Lista 4 - Integral de superfície

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Pato Branco
Cálculo Vetorial e Séries
Professora Jessica Bóschi
LISTA 4 - INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO VETORIAL
1. Calcular
∫∫
S
F · n⃗ dS, sendo F = y⃗i + x⃗j e S a parte da esfera x2 + y2 + z2 = a2 no 1º
octante com a normal apontando para fora.
2. Calcular
∫∫
S
F · n⃗ dS, sendo F = x⃗i + yj⃗ + zk⃗ e S a parte do plano 2x + 3y + 4z = 12
cortada pelos planos x = 0, y = 0, x = 1 e y = 2 e n⃗ a normal com componente z não
negativa.
3. Calcular
∫∫
S
F · n⃗ dS, sendo F = x2⃗i+ y2j⃗ + z2k⃗ e S a superf́ıcie exterior da semi-esfera
x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0.
4. Calcular
∫∫
S
F · n⃗ dS, sendo F = x⃗i + yj⃗ + zk⃗ e S a superf́ıcie exterior do cilindro
x2 + z2 = a2 limitada pelos planos y = −4 e y = 4.
5. Calcule a integral de superf́ıcie dada:
(a)
∫∫
S
xdydz+2ydzdx+3zdxdy, onde S é a superf́ıcie plana delimitada pelo triângulo
de vértices (3, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3) e a normal afasta-se da origem.
(b)
∫∫
S
dydz + dzdx + dxdy, onde S é a superf́ıcie exterior do cone z =
√
x2 + y2
delimitado pelos planos z = 1 e z = 4.
(c)
∫∫
S
x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, onde S é a superf́ıcie plana x + y = 2, delimitada
pelos planos coordenados e pelo plano z = 4 e a normal se afasta da origem.
(d)
∫∫
S
xdydz+ydzdx+zdxdy, onde S é a superf́ıcie plana x = u+v, y = u−v, z = 1−2u,
tomada no 1º octante, e a normal afasta-se da origem.
6. Calcular I =
∫∫
S
F · n⃗ dS, sendo F = x⃗i + 2⃗j + 3k⃗ e S a superf́ıcie exterior da esfera
r(u, v) = 2 cosu cos v, 2 sinu cos v, 2 sin v), 0 ≤ u ≤ 2π e −π
2
≤ v ≤ π
2
.
7. Sejam S a superf́ıcie plana limitada pelo triângulo de vértices (2, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2)
e n⃗ um vetor unitário normal a S, com componente z não negativa. Determinar o fluxo
do campo vetorial F = y⃗i+ x⃗j + 2k⃗, através da superf́ıcie S, na direção de n⃗.
8. Calcular I =
∫∫
S
F · n⃗ dS, sendo F = (x + 1)⃗i + yj⃗ + 2k⃗ e S a superf́ıcie exterior de
z = y2 + 1 delimitada por x = 0, x = 1 e z = 17.
9. Determinar o fluxo do campo vetorial F = (2x, 2y, 2z), através da superf́ıcie esférica
x2 + y2 + z2 = a2 interior ao cone z =
√
x2 + y2 com normal exterior.
10. Seja T a região limitada pelos gráficos de x2 + y2 = 4, z = 0 e z = 3. Seja S a superf́ıcie
de T, com a normal exterior. Calcular
∫∫
S
F · n⃗ dS, sendo F = (x3, y3, z3).
GABARITO
1. 0
2. 6
3. πa4
2
4. 16πa2
5. (a) 18
(b) −15π
(c) 64
3
(d) 1
2
6. 32
3
π
7. 20
3
8. 208
3
9. 2πa3(2−
√
2)
10. 180π