Exercicios (1001)-mesclado-47

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Conjunto universo de um estudo, representado por U, é aquele ao qual 
pertencem todos os elementos relacionados a esse estudo.
Dizer que um conjunto B é subconjunto de um conjunto A equivale a dizer 
que, se x é elemento de B, então x é elemento de A.
Exemplos
a) {2, 5, 3} - {2, 5, 3, 8, 9}
b) {2, 5, 3} - {2, 5, 3}
c) {2, 5, 3} _ {2, 5, 7, 9}
d) O conjunto de letras {k, w, y} está contido no 
conjunto das letras do alfabeto da língua por-
tuguesa.
e) {golfinho, baleia} - {xox é animal marinho}
Observe que a definição de subconjunto (B - A) 
não estabelece que B possui algum elemento, 
mas que, se possuir, todo elemento de B deve 
pertencer a A.
A sentença B - A equivale à sentença A = B 
(lemos: “A contém B”).
 Conjunto universo
Na linguagem cotidiana, usamos a palavra “universo” com vários significados. Um deles é o de 
conjunto de seres ou ideias que, em determinada circunstância, é tomado como referência. Por 
exemplo, o universo da Biologia é o conjunto dos seres vivos; o universo do Direito é o conjunto de 
regras e leis que disciplinam as relações em sociedade; o universo da História da humanidade é 
o conjunto dos fatos passados relacionados ao ser humano. Na Matemática, a palavra “universo” 
assume significado semelhante:
 Subconjunto
Considere o conjunto B formado pela população brasileira. Com os elementos de B podemos 
formar o conjunto H, de todos os homens brasileiros, e o conjunto M, de todas as mulheres bra-
sileiras. Os conjuntos formados, H e M, são subconjuntos de B. Se um conjunto T de pessoas 
possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja brasileira, dizemos que T não é 
subconjunto de B. Indicamos esses fatos por:
Exemplos
a) Quando estudamos métodos de contagem, o conjunto universo é U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
10, 11, ...}
b) No estudo das figuras geométricas planas, como conjuntos de pontos, o conjunto universo é 
o plano.
c) No estudo das figuras geométricas espaciais, como conjuntos de pontos, o conjunto universo 
é o espaço tridimensional.
H - B (lemos: “H está contido em B”)
M - B (lemos: “M está contido em B”)
T _ B (lemos: “T não está contido em B”)
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CAP 1.indb 19 03.08.10 10:47:35
P1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
 ~ - A (para qualquer conjunto A)
P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
 A - A (para qualquer conjunto A)
Propriedades
Notas:
1. Outra forma de representar B _ A é A + B (lemos: “A não contém B”).
 Assim, no exemplo c, anterior, poderíamos ter escrito {2, 5, 7, 9} + {2, 5, 3}.
2. A relação de inclusão, -, é usada apenas para relacionar um conjunto B com um conjunto A 
que contém B: B - A. 
 Por exemplo:
 {3} - {1, 2, 3} e seria incorreto: {3}  {1, 2, 3}
3. A relação de pertinência, 9, é usada apenas para relacionar um elemento x com um conjunto 
A que possui x como elemento: x 9 A. 
 Por exemplo:
 3 9 {1, 2, 3} e seria incorreto 3 - {1, 2, 3}
EXERCÍCIOS pROpOStOS
A
B
C
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8
2 5
3
7
1
0
12
9
B
A
C
D
E
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1 Represente na forma tabular cada um dos conjuntos 
A, B e C do diagrama abaixo.
2 Represente cada conjunto na forma tabular.
a) A 5 {x 9 box2 5 9} f ) F 5  x 9 bo 
1 __ 
x
 5 0  
b) B 5 {x 9 box2 > 0} g) G 5 {x 9 vo56 , x 70}
e) E 5 {x 9 box2 , 0}
3 Classifique como finito ou infinito cada um dos 
conjuntos a seguir.
a) A 5 {x 9 vox , 5}
b) B 5 {x 9 box , 5}
c) C 5 {x 9 box2 5 9}
d) D 5 {x 9 box 3 0 5 0}
e) E 5 {x 9 vox ? 0 5 x}
4 Represente por meio de uma propriedade o conjunto 
A 5 {3, 5, 7, 9, ...}.
5 Faça uma lista com todos os subconjuntos de
 A 5 {1, 2, 3}.
6 A linguagem dos conjuntos é utilizada em todos os 
ramos da Matemática. Neste exercício, aplicaremos 
essa linguagem à Geometria. Para isso, vamos re-
cordar que:
•	 Pontos	são	nomeados	por	letras	maiúsculas:	A, B, 
C, D etc.
•	 Retas	são	nomeadas	por	letras	minúsculas:	a, b, c, 
r, s, t etc. Uma reta é um conjunto de pontos; logo, 
cada um de seus pontos é elemento da reta.
•	 Um	segmento	de	reta	de	extremos	A e B é repre-
sentado por AB ou BA. Um segmento de reta é um 
conjunto de pontos; logo, cada um de seus pontos 
é elemento do segmento de reta.
•	 Uma	semirreta	de	origem	A que passa por B é 
representada por AB. Uma semirreta é um con-
junto de pontos; logo, cada um de seus pontos é 
elemento da semirreta. 
 De acordo com a figura, classifique como verdadeira 
(V)	ou	falsa	(F)	cada	afirmação	a	seguir:
a) A 9 r d) AB 9 r g) A 9 AC
b) A - r e) AB - r h) A - AC
c) {A} - r f ) DE - AE
Resolva os exercícios complementares 1 a 3.
