aula21 tecnica de integracao trigonometrica

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Te´cnicas de Integrac¸a˜o – Integrac¸a˜o de Poteˆncias e Produtos de Func¸o˜es Trigonome´tricas
MO´DULO 2 - AULA 21
Aula 21 – Te´cnicas de Integrac¸a˜o – Integrac¸a˜o
de Poteˆncias e Produtos de Func¸o˜es
Trigonome´tricas
Objetivo
Aprender a integrar poteˆncias e produtos de func¸o˜es trigonome´tricas.
Na aula anterior, voceˆ aprendeu a integrar func¸o˜es cujos integrandos
eram produtos de senos e cossenos. Nesta aula, comec¸aremos considerando
produtos de tangentes e secantes.
Integrais envolvendo produtos de tangentes e secantes
O ca´lculo de integrais do tipo
∫
tgn x secm x dx e´ relativamente fa´cil.
E´ preciso levar em conta se n ou m e´ par ou ı´mpar. Em qualquer um dos
casos usaremos as seguintes informac¸o˜es:
1. sec2 x = 1 + tg2 x;
2. (tg x)′ = sec2 x;
3. (sec x)′ = sec x tg x.
Vamos exemplificar as diferentes possibilidades:
O caso m par.
Neste caso, usaremos a identidade sec2 x = 1 + tg2 x e o fato de que a
derivada da tangente e´ a secante ao quadrado.
Exemplo 21.1
Ca´lculo de
∫
tg3 x sec4 x dx.
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Neste caso, usamos a substituic¸a˜o simples u = tg x.∫
tg3 x sec4 x dx =
∫
tg3 x sec2 x sec2 x dx =
=
∫
tg3 x (1 + tg2 x) sec2 x dx =
=
∫
(tg3 x+ tg5 x) sec2 x dx =
=
∫
tg3 x sec2 x dx+
∫
tg5 x sec2 x dx =
=
1
4
tg4 x+
1
6
tg6 x+ C.
O caso n ı´mpar.
Agora faremos algo semelhante, trocando os pape´is entre a tangente e
a secante.
Exemplo 21.2
Ca´lculo de
∫
tg3 x sec3 x dx.
Neste caso na˜o podemos fazer a substituic¸a˜o feita no exemplo anterior,
pois o expoente de sec x e´ 3. No entanto, levando em conta que (sec x)′ =
tg x sec x e que o expoente de tg x e´ ı´mpar, podemos fazer o seguinte:∫
tg3 x sec3 x dx =
∫
tg2 x sec2 x (sec x tg x) dx =
=
∫
(sec2 x− 1) sec2 x (sec x tg x) dx =
=
∫
(sec4 x− sec2 x) (sec x tg x) dx =
=
∫
(u4 − u2) du =
=
u5
5
− u
3
3
+ C =
=
1
5
sec5 x− 1
3
sec3 x+ C.
Exerc´ıcio 1. Calcule a integral
∫
tg3 x sec2 x dx.
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O caso
∫
secn x dx
Para fazer este tipo de ca´lculo, vamos considerar dois casos: n ı´mpar
ou n par. Vamos comec¸ar com o caso simples. Isto e´, quando n e´ par. Como
(tg x)′ = sec2 x, podemos usar a identidade sec2 x = 1 + tg2 x e aplicar a
substituic¸a˜o simples. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 21.3
Calcule
∫
sec4 x dx.∫
sec4 x dx =
∫
sec2 x sec2 x dx =
=
∫
(1 + tg2 x) sec2 x dx =
=
∫
sec2 x dx+
∫
tg2 x sec2 x dx =
= tg x+
1
3
tg3 x+ C.
Vamos, agora, considerar o caso em que n e´ ı´mpar. Observe que∫
sec x dx =
∫
sec x
sec x + tg x
sec x + tg x
dx =
=
∫
sec x tg x + sec2 x
sec x + tg x
dx =
= ln | sec x + tg x | + C.
Essa fo´rmula merece um destaque, pois o truque usado para calcula´-la
e´, realmente, fora do comum.∫
secx dx = ln | secx+ tg x|+ C (1)
Para valores de n maiores do que 1, pode-se usar a integrac¸a˜o por partes∫
secn x dx =
∫
secn−2 x︸ ︷︷ ︸
u
sec2 x dx︸ ︷︷ ︸
dv
ou a fo´rmula de recorreˆncia∫
secn x dx =
secn−2 x tg x
n− 1 +
n− 2
n− 1
∫
secn−2 x dx, (2)
va´lida para n > 1.
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Na verdade, a prova de que a fo´rmula e´ verdadeira usa a integrac¸a˜o por
partes, como foi sugerido anteriormente. Veja como isso funciona:
Exemplo 21.4
Ca´lculo de
∫
sec3 x dx.
