Lista 1 - Espaços Vetoriais - subespaço, combinação linear, LD e LI, Base e Dimensão, vetor coordenada

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FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO:ENG. CIVIL DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR:GREGORIO TOMAS Turma: DATA:01/09/2015 
 
LISTA 1 ÁLGEBRA LINEAR – ESPAÇOS VETORIAIS 
 
1) Mostre que os conjuntos destacados abaixo não são Espaços Vetoriais. 
 
a) 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2} e 𝛼 ∈ ℝ, Adição: (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎, 𝑑), Multiplicação: 𝛼(𝑎, 𝑏) =
(𝛼𝑎, 𝛼𝑏). 
b) 𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/𝑥 = 0 e 𝑧 = 𝑦2}, soma e produto usuais. 
 
2) Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em relação às operações de adição e 
multiplicação por escalar usuais. 
 
a) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/ 𝑦 = 2𝑥 − 1} 
b) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/ 𝑦 = 2𝑥, 𝑧 = 𝑥} 
c) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/ 𝑥𝑦 = 0} 
 
3) Sejam os vetores �⃗� = (2,−3,2) e 𝑣 = (−1,2,4) em ℝ3. 
 
a) Mostre que o vetor �⃗⃗� = (10,−16,0) é combinação linear de �⃗� e 𝑣 . 
b) Determine o valor de 𝑘 para que o vetor (−7,13,3𝑘) seja cominação linear de �⃗� e 𝑣 . 
 
4) Seja o espaço vetorial das matrizes M(2, 2) e os vetores 𝑣1 = [
1 0
1 1
], 𝑣2 = [
−1 2
0 1
], 𝑣3 =
[
0 −1
2 1
]. 
 
a) Escreva o vetor 𝑣 = [
1 8
0 5
] como combinação linear de 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3. 
b) Determine o subespaço de M(2, 2) gerado por 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3. 
 
5) Determinar o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑢 = (2,−1,1,4), 𝑣 = (3,3, −3,6) e 𝑤 =
(0,4,−4,0). 
 
 
 
6) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD justificando sua resposta. 
 
a) 𝐴 = {(1,2)} ∈ ℝ2; 
b) 𝐵 = {(1,3), (5, −1)} ∈ ℝ2 
c) 𝐶 = {(6,2, −3), (−3,−1,
3
2
) } ∈ ℝ3 
d) 𝐷 = {(1,0, −3), (0,2,3), (1,1, −2)} ∈ ℝ3 
e) 𝐸 = {(1,0,0), (0,2,3), (1,1,0), (1,0, −1)} ∈ ℝ3 
f) 𝐹 = {(1,0,0, −5), (1,0,2,3), (1, −1,10,3), (0,0,0,0), (5,1,0,−1)} ∈ ℝ4 
 
7) Verifique se o conjunto {(1, −1,2), (2,0, −4), (5, −3,2)} gera ℝ3. Caso contrário, identifique 
uma base retirada desse conjunto e determine o subespaço gerado por ela. 
 
8) Determine o subespaço de 𝑃2 (espaço dos polinômios de grau ≤ 2) gerado pelos vetores 𝑝1 =
−2𝑡2 − 𝑡 + 1 e 𝑝2 = 𝑡
2 − 3. 
9) Seja o conjunto 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4/ 𝑦 = 2𝑥 − 𝑡}. 
 
a) Determine a dimensão 𝑑𝑖𝑚(𝑆) do subespaço 𝑆. 
b) Determine uma base 𝐵 do subespaço 𝑆. 
 
10) Seja 𝐵 = {(1,0, −2), (1,2,1), (0, −1,0)} uma base de ℝ3. 
 
a) Determine o vetor coordenada de 𝑣 = (1,4, −2) ∈ ℝ3 em relação à base 𝐵. 
b) Sabendo que o vetor coordenada de 𝑤 na base B é 𝑤𝐵 = (4,5, −3), determine suas 
coordenadas na base canônica. 
 
 
Referência: 
 
 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear e Geometria Analítica. 1ª ed. São Paulo: Pearson, 2009. 
 ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Bookman,2001. 
 CALLIOLI, Carlos A. Et al. Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo: Atual, 1990.