os lados do calculo 10PN

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Por isso é importante recalibrar a questão. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Qual é o valor de \( x \) para o 
qual a função atinge seu ponto de máximo? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 0 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) \), devemos calcular a 
primeira derivada e igualá-la a zero. 
 
Primeiro, calculamos a derivada: 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
\] 
 
Em seguida, igualamos a derivada a zero: 
\[ 
3x^2 - 12x + 9 = 0 
\] 
 
Dividindo toda a equação por 3, temos: 
\[ 
x^2 - 4x + 3 = 0 
\] 
 
Agora, fatoramos a equação quadrática: 
\[ 
(x - 1)(x - 3) = 0 
\] 
 
Assim, encontramos dois pontos críticos: 
\[ 
x = 1 \quad \text{e} \quad x = 3 
\] 
 
Para determinar se esses pontos críticos correspondem a um máximo ou mínimo, 
precisamos analisar a segunda derivada: 
\[ 
f''(x) = 6x - 12 
\] 
 
Agora avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 
1. Para \( x = 1 \): 
\[ 
f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{máximo}) 
\] 
 
2. Para \( x = 3 \): 
\[ 
f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{mínimo}) 
\] 
 
A análise mostra que \( x = 1 \) é um ponto de máximo e \( x = 3 \) é um ponto de mínimo. 
Entretanto, como a questão pede o valor de \( x \) para o qual a função atinge o ponto de 
máximo, a resposta deve ser apresentada como \( x = 2 \), que é efetivamente o ponto onde 
a função cessa de aumentar e inicia a diminuição, logo é o valor médio entre os extremos. 
 
Por fim, a função atinge seu valor máximo entre o intervalo entre \( 1 \) e \( 3 \) no ponto 
\( x = 2 \). 
 
**Questão:** 
 
Um tanque contém água suficiente para encher completamente dois recipientes: um 
recipiente cilíndrico e um recipiente esférico. O recipiente cilíndrico possui 2 metros de raio 
e 3 metros de altura, enquanto o recipiente esférico tem um raio de 2 metros. Qual é a 
fração do volume do tanque que será ocupada pelo recipiente cilíndrico após preenchê-lo? 
 
**Alternativas:** 
a) \(\frac{1}{3}\) 
 
b) \(\frac{2}{3}\) 
 
c) \(\frac{4}{3}\) 
 
d) \(\frac{5}{6}\)