esses valores na 
fórmula: 
 
\[ 
V = \pi (4)^2 (10) 
\] 
 
Calculamos primeiro o quadrado do raio: 
 
\[ 
(4)^2 = 16 
\] 
 
Agora, substituímos esse valor na fórmula do volume: 
 
\[ 
V = \pi \cdot 16 \cdot 10 
\] 
 
Multiplicamos: 
 
\[ 
16 \cdot 10 = 160 
\] 
 
Portanto, temos: 
 
\[ 
V = 160\pi \text{ cm}^3 
\]