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Questão 1
Se os números , e são, nesta ordem, os três primeiros termos de uma progressão
geométrica, então o termo seguinte desta progressão é
A) 1.
B) .
C) 7.
D) .
Gabarito:
A
Resolução:
A razão da P.G. pode ser determinada comparando-se os dois primeiros elementos da série:
 A partir do terceiro termo da série e da razão é possível deduzir o quarto termo:
Questão 2
Se o conjugado do número complexo z = , em que x e y são números reais não nulos e i2 = –1, é
igual a seu inverso multiplicativo z-1, então devemos ter
A) y = x – 1.
B) x2 + y2 = 1.
C) x · y = 0, com x y.
D) |x| = |y|.
Gabarito:
D
Resolução:
O conjugado do número complexo z é igual a:
zconjugado = .
E o inverso multiplicativo é igual a:
z–1 = .
Uma vez que o conjugado de z e seu inverso multiplicativo são iguais, temos:
x2 + xi – xi – i2 = y2 + yi – yi – i2
x2 = y2
|x| = |y|.
Questão 3
Se na divisão do polinômio P(x) por x2 – 4 o resto é x + 22 e o quociente é x2 + 25 e se p é o produto
e q a soma das raízes da equação P(x) = 0, então a potência pq é igual a
A) 1.
B) 2.
C) 4.
D) 8.
Gabarito:
A
Resolução:
De acordo com o enunciado, temos que P(x) dividido por (x2 – 4) é igual ao quociente (x2 + 25) + o
resto 22. Isso pode escrito da seguinte forma:
P(x) = [(x2 – 4) · (x2 + 25)] + 22
P(x) = x4 + 25x2 – 4x2 – 100 + 22
P(x) = x4 + 21x2 – 78.
Por meio das relações de Girard, podemos obter a soma q e o produto p das raízes dessa equação:
q = 
q = = 0
p = 
p = = –78.
E a potência pq é igual a: pq = –780 = 1.
Questão 4
Seja x0 R e considere a sequência definida indutivamente por xn = onde f(x) = 2x.
Para que x1+ x2 + x3 + … + xn = 254x0, o valor de n deve ser:
a) 7
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Gabarito:
A
Resolução:
Pela lei de formação dada, temos:
x1 = f(x0) = 2 · x0
x2 = f(x1) = 2 · x1 = 2 · 2 · x0 = 22 · x0
x3 = f(x2) = 2 · x2 = 2 · 22x0 = 23 · x0
Então, xn = 2n · x0
Trata-se de uma Progressão Geométrica de primeiro termo a1 = x1 = 2 · x0 e razão q = 2. Para que a
soma dos n termos seja igual a 254 · x0, temos: 
Questão 5
Se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + y é igual a
(A) 1,01.
(B) 1,11.
(C) 
(D) 
(E) 
Gabarito:
D
Resolução:
(Resolução oficial)
 
Escrevendo x em forma de soma de uma progressão geométrica infinita, temos 
Analogamente, obtemos 
Portanto, 
Questão 6
Se cos x – sen x = 1/2 então sen (2x) é igual a:
(A) 0,125.
(B) 0,25.
(C) 0,5.
(D) 0,75.
(E) 1.
Gabarito:
D
Resolução:
(Resolução oficial)
 
Elevando ao quadrado os dois membros da equação , temos que 
 , ou seja, . Então, .
Logo, 
Questão 7
Se , então o valor de é:
a) 
b) 
c) 1
d) 
e) 
Gabarito:
E
Resolução:
 .
Somando as duas equações acima, temos:
Assim,
Questão 8
Seja um polinômio de grau n tal que para
qualquer j entre 0 e n. Seja o polinômio de
grau n – 1 em que os coeficientes , são os mesmos empregados na definição de f(x).
a) Supondo que n = 2, mostre que , para todo 
b) Supondo que n = 3 e que a3 = 1, determine a expressão do polinômio f(x), sabendo que f(1) =
g(1) = f(–1) = 0.
Gabarito:
a) Se n = 2, então e . Assim, 
Logo, . Por outro lado, e 
 
b) Se n = 3 e a3 = 1, então e . Como f(1) =
g(1) = f(–1) = 0, temos o sistema linear
 ou 
Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos 2a1 = –2, de modo que a1 = –1. Em seguida, da
terceira equação, deduzimos que –1 +2a 2 = –3, ou a2 = –1. 
Finalmente, da primeira equação, obtemos a0 – 1 – 1 = –1, de modo que a0 = 1.
Resposta: O polinômio é f(x) = x3 – x 2– x + 1.
Questão 9
Seja x no intervalo satisfazendo a equação .
Assim, calcule o valor de
a) sec x .
b) 
Gabarito:
a) Como x está no intervalo , concluímos que sec x > 0.
 .
Substituindo esse resultado em sec2 x = 1 + tg2 x, temos:
 .
 
