TerceiraProva com respsotas - 2012_2

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Terceira Prova de Cálculo III - 15/12/2012
Nome: Turma:
1. Calcule a área da parte do plano z = 30 + 2x � 5y que está dentro do cilindro elítico
9x2 + 4y2 = 9:
Res.:
A(S) =
Z Z
S
p
1 + 22 + (�5)2dS =
p
30
Z Z
D
dA =
p
30
�
1� 3
2
�
� =
3�
2
p
30:
2. Considere S a esfera x2 + y2 + z2 = 1:
(a) Calcule a integral
R R
S
(x2 + y2 + z6)dS diretamente. (Obs.: note que x2 + y2 + z6 =
(x2 + y2 + z2) + z6 � z2:)
Res.:
Z Z
S
(x2 + y2 + z6)dS =
Z Z
S
(1 + z6 � z2)dS
=
Z Z
S
dS +
Z 2�
0
Z �
0
(cos6 �� cos2 �) sin�d�d�
= A(S) + 2�
�Z �
0
cos6 � sin�d��
Z �
0
cos2 � sin�d�
�
= 4� + 2�
�
�cos
7 �
7
+
cos3 �
3
��
0
= 4� � 4�
�
1
3
� 1
7
�
=
68
21
�:
(b) Calcule a integral
R R
S
(x2 + y2 + z6)dS utilizando o Teorema da Divergência.
Res.: Como �!n = hx; y; zi podemos escrever x2 + y2 + z6 = �!F � �!n em que �!F = hx; y; z5i :
Portanto, Z Z Z
E
div
�!
F dV =
Z Z Z
E
(2 + 5z4)dV = 2V (E) + 5
Z Z Z
E
z4dV
=
8�
3
+ 5
Z 2�
0
Z �
0
Z 1
0
�4 cos4 � sin��2 sin�d�d�d�
=
8�
3
+
�Z 2�
0
5d�
��Z �
0
cos4 � sin�d�
��Z 1
0
�6d�
�
=
8�
3
+
10�
7
�
�cos
5 �
5
��
0
=
68
21
�:
Outra resolução:Z Z
S
(x2 + y2 + z6)dS =
Z Z
S
(1 + z6 � z2)dS
=
Z Z
S
dS +
Z Z
S
(z6 � z2)dS
= A(S) +
Z Z Z
E
div
0; 0; z5 � z� dV
= A(S) +
Z Z Z
E
(5z4 � 1)dV
= A(S)� V (E) + 5
Z Z Z
E
z4dV
= 4� � 4�
3
+
10�
7
�
�cos
5 �
5
��
0
=
68
21
�:
3. Utilize o Teorema de Stokes para calcularZ
C
�!
F � d�!r ;
em que
�!
F =
D
5y; z2ey
2
;�x
E
e C é a interseção do parabolóide z = x2 + y2 com o cilindro
x2 + y2 = 2y; orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Res.: A curva C satisfaz: z = x2 + y2 = 2y: Ou seja, ela está no plano z = 2y e sua projeção
no plano xy é o círculo x2 + y2 = 2y: Portanto, ela é a fronteira da superfície S; parte do plano
z = 2y que está sobre a região D no plano xy limitada pelo círculo x2 + y2 = 2y: Completando
quadrados vê-se que este círculo também tem equação x2 + (y � 1)2 = 1; isto é, tem raio 1 e
centro em (0; 1). Podemos então utilizar o Teorema de Stokes na superfície S parametrizada
como grá…co de função (com orientação positiva, de acordo com a orientação de C):Temos,
rot
�!
F = det
0@ i j k@x @y @z
5y z2ey
2 �x
1A = D2zey2 ; 1;�5E
e Z
C
�!
F � d�!r =
Z Z
S
rot
�!
F � �!dS =
Z Z
D
�
�2zey2 @z
@x
� 1@z
@y
� 5
�
dA
=
Z Z
D
(�2� 5) dA = �7
Z Z
D
dA = �7A(D) = �7�:
Fórmulas
1) Se S é parametrizada por �!r (u; v) com (u; v) 2 D; então:
a) dS = k�!ru ��!rvk dA
b)
R R
S
�!
F � d�!S = R R
D
�!
F (�!r (u; v)) � (�!ru ��!rv )dA:
2) Se
�!
F = hP;Q;Ri e S é da forma z = z(x; y) com (x; y) 2 D, então:
a) dS =
q
1 + ( @z
@x
)2 + (@z
@y
)2dA
b)
R R
S
�!
F � d�!S = R R
D
(�P (x; y; z) @z
@x
�Q(x; y; z)@z
@y
+R(x; y; z))dA:
3) Para a esfera x2 + y2 + z2 = a2 :�!r (u; v) = ha sen� cos �; a sen� sen �; a cos�i ; �!r� ��!r� = a sin��!r (u; v) e dS = a2 sen�d�d�:
4) Coordenadas esféricas:
x = � sen� cos �; y = � sen� sen �; z = � cos� e dV = �2 sin�d�d�d�: