conjunto da base 62V

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\[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Segunda derivada da função \( f(x) \):** 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 
 \] 
 
3. **Encontrar os pontos onde \( f''(x) = 0 \):** 
 \[ 
 6x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 2 
 \] 
 
4. **Analisar a mudança de sinal da segunda derivada \( f''(x) \):** 
 - Para \( x 2 \) (por exemplo, \( x = 3 \)): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{positivo}) 
 \] 
 
Observamos que a segunda derivada muda de negativa para positiva em \( x = 2 \), 
indicando que esse é um ponto de inflexão. Portanto, a resposta correta é a alternativa c) \( 
x = 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \). Qual é o valor de \( x \) 
para o qual a função \( f(x) \) atinge um máximo local? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = -1 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar os máximos e mínimos locais de uma função, precisamos calcular a primeira 
derivada da função, \( f'(x) \), e igualá-la a zero. 
 
1. **Derivada da função:** 
 \[ 
 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 
 \] 
 A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Igualar a derivada a zero:** 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 
3. **Fatorar a equação:** 
 \[ 
 (x - 3)(x - 1) = 0 
 \] 
 Portanto, as raízes são: 
 \[ 
 x = 3 \quad \text{e} \quad x = 1 
 \] 
 
4. **Determinar se são máximos ou mínimos:** 
 Utilizamos a segunda derivada para verificar a concavidade em cada um desses pontos 
críticos. 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 
 Agora, calculamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad (\text{concavidade para baixo, ponto de máximo}) 
 \] 
 
 - Para \( x = 3 \):