b) Se sec x = concluímos que cos x = e, consequentemente, sen x = .
Dessa forma:
 
Questão 10
Se o polinômio p(x) = x4 + 2x3 + x2 + 8x −12 apresenta o número complexo z = 2i como um dos seus
zeros, então é correto afirmar que
 
01) a equação p(x) = 0 apresenta 3 raízes reais.
02) a soma das raízes de p(x) = 0 é −2 e o produto é −12.
04) dois dos zeros de p(x) são soluções da equação x2 + 2x − 3 = 0.
08) p(x) é divisível por x2 − 4.
16) os gráficos dos polinômios −p(x) e p(x) apresentam as mesmas interseções com os eixos
coordenados.
Gabarito:
06
Resolução:
02 + 04 = 06
01) Falsa. Se 2i é raiz do polinômio p, sabemos que, pelo teorema das raízes complexas, seu
conjugado também será raiz, portanto nos restam duas raízes que podem ser reais ou complexas.
 
02) Verdadeira. Das relações de Girard, temos que:
A soma das raízes de p(x) é: ●
O produto das raízes de p(x) é: ●
04) Verdadeira.
x2 + 2x − 3 = 0 ⇒ x = –3 e x = 1
p(–3) = (–3)4 + 2 × (–3)3 + (–3)2 + 8 × (–3) − 12 = 81 – 54 + 9 – 24 – 12 = 0
p(1) = 14 + 2 × 13 + 12 + 8 × 1 − 12 = 1 + 2 + 1 + 8 – 12 = 0
Portanto, as raízes de x2 + 2x − 3 = 0 são raízes de p(x).
 
08) Falsa. p(x) não é divisível por x2 − 4, pois suas raízes não são raízes de p(x).
 
16) Falsa. p(x) intercepta o eixo y em (0, –12) e –p(x) intercepta o eixo y em (0, 12), portanto não
apresentam as mesmas intersecções com os eixos coordenados.
Questão 11
Seja C o conjunto dos números (no sistema decimal) formados usando-se apenas o algarismo 1, ou
seja, C = { 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... }.
a) Verifique se o conjunto C contém números que são divisíveis por 9 e se contém números divisíveis
por 6. Exiba o menor número divisível por 9, se houver. Repita o procedimento em relação ao 6.
b) Escolhendo ao acaso um número m de C, e sabendo que esse número tem, no máximo, 1000
algarismos, qual a probabilidade de m ser divisível por 9?
Gabarito:
a) Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for divisível por 9. Logo, o menor
número de C que é divisível por 9 é 111.111.111.
Para que um número seja divisível por 6 é preciso que ele seja par e que seja divisível por 3. Como
nenhum número de C é par, esse conjunto não possui números divisíveis por 6.
 
b) Os números de C que são divisíveis por 9 são aqueles cujo número de algarismos é divisível por 9,
ou seja, aqueles que têm 9, 18, 27, 36, ... algarismos. Esses números formam uma progressão
aritmética que tem termos inicial e final iguais a 9 e 999, respectivamente. Como o termo final da
progressão pode ser escrito na forma an = a1 + (n – 1)r, chegamos a 999 = 9 + (n – 1) . 9. Logo, n =
111.
Naturalmente, C possui exatamente 1000 números com, no máximo, 1000 algarismos. Assim, a
probabilidade de que o número m seja divisível por 9 é de 111/1000, ou 11,1%.
 
