MMMDCXXX a raiz do mundo

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**Explicação:** Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) = 3x^3 - 
6x^2 + 2 \), devemos calcular a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os 
pontos críticos. 
 
1. **Calculando a derivada:** 
 A derivada de \( f(x) \) é dada por: 
 \[ 
 f'(x) = 9x^2 - 12x 
 \] 
 
2. **Igualando a derivada a zero:** 
 Para encontrar os pontos críticos, configuramos a equação: 
 \[ 
 9x^2 - 12x = 0 
 \] 
 Fatorando essa expressão, obtemos: 
 \[ 
 3x(3x - 4) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são: 
 \[ 
 x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{4}{3} 
 \] 
 
3. **Analisando a segunda derivada:** 
 Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, calculamos a segunda 
derivada: 
 \[ 
 f''(x) = 18x - 12 
 \] 
 Avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f''(0) = 18(0) - 12 = -12 \quad \text{(máximo local)} 
 \] 
 
 - Para \( x = \frac{4}{3} \): 
 \[ 
 f''\left(\frac{4}{3}\right) = 18\left(\frac{4}{3}\right) - 12 = 24 - 12 = 12 \quad 
\text{(mínimo local)} 
 \] 
 
4. **Analisando o comportamento da função:** 
 O valor \( x = 1 \) é o ponto onde devemos verificar o valor da função. 
 Avaliamos a função em \( f(1) \): 
 \[ 
 f(1) = 3(1)^3 - 6(1)^2 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 
 \] 
 
 Comparando os valores \( f(0) = 2 \) e \( f\left(\frac{4}{3}\right) \), fazemos uma 
comparação nos pontos críticos: 
 A função não é limitada para todo \( x \) e continua aumentando; assim, o máximo local 
relevante se dá em torno de \( x = 1 \). 
 
Portanto, a resposta correta é que o valor que maximiza a função \( f(x) \) é \( x = 1 \). 
 
**Questão:** 
 
Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Qual é o valor de \( x \) que minimiza a 
função? 
 
**Alternativas:** 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( 2 \) 
d) \( 3 \) 
 
**Resposta:** c) \( 2 \) 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \), 
primeiro precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os 
pontos críticos. 
 
1. **Calcular a derivada:** 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) = 3x^2 - 12x + 9 
\] 
 
2. **Igualar a derivada a zero:** 
\[ 
3x^2 - 12x + 9 = 0 
\]