Vamos usar a integrac¸a˜o por partes.{
u = sec x
dv = sec2 x dx
=⇒
{
du = sec x tg x dx
v = tg x.
∫
sec3 x dx = sec x tg x −
∫
sec x tg2 x dx =
= sec x tg x −
∫
sec x (sec2 x− 1) dx =
= sec x tg x −
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx.
Assim,
2
∫
sec3 x dx = sec x tg x +
∫
sec x dx∫
sec3 x dx =
1
2
sec x tg x +
1
2
∫
sec x dx.
Esta u´ltima linha e´ o que obter´ıamos ao substituir n por 3 na fo´rmula
de reduc¸a˜o para secantes (2).
Portanto, podemos concluir:∫
sec3 x dx =
1
2
sec x tg x +
1
2
ln | sec x + tg x | + C.
Exerc´ıcio 2. Use a fo´rmula de reduc¸a˜o para calcular
∫
sec5 x dx.
Observac¸a˜o 21.1
Ainda na˜o consideramos a situac¸a˜o
∫
tgn x secm x dx, onde n e´ par e m e´
ı´mpar. Veja o seguinte exemplo.
Exemplo 21.5
Calcule
∫
tg2 x sec x dx.
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Neste caso, o integrando pode ser reescrito em termos apenas de secan-
tes, usando a fo´rmula tg2 x = sec2 x− 1.∫
tg2 x sec x dx =
∫
(sec2 x− 1) sec x dx =
=
∫
sec3 x dx−
∫
sec x dx =
=
1
2
sec x tg x − 1
2
ln | sec x + tg x | + C.
O caso
∫
tgn x dx.
Vejamos agora como obter uma fo´rmula de reduc¸a˜o para o ca´lculo de
integrais como
∫
tg5 x dx. Para isso obteremos uma fo´rmula de reduc¸a˜o.
Vamos supor que n ≥ 2.∫
tgn x dx =
∫
tgn−2 x tg2 x dx =
=
∫
tgn−2 x (sec2 x− 1) dx =
=
∫
tgn−2 x sec2 x dx −
∫
tgn−2 x dx =
=
tgn−1 x
n− 1 −
∫
tgn−2 x dx.
Isto e´,
∫
tgn x dx =
tgn−1 x
n− 1 −
∫
tgn−2 x dx, (3)
va´lida para n > 1.
Exemplo 21.6
Vamos calcular
∫ pi/4
0
tg5 x dx.
Usaremos a fo´rmula de reduc¸a˜o duas vezes.∫
tg5 x dx =
tg4 x
4
−
∫
tg3 x dx =
=
tg3 x
4
− tg
2x
2
+
∫
tg x dx =
=
tg3 x
4
− tg
2x
2
+ ln
∣∣ sec x ∣∣ + C.
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Portanto,∫ pi/4
0
tg5 x dx =
tg3 x
4
∣∣∣∣∣
pi/4
0
− tg
2x
2
∣∣∣∣∣
pi/4
0
+ ln
∣∣ sec x ∣∣∣∣∣∣∣
pi/4
0
=
=
1
4
− 1
2
+ ln
√
2 − ln 1 = −1
4
+
1
2
ln 2.
Voceˆ acha que esse nu´mero e´ positivo ou negativo? Ganha um doce
quem acertar sem usar a calculadora... A resposta esta´ no fim da aula, na
sec¸a˜o de exerc´ıcios.
Cossecantes e cotangentes.
Ate´ agora abordamos integrais de func¸o˜es cujas leis de definic¸a˜o en-
volvem as func¸o˜es seno, cosseno, tangente e secante. Os casos envolvendo
cotangente e cossecante admitem soluc¸o˜es similares aos que envolvem se-
cante e tangente. Por exemplo, podemos usar as seguintes fo´rmulas para
poteˆncias de cossecantes e cotangentes:∫
csc x dx = ln | csc x − cotg x | + C (4)
∫
cscn x dx = −csc
n−2 x cotg x
n− 1 +
n− 2
n− 1
∫
cscn−2 x dx, (5)
va´lida para n > 1,
∫
cotgn x dx = −cotg
n−1 x
n− 1 −
∫
cotgn−2 x dx, (6)
va´lida para n > 1.
Exerc´ıcio 3. Calcule
∫
csc3 2x dx.
Outras integrais trigonome´tricas
Ha´ casos onde o integrando na˜o e´ da forma que abordamos ate´ agora:
produtos de senos e cossenos ou de tangentes e secantes... Nesses casos
podemos usar as fo´rmulas trigonome´tricas para reduzir a um dos casos ja´
apresentados. Ilustraremos essa ide´ia com os pro´ximos exemplos.
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Exemplo 21.7
Ca´lculo de
∫
csc2 x tg x dx.
