PROVA1_exemplo_MTM5184

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Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM 5184 - Ca´lculo II
Prof. Dr. Ja´uber C. de Oliveira
Nome: Data:xx/xx/xxxxx
*** Primeira Avaliac¸a˜o ***
Q1- Calcule as seguintes integrais indefinidas, explicitando os intervalos de
validade do resultado.
(a) (10) ∫
tg4(x) dx
(b) (10) ∫
x + 2
x3 + 2x2 + 5x
dx
(c) (10) ∫ √
9− x2
x2
.
(d) (10) ∫
1
3− 5 sen (x) dx
Q2- Determine se as integrais impro´prias a seguir sa˜o convergentes ou na˜o.
Nos casos de convergeˆncia, calcule o valor da integral.
(a) (10) ∫ +∞
1
1√
x (1 + x)
dx.
(b) (10) ∫ 2
0
ln
(
1
x
)
dx.
Q3- Justifique com detalhes a convergeˆncia ou divergeˆncia das seguintes
integrais. Na˜o e´ necessa´rio calcular o valor destas integrais.
(a) (10) ∫ +∞
pi/2
cos(2x)
x
dx
(b) (10) ∫ 1
0
sen(1/x)√
x
dx.
Observac¸a˜o 1. Apresente soluc¸o˜es detalhadas para todas as questo˜es.
2
Resultados que podem ser usados na prova:
1) sen2(x) + cos2(x) = 1
2) sen2(x) =
1
2
(1− cos(2x))
3) sen (2 x) = 2 sen (x) cos(x)
4) cos(2 x) = cos2(x)− sen2(x)
5) 1 + tg2(x) = sec2(x)
6) D(tg x) = sec2(x)
7) D(sec(x)) = sec(x) tg(x)
8) D(arcsen(x)) =
1√
1− x2 , −1 < x < 1
9) D(arccos(x)) = − 1√
1− x2 , −1 < x < 1
10) D(arctg(x)) =
1
1 + x2
, x ∈ R
11) D(arcsec(x)) =
1
|x| √x2 − 1 , |x| > 1
12) D(ln |x|) = 1
x
, x ∈ R− {0}
13) D(ax) = ax ln(a), a > 0, a 6= 1
14) t = tg
(x
2
)
, dx =
2 dt
1 + t2
, sen(x) =
2t
1 + t2
, cos(x) =
1− t2
1 + t2
.
15) convergeˆncia/divergeˆncia de x−p em integrais impro´prias (0 < p <∞).
Boa Prova!