Se os números de C forem ordenados da forma habitual, aqueles que são divisíveis por 9 serão o 9º, o
18º, o 27º, e assim por diante. Observamos, portanto, que esses números ocupam posições
correspondentes aos múltiplos de 9. Logo, dos 1000 números com, no máximo, 1000 algarismos,
temos 1000/9 111 que são divisíveis por 9.
A probabilidade de que o número m seja divisível por 9 é de 111/1000, ou 11,1%.
Questão 12
Se x e y são números reais positivos, qual dos números, nas alternativas a seguir, é o maior?
A) 2xy
B) x2 + y2
C) (x + y)2
D) x2 + y(x + y)
E) y2 + x(x + y)
Gabarito:
C
Resolução:
Temos que (x + y)2 = x2 + 2xy + y2, portanto, (x + y)2 é maior que 2xy, x2 + y2, x2 + xy + y2 e y2 + x2
+ xy.
Questão 13
Seja a um número real satisfazendo 0se cos (x + a) = 0,
x + a = π/2
x = π/2 – a ou
x + a = 3/2
x = 3π/2 – a 
Assim, a soma S de todos os valores de x Î [0; 2π] que satisfazem a equação cos x . sen (a + x) = sen
a é igual a
S = 0 + π + 2π + π/2 – a + 3π/2 – a
S = 5π – 2a
 
Questão 14
Seja p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que:
I. p(x) é divisível por x2 – 4;
II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1;
III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3;
IV. p(–1) = ;
então, p(1) é igual a
A ( ) 
B ( ) 
C ( ) 
D ( ) 
E ( ) 
Gabarito:
D
Resolução:
De acordo com o enunciado, p(x) é divisível por x2 – 4, de forma que duas das raízes desse polinômio
são +2 e –2.
Aplicando-se duas das relações de Girard para polinômios de quarto grau, obtemos
x1 + x2 + x3 + x4 = –b/a
x1 + x2 + 2 – 2 = 1
x1 + x2 = 1 (I)
x1 . x2 . x3 . x4 = e/a
x1 . x2 . 2 . (–2) = 3
x1 . x2 = –3/4 (II)
Sabendo-se que o polinômio p(x) é divisível por x2 – 4
(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e) / (x2 – 4) = (ax2 +bx + 4a)
Reescrevendo o polinômio p(x):
p(x) = (x2 – 4).(ax2 + bx + 4a)
Considerando-se como x1 e x2 as raízes de ax2 + bx + 4a, temos, de acordo com (I) e (II):
x1 + x2 = –b/a 
x1 + x2 = 1 
x1 . x2 = c/a
x1 . x2 = –3/4
e, portanto
p(x) = a.(x2 – 4).(x2 – x – 3/4)
Dado que p(–1) = –15/4
p(–1) = a.(x2 – 4).(x2 – x – 3/4) = –15/4
a.[(–1)2 – 4)].[( –1)2 – (–1) – 3/4)] = –15/4
a = 1
O polinômio passa a
p(x) = (x2 – 4).(x2 – x – 3/4)
Então, p(1) é igual a
p(x) = (x2 – 4).(x2 – x – 3/4)
p(1) = (12 – 4).(12 – 1 – 3/4)
p(1) = 9/4
 
Questão 15
Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio . Determine
z ∈ sabendo que o conjunto M = {zx ∈ : x ∈ H} é o hexágono que possui , e como três
vértices consecutivos.
 
Gabarito:
As seis raízes do polinômio dado são:
p(x) = (x ? ?3)6 + 64
(x ? ?3)6 + 64 = 0
x1 = i, x2 = ? i, x3 = ?3 ? 2i, x4 = ?3 + 2i, x5 = 2?3 ? i, x6 = 2?3 + i, que correspondem aos 6 vértices
do hexágono.
A única possibilidade é z = ?3 + i.
 
Resolução:
 
Questão 16
Seja a função , definida para todo número real ?.
a) Mostre que ?(?⁄2) = ?(-?⁄2) = ?(?) ?(?⁄4).
b) Seja ? um número real tal que ?(?) = 2. Determine os possíveis valores para sen ?.
Gabarito:
(Resolução oficial.)
a)
Temos que , , e . Logo, , e, portanto, a igualdade é válida.
b)
Da igualdade ,obtemos , ou seja, . Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado,
temos . Lembrando que , concluímos que , ou seja, , ou ainda . Portanto, ou .
Substituindo esses valores na equação original, verificamos que ambos são soluções possíveis: para 
, temos , e para , temos .
 