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CAP 1.indb 20 03.08.10 10:47:36
 Conjunto cujos elementos também são conjuntos
Na figura 1, abaixo, vemos um cacho de banana, que pode ser considerado um conjunto A de 
bananas. Na fi gura 2, vemos um estoque de cachos de banana, que pode ser considerado um 
conjunto B de cachos.
Assim, cada banana é um elemento do conjunto A, e cada cacho de banana é um elemento 
do conjunto B.
Esse exemplo mostra a necessidade de considerarmos conjuntos cujos elementos são con-
juntos, pois os elementos de B são conjuntos de bananas. Em Matemática, também ocorre esse 
tipo de situação, conforme definimos a seguir.
Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, que se indica por 
(A), o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Conjunto das partes de um conjunto
Se A é um conjunto finito, podemos calcular o número de elementos de (A) em função do 
número de elementos de A. Para entender esse cálculo, observe, por exemplo, como são obtidos 
os subconjuntos do conjunto A 5 {x, y, z}.
Na formação de um subconjunto de A, para cada um dos elementos de A há duas possibilida-
des: o elemento pertencerá ao subconjunto a ser formado ou não.
Assim, um subconjunto de A estará determinado quando escolhermos, para cada elemento de 
A, uma possibilidade: sim (S), o elemento pertencerá ao subconjunto, ou não (N), o elemento 
não pertencerá ao subconjunto.
x S
N
y S
N
z S
N
Para essa situação, temos, então, os seguintes subconjuntos:
Subconjunto com 3 elementos.
Subconjuntos com 2 elementos.
Subconjuntos com 1 elemento.
Subconjunto com zero elemento.
x y z Subconjunto
S S S {x, y, z}
S S N {x, y}
S N S {x, z}
N S S {y, z}
S N N {x}
N S N {y}
N N S {z}
N N N ~
 Figura 1 Figura 2
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CAP 1.indb 21 03.08.10 10:47:38
Assim, o conjunto das partes de A é: (A) 5 {~, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}
Portanto, (A) tem 8 elementos, ou seja, 23 elementos.
Podemos também calcular o número de subconjuntos de A simplesmente multiplicando o 
número de possibilidades de escolha sim (S) ou não (N) de seus elementos:
x S
N
2 possibilidades
a1 S
N
2 possibilidades
a3 S
N
2 possibilidades
a2 S
N
2 possibilidades
a4 S
N
2 possibilidades
y S
N
2 possibilidades
z S
N
2 possibilidades
Logo, o número de subconjuntos de A é dado pelo produto:
2 3 2 3 2 5 23 5 8
Se um conjunto A possui n elementos, então (A) possui 2n elementos.
Propriedade
Demonstração
Vamos demonstrar essa propriedade em três etapas: para A 5 ~, para A como conjunto unitário 
e A 5 {a1, a2, a3, ... an}, isto é, um conjunto com n elementos, com n > 2.
• Seja A 5 ~.
 O conjunto A possui zero elemento e um único subconjunto, que é o próprio ~.
 Como 20 5 1, a afirmação é verdadeira para n 5 0.
• Seja A um conjunto unitário.
 O conjunto A possui um único elemento e exatamente dois subconjuntos, que são~ e A.
 Como 21 5 2, a afirmação é verdadeira para n 5 1.
• Seja A 5 {a1, a2, a3, ... an } um conjunto com n elementos, com n > 2.
 Na formação de um subconjunto de A, para cada um dos elementos a1, a2, a3, ... an há duas possi-
bilidades: o elemento pertencerá ao conjunto a ser formado ou não. Assim, um subconjunto de A 
estará determinado quando escolhermos para cada elemento de A uma das possibilidades: sim 
(S) ou não (N).
 Escolhida a alternativa S para um elemento, ele fará parte do conjunto; escolhida a alternativa N, o 
elemento não fará parte do conjunto.
...
 Assim, o número de subconjuntos de A é o produto desses números de possibilidades, ou seja:
2 3 2 3 2 3 ... 3 2 5 2n
n fatores
7 Determinar (A) em cada um dos itens a seguir.
a) A 5 {5, 8} b) A 5 {6} c) A 5 ~
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 4 a 6.
8 Quantos subconjuntos possui o conjunto 
 E 5 {a, e, i, o, u}?
9 Determine	os	números	x e y, sabendo que 
 {1, 2, x} 5 {3, y, 2}. 
10 Sejam respectivamente (A) e (B) os conjuntos das 
partes de dois conjuntos finitos A e B quaisquer. 
Sabendo que A possui um elemento a mais que B, 
classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada 
uma das afirmações.
11 Três conjuntos D, E e F satisfazem as seguintes con-
dições: D - E, E - F e F - D. Pode-se afirmar que:
a) os	três	conjuntos	são	vazios.
b) os	três	conjuntos	são	unitários.
c) os	três	conjuntos	são	iguais.
d) apenas	dois	desses	conjuntos	são	iguais.
e) os	três	conjuntos	são	diferentes	entre	si.
a) (A) possui um elemento a mais que (B).
b) (A) possui dois elementos a mais que (B).
c) (A) possui o dobro de elementos de (B).
d) (A) possui o triplo de elementos de (B).
e) Algum dos conjuntos, (A) e (B), pode ter um 
número	ímpar	de	elementos.
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