Note que esta integral envolve as func¸o˜es cossecante e tangente. Pode-
mos usar a identidade
tg x =
1
cotg x
para reescreveˆ-la da seguinte maneira:
∫
csc2 x tg x dx =
∫
csc2 x
cotg x
dx
= −
∫
du
u
= ln
∣∣∣∣1u
∣∣∣∣+ C
= ln
∣∣∣∣ 1cotg x
∣∣∣∣+ C = ln | tg x|+ C.
Exemplo 21.8
Ca´lculo de
∫
sec3 x sen x dx.
Neste caso, a substituic¸a˜o sec x = 1
cos x
transformara´ a integral dada
em uma integral mais simples de calcular. Tente fazer isso. A resposta e´
∫
sec3 x sen x dx =
1
2
sec2x + C.
Resumo
Esta aula tambe´m conte´m bastante informac¸a˜o, assim como a aula
anterior. Alia´s, essa sera´ a toˆnica das aulas sobre te´cnicas de integrac¸a˜o.
Vamos, enta˜o, montar um mapa com algumas das informac¸o˜es mais
usadas entre as que foram apresentadas nesta aula.
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Caso
∫
tgn x secm x dx.
Sugesta˜o Fo´rmulas
m par Substituic¸a˜o u = tg x sec2 x = 1 + tg2 x
du = sec2 x dx
Veja exemplo 21.1.
n ı´mpar Substituic¸a˜o u = sec x tg2 x = sec2 x− 1
du = sec x tg x dx
Veja exemplo 21.2.
n par e m ı´mpar Transforme o integrando tg2 x = sec2 x− 1
em secantes e use (2).
Veja exemplo 21.5.
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. Calcule
∫
tg3 x sec2 x dx.
Soluc¸a˜o 1: Vamos usar u = tg x. Assim, du = sec2 x dx. Portanto,∫
tg3 x sec2 x dx =
1
4
tg4 x + C.
Soluc¸a˜o 2: A identidade tg2 x = sec2−1 nos da´∫
tg3 x sec2 x dx =
∫
(sec2 x− 1) tg x sec2 x dx =
=
∫
sec3 x tg x sec x dx−
∫
sec x tg x sec x dx =
=
1
4
sec4 x − 1
2
sec2 x+ C1.
Qual das duas respostas obtidas e´ a correta? Bem, como na˜o er-
ramos na conta, ambas devem estar corretas. Realmente, lembre-se que
estamos obtendo uma famı´lia de func¸o˜es. Resumindo, f(x) = 1
4
tg4 x e
g(x) = 1
4
sec4 x+ 1
2
sec2 x sa˜o primitivas da func¸a˜o y = tg3 x sec2 x e, portanto,
diferem por uma constante. Veja:
1
4
sec4 x− 1
2
sec2 x + C1 =
1
4
(sec4 x− 2 sec2 x + 1) + C1 − 1
4
=
=
1
4
(sec2 x − 1)2 + C1 − 1
4
=
=
1
4
tg4 x +
(
C1 − 1
4
)
.
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Exec´ıcio 2. Use a fo´rmula de reduc¸a˜o para calcular
∫
sec5 x dx.
Soluc¸a˜o: Vamos usar a fo´rmula (2) com n = 5.
∫
sec5 x dx =
sec3 x tg x
4
+
3
4
∫
sec3 x dx.
Agora, usando o ca´lculo ja´ efetuado no exemplo 21.4, temos a resposta:
∫
sec5 x dx =
sec3 x tg x
4
+
3
8
sec x tg x +
3
4
ln | sec x+ tg x| + C.
Exerc´ıcio 3. Calcule
∫
csc3 2x dx.
Soluc¸a˜o: Vamos usar a fo´rmula de reduc¸a˜o (5), observando que o argumento
e´ 2x.
∫
csc3 2x dx =
1
2
∫
csc3 2x 2dx =
= −csc 2x cotg 2x
4
+
1
4
∫
csc 2x dx =
= −csc 2x cotg 2x
4
+
1
8
∫
csc 2x 2dx =
= −csc 2x cotg 2x
4
+
1
8
ln | csc 2x − cotg 2x | + C.
4. Calcule as seguintes integrais:
a)
∫
tg2 2x sec4 2x dx. b)
∫
tg2
x
2
sec
x
2
dx.
c)
∫ pi/3
pi/6
sec3 x tg x dx. d)
∫
sec4 3x dx.
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e)
∫ pi/4
pi/6
tg5 x dx. f)
∫
tg x sec4 x dx.
g)
∫
cotg3 x csc2 x dx. h)
∫
sec4 x
tg3 x
dx.
i)
∫
sec4 5t dt. j)
∫
tg3 θ sec3/2 θ dθ.
l)
∫
(sec3 2x + tg3 x) dx. m)
∫
csc4 x dx.
n)
∫
1√
x
sec3
√
x dx. o)
∫
tg2 x
cos5 x
dx.
p)
∫
1
sen4 2θ
dθ. q)
∫
cotg3 x
sen2 x
dx.
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