Resolução:
Questão 17
Seja x ∈ . Considere um retângulo R de lados medindo a = 9x2 – 5x4 e b = 8x – 8x3. Sabendo que o
perímetro de R é 8 determine a e b.
Gabarito:
O perímetro P do retângulo R é dado por:
P = 2a + 2b
8 = 2a + 2b
a + b = 4 (I)
Substituindo os valores dados para a e b em (I):
(9x2 ? 5x4) + (8x ? 8x3)= 4 
? 5x4 ? 8x3 + 9x2 + 8x ? 4 = 0 (II)
Multiplicando (II) por ?1: 
5x4 + 8x3 ? 9x2 ? 8x + 4 = 0 (III)
Fazendo pesquisa de raízes, temos que x1 = ?1 e x2 =1 são raízes da equação (III).
Para x1 = ?1, a = 4 e b = 0 e, para x2 = 1, a = 4 e b = 0. Nestes dois casos, o valor de b não convém,
uma vez que b deve ser maior que zero.
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini à equação (III), obtemos:
5x2 + 8x ? 4= 0 (IV)
Resolvendo a equação (IV), obtemos as raízes x3 = ?2 e x4 = 2/5. Para x3 = ?2, a = ?44 e b = 48.
Neste caso, o valor de a não convém, uma vez que a deve ser maior que zero. Para x4 = 2/5, a =
164/125 e b = 336/125.
Assim, a e b são, respectivamente, 164/125 e 336/125.
Resolução:
 
Questão 18
Seja z ∈ e denote por (z) a parte imaginária de z. Determine todos os possíveis z ∈ com (z)
≠ 0 tais que temos simultaneamente (z3) = 0 e ((1 + z)3) = 0.
Gabarito:
Considerando-se x como sendo a diferença entre 1 + z3 e z3, temos:
x = (1 + z)3 ? z3
x = (1 + z ? z) (1 + 2z + z2 +z2 + z + z2
x = 3z2 + 3z + 1
x = 3(a + bi)2 + 3(a + bi) + 1
x = 3(a + bi)2 + 3(a + bi) + 1
x = 3(a2 + 2abi + b2i2) + 3a + 3bi + 1
x = 3(a2 + 2abi ? b2) + 3a + 3bi + 1
x = 3a2 + 6abi ? 3b2 + 3a + 3bi + 1
Se Im(z3) = 0 e Im((1 + z)3) = 0, é necessário que Im(x) = 0, de forma que:
Im (x) = 0
6ab + 3b = 0
3b (2a + 1) = 0 
Esta equação tem raízes b = 0 ou a = ?1/2. Uma vez que b ? 0, a = ?1/2.
Admitindo z = a + bi:
z3 = (a + bi)
z3 = a3 + 3a2bi ? 3ab2 ? b3i 
Uma vez que Im(z3) = 0: 
3a2b ? b3 = 0
3a2b = b3
3a2 = b2 
3(?1/2)2 = b2 
b2 = 3/4
b = ±Ö3/2
A partir destes valores, obtemos z1 = ?1/2 ? Ö3i/2 e z2 = ?1/2 + Ö3i/2.
Resolução:
 
Questão 19
Se é o número complexo cujo quadrado é igual a –1, é o número irracional que é a base
do logaritmo natural, e é um número real, podemos definir como sendo igual a cos + ? sen .
Em particular, se = π, segue que ??? + 1 = 0. Apresentada por Leonardo Euler, esta é uma das mais
belas expressões matemáticas envolvendo os números e, 1, π e 0 (zero). Se ? é um número complexo
não nulo, ? é o módulo de ? e ? é o argumento principal de ?, então, podemos facilmente verificar que
? = ???α. Ao apresentarmos o número complexo , nesta forma, teremos
Gabarito:
A
Resolução:
Considerando o complexo z = a + bi, a = –1 e b = –√3. Assim, ao apresentarmos o número complexo
z = –1 – √3i, nesta forma, teremos
r = |z| = Ö(a2 + b2)
r = |z| = Ö[(–1)2 + (–√3)2]
r = 2
z = 2e4πi/3
Questão 20
Seja ? um número real e considere o polinômio , que tem ? = –1 como uma de suas raízes.
 
a) Determine todos os valores de ? tais que ? = –1 é a única raiz real.
b) Determine todos os valores de ? tais que as soluções de ?(x) = 0 sejam números inteiros.
Gabarito:
(Resolução oficial.)
a) O enunciado nos diz que x = ?1 é uma raiz. Isso significa que o polinômio é divisível por x ? 1.
Efetuando essa divisão, obtemos 
 
Seja q(x) = x2 + ax + 2. Caso q(x) não tenha raízes reais, então x = ?1 se á a única raiz real de f(x). A
condição para que x = ?1 seja a única raiz real de q(x) é que o discriminante ? de q(x) sej menor ou
igual a zero.
Como ? = a2 ? 8, segue que ?