CCXXXI teste de biologia

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x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 2 
 \] 
 
2. **Segunda derivada:** 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 6 
 \] 
 Para determinar a natureza dos pontos críticos, avaliamos a segunda derivada em cada 
ponto crítico: 
 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad (\text{concavidade para baixo, ponto de máximo local}) 
 \] 
 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad (\text{concavidade para cima, ponto de mínimo local}) 
 \] 
 
Portanto, a função \( f(x) \) tem um mínimo local em \( x = 2 \), sendo esta a resposta 
correta. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 2x - 5 \). Qual é o valor de \( x \) 
que minimiza a função \( f(x) \)? 
 
Alternativas: 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( 2 \) 
d) \( 3 \) 
 
**Resposta:** b) \( 1 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) \), 
precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero. 
 
1. **Encontramos a derivada de \( f(x) \)**: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 6x^2 + 2x - 5) = 9x^2 - 12x + 2 
 \] 
 
2. **Igualamos a derivada a zero**: 
 \[ 
 9x^2 - 12x + 2 = 0 
 \] 
 
3. **Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara**: 
 \[ 
 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 
 \] 
 onde \( a = 9 \), \( b = -12 \), e \( c = 2 \). 
 Calculando o discriminante: 
 \[ 
 b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 144 - 72 = 72 
 \] 
 Agora, substituímos na fórmula: 
 \[ 
 x = \frac{12 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 9} = \frac{12 \pm 6\sqrt{2}}{18} = \frac{2 \pm 
\sqrt{2}}{3} 
 \] 
 Portanto, as raízes da derivada são: 
 \[ 
 x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{3} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{3} 
 \] 
 
4. **Analisamos qual das raízes é um mínimo**: 
 Para determinar se essas raízes correspondem a um mínimo, calculamos a segunda 
derivada: 
 \[ 
 f''(x) = 18x - 12 
 \] 
 Avaliamos a segunda derivada nas raízes encontradas. 
 
 Para \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{3} \): 
 \[ 
 f''(x_1) = 18\left(\frac{2 + \sqrt{2}}{3}\right) - 12 = 6(2 + \sqrt{2}) - 12 = 12 + 6\sqrt{2} - 
12 = 6\sqrt{2} > 0 
 \] 
 
 Para \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{3} \): 
 \[ 
 f''(x_2) = 18\left(\frac{2 - \sqrt{2}}{3}\right) - 12 = 6(2 - \sqrt{2}) - 12 = 12 - 6\sqrt{2}